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Gast1
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 Gast1 Verfasst am: 25. Okt 2012 19:32 Titel: Verständnisfrage Gaußsches Gesetz |
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Hallo!
Ich würde gerne wissen, ob ich das Gaußsche Gesetz folgendermaßen richtig verstanden habe.
Gegeben sei eine Ladung q. Um die Ladung sei eine Kugel mit Radius  angebracht, sodass q im Zentrum der Kugel sitzt (Koordinatenursprung). Dann ist der elektrische Fluss durch ein Flächenelement  der Kugel definiert als:  d \vec{A} = |\vec{E}(\vec{r})| |d \vec{A}| cos \phi) . Ausgehend vom Normalenvektor, der senkrecht auf dem Flächenelement steht, also:  d \vec{A} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r_0^2}dA) . Da das Flächenelement einer Kugel bekannt ist ( ), folgt für den Gesamtfluss also sofort:
 \, \dd \vec{A} = \frac{q}{\epsilon_0})
Bis hierhin ist mir das, denke ich, klar. Jetzt würde ich gerne verstehen wie die Verallgemeinerung aussieht, wenn ich eine Ladung in einem beliebig-geformten Körper habe. Nehmen wir mal an, irgendwas Bananenförmiges z. B. Verstehe ich das richtig, dass man das dann wieder einfach auf eine Kugel zurückführt, indem man eine beliebig kleine Kugel wählt, welche die Ladung umschließt (und gleichzeitig in der "Banane" liegt)? Ich habe in meinem Skript eine Rechnung, die ich nicht 100 % nachvollziehen kann (die aber glaube ich genau darauf anspielt).
Folgendermaßen:
Betrachte Gebiet mit beliebig geformer Oberfläche O um Punktladung q. Dann lässt sich jedes Flächenelement auf O einem Flächenelement  auf einer Kugel mit Radius um q zuordnen.
 d\vec{a})
Dabei ist mir nicht klar, wie die 2. Zeile entsteht. Also woher  kommt.
Kann mir das jemand erklären und stimmt das Grundverständnis wenigstens soweit? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18365
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| TomS Verfasst am: 25. Okt 2012 20:09 Titel: |
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Das Gaußsche Gesetz in integraler Form besagt, dass
für eine beliebige Fläche O. Dass bzw. wie die Fläche O zu O' deformiert werden darf sieht man mittels des Gaußschen Integralsatzes
http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fscher_Integralsatz
Diesem zufolge gilt, dass das Oberflächenintegral über das elektrische Feld, das O durchstößt (der Fluss) gleich dem Volumenintegral über die Divergenz des elektrischen Feldes ist. Für diese gilt jedoch
und somit
wobei die Fläche O das Volumen V umschließt.
D.h. man kann mittels des Oberflächenintegrals den Fluss durch O oder mittels des Volumenintegrals den Ladungsinhalt von V des einschlossenen Volumens messen; beides ist äquivalent.
D.h. aber dass eine Deformation des Oberflächenintegrals von O nach O' bzw. des Volumenintegrals von V Nach V' den Wert nicht ändert, wenn innerhalb des von V nach V' hinzugenommen Volumens keine Ladung existiert - nur dann ist diese Deformation ohne Änderung des Integrals erlaubt.
Wenn diese jedoch der Fall ist, dann kann man natürlich O nach O' so deformieren, dass O' zu einer Kugelschale wird, die die selbe Ladung einschließt.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 26. Okt 2012 11:10 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Das Gaußsche Gesetz in integraler Form besagt, dass
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In welchem Einheitensystem bewegst Du dich? Im heute üblichen (und gesetzlich vorgeschriebenen) SI-Einheitensystem lautet der Gaußsche Flusssatz der Elektrostatik
bzw. mit 
Zur ursprünglichen Frage: Der von einer Ladung ausgehende Fluss geht natürlich durch jede beliebige Hüllfläche hindurch. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18365
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| TomS Verfasst am: 26. Okt 2012 12:31 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: | | In welchem Einheitensystem bewegst Du dich? |
Ich hab halt das epsilon vergessen, weil's für die Fragestellung unwichtig ist
| GvC hat Folgendes geschrieben: | | Der von einer Ladung ausgehende Fluss geht natürlich durch jede beliebige Hüllfläche hindurch. |
Und genau das habe ich begründet.
