Darstellung von Zustandsvektoren

einGast · Gast

Hallo!

Folgende Frage(n). Wenn ich eine diskrete Basis

gegeben habe, kann ich den Zustandsvektor

als Linearkombination dieser Basen schreiben:

Das ist mir einleuchtend, ist das doch nichts Anderes als stinknormale lineare Algebra (analog:

).

Jetzt stellen sich mir doch ein paar Fragen beim Thema. Erstens: Es gilt folgende Gleichung laut meinem Skript:

Warum gilt diese Gleichung (wie kommt man darauf?) und kann man diese Gleichung nicht auch als:

lesen? Also einfach die Reihenfolge des Bras und Kets vertauscht (sollte doch möglich sein?). Falls dem so sein sollte, würde mir die Formel aber noch weniger klar werden. Das Skalarprodukt orthonormaler Basisvektoren mit sich selbst aufsummiert ergibt den "1-Operator"? Verstehe ich nicht.

2. Frage: Was bedeutet "Vollständigkeit" (rein anschaulich)? Muss ich in den Mathevorlesungen irgendwie verpasst haben. Also was ist der Unterschied zwischen einem ONS und einem VONS?

3. Frage: Was ist überhaupt eine diskrete / kontinuierliche Basis? Also intuitiv ist mir das irgendwie schon klar (hoffe ich). Bei Schrödingers Katze würde ich z. B. von einem diskreten Spektrum (tot oder lebendig als mögliche Eigenzustände) ausgehen. Während meinetwegen die Eigenzustände des Ortsoperators "fließend" sind. Ist meine Vorstellung annähernd richtig?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18073

Zur ersten Frage: Zeilenvektor * Spaltenvektor = Skalarprodukt; Spaltenvektor * Zeilenvektor = Matrix, d.h. insbs. keine Summation. Mach dir das doch mal anhand von zwei 2-dim. Einheitsvektoren klar.

Zu 2.: Ein ONS ist vollständig, wenn jeder Vektor des Vektorrraumes dargestellt werden kann. zwei Einheitsvektoren in einem 3-dim. Vektorrraumes bilden ein ONS aber kein VONS.

Zu 3.: Eine kontinuierliche 'Basis' ist streng mathematisch keine Basis; insbs. haben die in der QM verwendeten separablen Hilberträume alle eine abzählbare Basis (Bsp.: L² und Fouriertrf.: die diskrete Basis sind die Hermitefunktionen); lies' dir mal was zu Hamel- und Schauderbasis durch.

Eine kontinuierliche Basis bedeutet nur die Darstellung eines Vektors mittels eines linearen Funktionals.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18073

Nochmal zu 1:

Gegeben sei für einen n-dim. Vektorraum die Bassis

Jeder einzelne Basisvektor habe die Elemente

D.h. der a-te Basisvektor hat an der a-ten Stelle eine Eins, sonst eine Null.

Nun berechnen wir das Skalarprodukt zweier Basisvektoren sowie die Vollständigkeitsrelation

a) Skalarprodukt

b) Vollständigkeitsrelation

D.h. die Vollständigkeitsrelation b) besagt, dass man aus dem obigen Produkt der Basisvektoren die Einheitsmatrix bzw. den Einheitsoperator als Operator im Vektorraum erhält, während a) das Skalarprodukt (bzw. n²) Skalarprodukte zusammenfasst. Bei b) handelt es sich letztlich um eine Summe über Projektoren auf orthogonale eindimensionale Unterräume. Man beachte die Bedeutung der Indizes: a,b numerieren die Basisvektoren, i,k dagegen die Elemente innerhalb der Vektoren bzw, im letztes Ausdruck die Matrixelemente in der Einheitsmatrix.

Ich hoffe, der Unterschied zwischen a) und b) ist klar.

In der QM schreibt man dafür nun kurz

für das Skalarprodukt sowie

für die Vollständigkeitsrelation. Dabei treten keine Indizes für die Einträge in den Vektoren auf, sondern nur die Nummern der Basisvekltoren selbst, d.h. die m,n entsprechen den a,b, nicht den i,k.