Kommutator mit H

dot50ae · Anmeldungsdatum: 14.07.2010 Beiträge: 20

Meine Frage:
Ich Hänge grade an einem Kommutator mit H und x.
Das ganze ist klar wenn ich ein freies Teilchen betrachte. Da kann ich ja das
1/2m herausziehen und habe dann den Kommutator [p^2,x], welcher ja bekannt ist.
Was mache ich jedoch wenn H ein Potential beinhaltet?
Also z.b. H=p^2/2m + cx^4

Meine Ideen:
Ich stehe voll auf dem Schlauch :-)
Evtl kann man H zerlegen und T und V separat betrachten?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

Zusammenfassend: du betrachtest

und möchtest den Kommutator [H,x]

berechnen.

Erste Frage: was ist den [x,x] ?

dot50ae · Anmeldungsdatum: 14.07.2010 Beiträge: 20

[x,x] sollte 0 sein.
Ich betrachte hier im konkreten fall [H,xp] wobei

Ist.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

Prima.

und was ist dann [x,x²], [x,x³], usw. ?

dot50ae · Anmeldungsdatum: 14.07.2010 Beiträge: 20

Das sollte 0 bleiben?
Da ja gilt [a,bc]=[a,b]c+b[a,c]
Und wenn x,x=0 ist, sollte es ja 0 bleiben wenn da 0*x steht?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

Damit kannst du also zumindest für alle Potentiale V(x) mit Taylorentwicklung sicher davon ausgehen, dass

gilt ;-)

Es gibt auch einen anderen Weg, das einzusehen, nämlich die Anwendung eines Kommutators auf Testfunktionen. Du betrachtest dazu Funktionen wie f(x) und g(p) mit

Für den zweiten Term führst du eine Taylorentwicklung von g aus, wertest die Differentation nach der Kettenregel aus, also

und ermittelst so deinen Kommutator.

Das funktioniert auch für Funktionen f(x) und V(x). Dafür gilt einfach

Also x und somit auch jedes f(x) vertauscht mit V(x). Das sind einfach Funktionen von x. End-of-story.

dot50ae · Anmeldungsdatum: 14.07.2010 Beiträge: 20

Okay das ist soweit klar.
Bezüglich meines ursprünglichen Problems:
Stimmt das, wenn ich [T+V,xp] habe,
dass ich das einfach auseinanderziehe zu
[T,xp]+[V,xp]
Und dann weiter mit der [a,bc] Regel expandiere?
Dann sollte durch [a,a]=0 einiges wegfallen.
Der Rest sollte dann auf bekanntes zurückzuführen sein.

Ich glaube so langsam sehe ich Land :-)

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

ja, passt, du bist auf dem richtuigen Weg; hier sind ein paar Regeln

http://en.wikipedia.org/wiki/Commutator

dot50ae · Anmeldungsdatum: 14.07.2010 Beiträge: 20

Phantastisch.
Vielen dank.
Jetzt werfe ich die Leiter weg :-)