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8586
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| jh8979 Verfasst am: 26. Okt 2012 16:28 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: |
In welchem Einheitensystem bewegst Du dich? Im heute üblichen (und gesetzlich vorgeschriebenen) SI-Einheitensystem lautet der Gaußsche Flusssatz der Elektrostatik |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 26. Okt 2012 17:24 Titel: |
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@jh8979
Was gibt's denn da zu lachen? Das SI-Einheitensystem wurde in der Bundesrepublik Deutschland mit dem Einheiten- und Zeitgesetz vom 2. Juli 1969 eingeführt, das am 5. Juli 1970 in Kraft trat. Eine Neubekanntmachung erfolgte im Bundesgesetzblatt am 22. Februar 1985. Die letzte Änderung vom 3. Juli 2008 trat am 12. Juli 2008 in Kraft.
Das Gesetz schreibt vor, dass in Deutschland im geschäftlichen und amtlichen Verkehr nur gesetzliche Einheiten verwendet werden dürfen. Gesetzliche Einheiten sind die SI-Einheiten und einige klar definierte Nicht-SI-Einheiten, wie z.B. d = 86400 s (Tag) oder t = 10³ kg (Tonne) oder ha = 10^4m² (Hektar).
Der Gebrauch der Nicht-SI-Einheiten ist im Allgemeinen nur in speziellen Fällen und für spezielle Zwecke gestattet. So darf beispielsweise die Flächeneinheit "Hektar" nur für die Angabe der Fläche von Grund- und Flurstücken benutzt werden.
Damit sind die verschiedenen Varianten des cgs-Systems (z.B. elektrostatisches cgs-System, elektromagnetisches cgs-System, Gaußsches Einheitensystem, Heaviside-Lorentz-Einheitensystem) eigentlich out, auch wenn Du das nicht wahrhaben willst. Selbst wenn der Wissenschaftsbetrieb häufig nicht zum "geschäftlichen und amtlichen Verkehr" gehört, hat sich das SI-Einheitensystem auch im Wissenschaftsbetrieb eindeutig bewährt und hilft, Missverständnisse zu vermeiden. Um ein solches Missverständnis auszuschließen, hatte ich nach dem von TomS verwendeten Einheitensystem gefragt und dabei auf gewisse gesetzliche Bestimmungen verwiesen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18365
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| TomS Verfasst am: 26. Okt 2012 17:31 Titel: |
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Ich hatte das Epsilon vergessen - OK?
| GvC hat Folgendes geschrieben: | | Was gibt's denn da zu lachen? |
Nix, dazu ist das folgende zu ernst!
| GvC hat Folgendes geschrieben: | | ... hat sich das SI-Einheitensystem auch im Wissenschaftsbetrieb eindeutig bewährt ... |
Eigtl. verwendet kein theoretischer Physiker das SI-System, weil es kaum etwas unpraktischeres gibt.
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 26. Okt 2012 17:48 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Eigtl. verwendet kein theoretischer Physiker das SI-System, ... |
Ja, das ist einer der wesentlichen Unterschiede zwischen (praktischen) Ingenieuren und (theoretischen) Physikern. Deshalb ist die Verständigung zwischen diesen beiden Gruppen auch so schwierig. Und deshalb musste ich ja auch nachfragen. Aber das Missverständnis ist mit Deiner Antwort (epsilon vergessen) ja nun schon lange aufgeklärt. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8586
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| jh8979 Verfasst am: 26. Okt 2012 18:19 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: | @jh8979
Was gibt's denn da zu lachen? |
Fuer Dich gar nichts  das sieht man schon am urspruenglichen Zitat und an dem was jetzt darauf folgte
Abgesehen davon, dass das epsilon und auch das Einheitensystem beides keine Rolle spielt bei der Beantwortung der Eingangsfrage:
1.) Wenn Dir das Umrechnen der Einheiten solche Probleme bereitet gibt's im Anhang von Jackson (E-dynamik) eine Erlaeuterung wie die Formeln umzurechnen sind.
2.) In EM ist offensichtlich, dass das SI-System historisch gewaehlt und (manchmal) nicht sehr sinnvoll ist. z.B sind E&B Felder Komponenten desselben Tensors, wieso sollten man also Definitionen waehlen in denen E&B-Felder verschiedene Einheiten haben.
3.) |
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