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Tobi90
Anmeldungsdatum: 30.12.2012
Beiträge: 5
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 Tobi90 Verfasst am: 30. Dez 2012 11:00 Titel: Erwartungswert des Drehimpulsbetrags im kugelsymmetrischen P |
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Meine Frage:
Meine Frage wäre wieso man, wenn man den Erwartungswert des Drehimpulsbetrags im Kugelsymmetrischen Potential (z.B. Wasserstoffatom) berechnen will augenscheinlich (z.B. siehe Demtröder) einfach den Erwartungswert des Quadrats des Drehimpulses berechnen kann und daraus einfach die Wurzel ziehen darf.
Meine Ideen:
Meine Überlegung dazu ist, dass im Allgemeinen doch der Mittelwert einer Zufallsgröße nicht gleich der Wurzel des Erwartungswertes des Quadrats der Zufallsgröße ist. Das Problem begegnet einem ja auch bei der kin. Gastheorie. Dort ist ja i.A. auch  ungleich  und wir haben damals auch  definiert um eben diese Ungleichheit (mit  ) zu betonen. (rms = root mean square) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 30. Dez 2012 13:38 Titel: |
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Du hast recht.
Du berechnest zunächst einfach
sowie
und vergleichst.
Zunächst mal sind die algebraischen Ausdrücke unterschiedlich und es wird vom jeweiligen Quantenzustand abhängen, ob Gleichheit vorliegt (bzw. vorliegen kann).
Im Falle von Eigenzuständen eines rotationsymmetrischen Potentials, wobei m bzgl. der z-Komponente definiert wird, gilt
 )
Damit sind die beiden Ausdrücke zumindest für Eigenzustände nicht gleich und ich sehe auch keinen Grund, wieso man das annehmen sollte.
Welche Formeln setzt dein Buch denn genau an? Und warum schaust du nicht in ein richtiges QM-Lehrbuch? da wird die Drehimpulsalgebra sicher korrekt eingeführt
Evtl. hilft dir der Link weiter: http://en.wikipedia.org/wiki/Ladder_operator
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 30. Dez 2012 14:45, insgesamt einmal bearbeitet |
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Tobi90
Anmeldungsdatum: 30.12.2012
Beiträge: 5
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| Tobi90 Verfasst am: 30. Dez 2012 14:24 Titel: |
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Schon mal danke für die Antwort. Also in meinem Buch wird zunächst der Operator  eingeführt und zu +\frac{1}{sin^2\theta} \frac {\partial^2}{\partial\phi^2}] ) bestimmt und dieser wurde dann auf die zuvor bestimmte standardmäßige Wellenfunktion im Kugelsymmetrieschen Potential angewandt. Alsoh^2\psi ) berechnet. Und jetzt halt einfach kommentarlos die Wurzel gezogen, was ja im ersten Moment ja schon mal einleuchtend ist. Das ist ja auch sicher richtig... steht ja überall als Ergebnis so dran, aber ich versteh eben nicht wieso hier einfach nur die Wurzel gezogen werden kann, denn wie gesagt ist im allgemeinen ja  und hier ist ja h^2 ) . Wieso ist aber dann doch } ) eben ganz naiv gerechnet richtig.
Ich bin da leider in der Materie noch nicht wirklich routiniert. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 30. Dez 2012 15:05 Titel: |
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Zunächst mal ist es unsinnig, für dieses Problem überhaupt die Kugelflächenfunktionen sowie die Differentialoperatoren in sphärischen Koordinaten als spezielle Darstellung zu benutzen; die abstrakten Basisvektoren wie in meiner Rechnung sind völlig ausreichend.
Dann verstehe ich das so, dass du den Betrag des Drehimpulses definieren möchtest. Direkt angeben kannst du ihn nicht, da es sich ja um komplizierte Operatoren handelt.
Man kann sich nun überlegen, den Operator |L| wie folgt einzuführen
Dies muss man definieren, denn zunächst existieren nur die einzelnen Komponenten, nicht jedoch |L| selbst; was sollte das sein? wie anders sollte man den Operator definieren?
Nun kann man dies mathematisch auch sauber begründen, in dem man die Wirkung des Operators auf Eigenzustände betrachtet; dabei ist offensichtlich
|lm\rangle )
für alle l,m; und demnach ist auch
}|lm\rangle )
für alle l,m.
Wie gesagt, das ist eine Definition des Betrags |L| mittels L²; direkt angeben kann man das nicht.
Ist dir das soweit klar?
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Tobi90
Anmeldungsdatum: 30.12.2012
Beiträge: 5
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| Tobi90 Verfasst am: 30. Dez 2012 15:18 Titel: |
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versteh ich das richtig dass |L| quasi einfach definiert wird als  ?
Tut mir leid, dass ich nur bedingt folgen kann. Ich tu mir auch noch bisschen schwer mit deiner Schreibweise. In unserer Vorlesung wird das mehr oberflächlich behandelt und weniger formal präzise. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 30. Dez 2012 16:55 Titel: |
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| Tobi90 hat Folgendes geschrieben: | versteh ich das richtig dass |L| quasi einfach definiert wird als ?
Tut mir leid, dass ich nur bedingt folgen kann. |
Aber so wird der Betrag eines Vektors immer definiert; wie würdest du das sonst machen wollen?
