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Nachricht |
Clifford
Gast
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 Clifford Verfasst am: 12. Apr 2016 10:31 Titel: Kommutator |
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Kommutator und Antikommutator
Kann jemand erklären wo diese verwendet werden und wenn es möglich kurze Begründung oder Erklärung dafür.Danke |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18049
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| TomS Verfasst am: 12. Apr 2016 11:22 Titel: |
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Zum Kommutator: dieser resultiert aus der Übersetzung der klassischen Mechanik in der hamiltonschen Formulierung mittels Poissonklammern in den quantenmechanischen Operatorformalismus im Heisenbergbild
klassisch:
quantenmechanisch:
Diese sogenannte Heisenbergsche Bewegungsgleichung entspricht im Heisenbergbild der bekannten Schrödingergleichung des Schrödingerbildes.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 12. Apr 2016 11:38 Titel: |
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OT
Dieser algebraische Begriff wurde wohl 1926 von Born, Heisenberg und Jordan in die Quantenmechanik eingeführt - ein revolutionärer Akt, wie ich finde. |
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Clifford
Gast
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| Clifford Verfasst am: 12. Apr 2016 12:00 Titel: |
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Meine Frage war.
Wo (wann) werden Kommutatoren bzw. Antikommutatoren verwendet? und möglichst mit Begründung oder Erklärung.
Darüber hast du nichts gesagt. |
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Clifford
Gast
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| Clifford Verfasst am: 12. Apr 2016 12:56 Titel: |
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@Tom.s
Es wäre vielleicht besser, wenn ich zuerst folgende Frage stellen.
Kannst du erklären, aus welchem physikalischen und/oder mathematischen Grund kommutieren Operatoren (nicht) mit einander ? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18049
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| TomS Verfasst am: 12. Apr 2016 18:24 Titel: |
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| Clifford hat Folgendes geschrieben: | @Tom.s
Es wäre vielleicht besser, wenn ich zuerst folgende Frage stellen.
Kannst du erklären, aus welchem physikalischen und/oder mathematischen Grund kommutieren Operatoren (nicht) mit einander ? |
Betrachten wir das einfache Beispiel einer ebene Welle
 = e^{i(kx-\omega t)})
Nun definiert man Orts-, Impuls- und Energieoperator
Angewandt auf die Wellenfunktion liefern diese die der Wellenfunktion zugeordneten Eigenwerte für Impuls p und Energie E (nicht für den Ort x, denn eine ebene Welle ist kein Ortseigenzustand)
 = x\,\psi(x,t))
 = -i\hbar\partial_x\,\psi(x,t) = -i\hbar\partial_x\,e^{i(kx-\omega t)} = \hbar k\,\psi(x,t) = p\,\psi(x,t))
 = i\hbar\partial_t\,\psi(x,t) = i\hbar\partial_t\,e^{i(kx-\omega t)} = \hbar \omega\,\psi(x,t) = E\,\psi(x,t))
mit
Dies rechtfertigt zunächst die Einführung dieser Operatoren für ebene Wellen. Schrödinger zeigte im wesentlichen, wie diese "Quantisierung" auch für allgemeine Wellenfunktionen sinnvoll defniert wird und damit auch Wechselwirkungen (Potentiale) betrachtet werden können. Dies liefert dann die sog. Schrödingergleichung.
Betrachtet man den Kommutator von z.B. Ort und Impuls so findet man unmittelbar, dass diese nicht vertauschen:
 = (-xi\hbar\partial_x + i\hbar\partial_x x)\,\phi(x) = -i\hbar x\,\phi^\prime(x) + i\hbar x\,\phi^\prime(x) + i\hbar(\partial_x x)\,\phi(x) = i\hbar\,\phi(x) \neq 0 )
Man kann die Operatoren sowie den Kommutator auch formal und allgemein (unabhängig von der Wellenfunktion) definieren, d.h.
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Clifford
Gast
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| Clifford Verfasst am: 12. Apr 2016 22:52 Titel: |
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Also p kommutiert nicht mit x
Frage war.
Kannst du erklären, aus welchem physikalischen und/oder mathematischen Grund kommutieren Operatoren (nicht) mit einander? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18049
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| TomS Verfasst am: 12. Apr 2016 23:27 Titel: |
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| Clifford hat Folgendes geschrieben: | Frage war.
Kannst du erklären, aus welchem ... mathematischen Grund kommutieren Operatoren nicht mit einander? |
Habe ich vorgerechnet, oder?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 13. Apr 2016 09:08 Titel: |
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Wenn mich nicht alles trügt, liegt hier die oft gehörte Frage nach einem Warum, einer Begründung von Methoden oder Gesetzmäßigkeiten in der Luft, die mit der physikalischen Behandlung des Problems selber nichts zu tun hat. Auch ein Uhrmacher wird sein Spezialwerkzeug kaum "begründen"; es funktioniert halt, ist bequem und effizient. Und er wird nach der fünften Wiederholung dem Kunden samt Uhr freundlich die Tür zeigen. :-) |
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