Das Drachenei - Zeitdilatation

Kain · Gast

Meine Frage:
Der Roman "Das Drachenei" von Robert L. Forward beschreibt die Entwicklung einer intelligenten Spezies auf der Oberfläche eines Neutronensterns (Durchmesser: 20km, Rotation: 5 Umdrehungen/Sekunde, Gravitation: 67 Mio. g). Beobachtet wird das ganze von einer menschlichen Forschergruppe aus einem der Rotation angepassten Orbit von 400km.

Der Autor ist Physiker und hat alles glaubhaft rüber gebracht (die Lebensformen auf dem Stern sind nur wenige Millimeter groß, haben selbst eine hohe Dichte und Temperatur, die Menschen nutzen Ausgleichsmassen in Form von stark verdichteten Asteroiden, um nicht von der Gravitation des Pulsars zermalmt zu werden). Besonders interessant ist der Umstand, dass die Cheela (Das Neutronenstern-Volk) aufgrund ihrer Physiologie ca. 1 Mio. mal schneller leben als die Menschen (Eine Menschenminute = 2 Cheela-Jahre bzw. 144 Umdrehungen des Pulsars).

Ein schönes und interessantes Buch - aber eine Sache hat mir bei den relativen Zeiten gefehlt: Die von der gewaltigen Gravitation verursachte Zeitdilatation. Diese müsste ja eigentlich dem 1:1Mio-Effekt entgegen wirken.

Meine Ideen:
Ich habe jetzt mal mit den obrigen Parametern die Dilatation (Unter Anwendung der Formel

berechnet und lande bei ca. 2s / Jahr. Wenn das hingkommt, wäre der Effekt ja wirklich vernachlässigbar gering.

Aber kann das denn hinkommen? Bei 67 Mio g?Kann mir hier jemand aushelfen? Kommt mein Ergebnis hin? Falls nicht, hat hier vielleicht der Autor geschlampt (was ich nicht glaube)? Oder habe ich vielleicht einen elementaren Denkfehler in meiner Überlegung und die Lösung ist viel einfacher?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18108

Vielleicht helfen dir ja folgende Formeln weiter.

Die Zeitdilatation für ein Zeitintervall dt (Koordinatenzeit in Schwarzschildkoordinaten) für Abstand r bezogen auf ein Eigenzeitintervall dτ ist gegeben durch

Die Oberflächengravitation eines Neutronensternes mit Radius R ist gegeben durch

Nur: die Zeitdilatation bezieht sich ja immer auf zwei verschiedenen Beobachter, also hier auf zwei Beobachter mit verschiedenen Gravitationspotentialen. Ein Beobachter auf der Oberfläche spürt bzw. erlebt keine Zeitdilatation bezogen auf sich selbst. Die Zeitdilatation im Falle des Neutronensterns würde besagen, dass die Lebewesen aus Sicht eines bei r sitzenden Beobachters langsamer altern als sie selbst bzw. ein bei R sitzender Beobachter dies wahrnehmen.

Vergleiche das mit dem freien Fall eines Astronauten in ein schwarzes Loch: der Astronaut durchquert den Ereignishorizont (und erreicht die Singularität) in endlicher Zeit; aber aus Sicht eines entfernten Beobachters erreicht der Astronaut den Ereignishorizont nie.

Kain · Gast

Hi. Erstmal danke für die schnelle und ausführliche Antwort.
Noch ein paar grundlegende Fragen, damit mir beim Rechnen keine weiteren Fehler unterlaufen.

G = Gravitationskraft
Hier müsste ich doch bei 67Mio g einfach [latex] 9,81 \frac{m}{s{2}} \cdot 6,7 \cdot 10^{7} [\latex] einsetzen können, oder?

R = Radius
Die zwei Bezugssysteme sind die Sternoberfläche und der 400km-Orbit. Kommt das hin, wenn ich für den Sternradius [latex]1 \cdot 10^{5} m [\latex] (bei einem Durchmesser von 20km) und für den Orbit [latex] 4,1 \cdot 10^{6} m [\latex] (Orbit + Sternradius) einsetze?

M = ?
Wofür steht in diesem Fall M?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18108

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18108

Noch eine Klarstellung zu der o.g. Formel für die Zeitdilatation:

Diese gilt für ein Eigenzeitintervall dτ bei Abstand r bezogen auf ein Zeitintervall dt eines unendlich weit entfernter Beobachters (mit Koordinatenzeit gleich Eigenzeit t).

Genauer sollten wir also für die Eigenzeitintervalle bei Radius r bzw. R jeweils betrachtet aus dem Unendlichen schreiben

Wir wollen aber nun nicht die Prozesse bei R aus dem Unendlichen betrachten, sondern vom Radius r aus; d.h. die Zeit dt im Unendlichen interessiert uns nicht und wir eliminieren sie mittels Division

Damit erhalten wir letztlich

wobei wir den Index für Unendlich wieder weglassen, da wir diesen Beobachter sozusagen aus unserer Betrachtung eliminiert haben.

Das ist auch vernünftig, denn wenn wir nun den Bahnradius r gegen den Radius des Neutronensternes gehen lassen, dann wird r=R und der Effekt der Zeitdilatation entfällt.

Um die Formeln noch etwas abzukürzen führen wir die beiden dimensionslosen Größen

ein; dann gilt

------------

Die Formel für die Oberflächenbeschleunigung schreiben wir auch noch etwas um

Nun kennen wir ja die Masse des Neutronensternes nicht, nur seine Oberflächengravitation. D.h. insbs. sind die Größen x und X unbekannt. Zunächst lösen wir also die letzte Gleichung

nach X auf und bestimmen X als Funktion von g (deine Übung ;-)

Anschließend setzen wir

in die Formel für die Zeitdilatation ein und erhalten

So, das war’s. Damit kann man berechnen, wie die beiden Zeitintervalle bei Radius R bzw. r zusammenhängen, bzw. welches Eigenzeitintervall bei R welchem Eigenzeitintervall bei r entspricht. Das einzige was noch fehlt ist die explizite Bestimmung von X als Funktion von g aus der Gleichung für die Oberflächengravitation.