Wichtig: es gibt in der QM keinen Drehimpulsvektor mit Zahlenwerten!! Die Komponenten des Drehimpulses sind Operatoren, keine Zahlen, d.h. du kannst die "Länge" nicht direkt angeben, denn die "Länge eines Operators" ist nicht definiert (und vergiss bitte irgendwelche netten Bilder dazu).
| Tobi90 hat Folgendes geschrieben: | | Ich tu mir auch noch bisschen schwer mit deiner Schreibweise. In unserer Vorlesung wird das mehr oberflächlich behandelt und weniger formal präzise. |
Ja, das ist natürlich formal! und deswegen tust du dich nicht schwer mit meiner Schreibweise, sondern mit der in deiner Vorlesung ;-) Wenn du eine Schreibweise als "oberflächlich ... und weniger formal präzise" bezeichnest und damit ein Verständnisproblem hast, dann könnte das weniger an deinem Verständnis als eher an der Schreibweise liegen.
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Tobi90
Anmeldungsdatum: 30.12.2012
Beiträge: 5
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| Tobi90 Verfasst am: 30. Dez 2012 19:29 Titel: |
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tja das ist gut möglich... Wenn man präzise Formulierungen nutzt ist vieles wohl auch eindeutiger. Und du hast recht - ich hab da ein ganz bestimmtes Bild im Kopf xD... Da muss ich glaub mal noch drüber nachdenken was es bedeutet wenn die einzelnen Komponenten nur Operatoren sind...
Aber auf der anderen seite legt doch } ) nahe, dass man wenn man eine quantenzahl l einsetzt einen zahlenwert für den mittleren Drehimpulsbetrag erhält.
Ich hätte erwartet, dass die Definition einfach lauten müsste  aber jetzt ist natürlich vielleicht gerade das Problem dass |L| noch gar nicht definiert ist. Ich dachte das sei halt der Betrag des Drehimpulses und davon berechne ich den Mittelwert und das ginge halt (was ja mein ursprüngliches Problem war) nicht mittels Wurzelziehen aus dem Mittel der Drehimpulsquadrate. (Das Problem ist ja mehr statistischer Natur: Dass eben das Mittel einer Zufallsgröße nicht gleich der Wurzel des Mittels der Zufallsgrößenquadrate ist.) Deshalb hätte ich vielleicht mehr erwartet dass man einen gesonderten Operator für |L| braucht und nicht den ja schon irgendwie auch sinnvollen Weg über den Operator für  gehen kann/darf. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 30. Dez 2012 23:05 Titel: |
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| Tobi90 hat Folgendes geschrieben: | | … Da muss ich glaub mal noch drüber nachdenken was es bedeutet wenn die einzelnen Komponenten nur Operatoren sind... |
Es bedeutet erst mal im anschaulichen Sinne gar nichts; erst wenn man die Operatoren auf Zustände anwendet.
| Tobi90 hat Folgendes geschrieben: | | Aber auf der anderen seite legt doch nahe, dass man wenn man eine quantenzahl l einsetzt einen zahlenwert für den mittleren Drehimpulsbetrag erhält. |
Da stecken zwei Denkfehler drin. Zum ersten sprichst du immer von statistischen Aussagen. Das kann man aus Sicht des Experimentes so sehen, trifft aber nicht den Kern der QM. Dabei handelt es nicht um statistische Aussagen über viele Quantensysteme, sondern um die Aussage bzgl. eines einzigen Quantensystems. Deswegen spricht man auch nicht von Mittelwert (vieler klassischer Messergebnisse) sondern vom Erwartungswert (für eine einzelne Messung an einem Quantensystem). Aber das ist hier nicht so wichtig
Der zweite Fehler steckt in
Das muss so i.A. nicht stimmen. Du solltest dir darüber im Klaren sein, dass es allgemeine Operatorbeziehungen gibt, die für beliebige Zustände zutreffen (links), und dass es spezielle Aussagen gibt die nur für ganz bestimmte Zustände zutreffen (rechts). Der Betrag bzw. der Erwartungswert für den Betrag muss zunächst für alle Zustände definiert werden; rechts wird jedoch m.E. ein spezieller Zustand |lm> vorausgesetzt.
| Tobi90 hat Folgendes geschrieben: | | Ich hätte erwartet, dass die Definition einfach lauten müsste aber jetzt ist natürlich vielleicht gerade das Problem dass |L| noch gar nicht definiert ist. |
Richtig, genau das ist das Problem.
| Tobi90 hat Folgendes geschrieben: | | (Das Problem ist ja mehr statistischer Natur: Dass eben das Mittel einer Zufallsgröße nicht gleich der Wurzel des Mittels der Zufallsgrößenquadrate ist.) |
s.o.: nein; in diesem Fall handelt es sich um ein rein geometrisches Problem (der Hilbertraum der Drehimpulseigenzustände |lm> kann je l in 2l+1 dimensionale Unterräume zerlegt werden. Je l liegt daher ein euklidscher Raum vor und darin geht es um geometrische Zusammenhänge
| Tobi90 hat Folgendes geschrieben: | | Deshalb hätte ich vielleicht mehr erwartet dass man einen gesonderten Operator für |L| braucht und nicht den ja schon irgendwie auch sinnvollen Weg über den Operator für gehen kann/darf. |
Nicht „gehen darf“ sondern „gehen muss“. Eine unabhängige Definition muss ja wesentliche Beziehungen reproduzieren.
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Tobi90
Anmeldungsdatum: 30.12.2012
Beiträge: 5
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| Tobi90 Verfasst am: 31. Dez 2012 10:36 Titel: |
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ja okay - ich glaub damit kann ich mich zufrieden geben. Schon mal vielen Dank für die wiederholt ausführlichen Antworten. Sehr nett von dir.
Haben mir sehr geholfen, das alles besser einzuordnen. |
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