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Nima93
Anmeldungsdatum: 08.01.2012
Beiträge: 221
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 Nima93 Verfasst am: 05. Feb 2012 23:54 Titel: Fadenpendel exakte Periodendauer? |
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Meine Frage:
Hallo,
Ich habe hier eine Aufgabe zur Periodendauer des Fadenpendels. Für die Schwingungsdauer T des Pendels habe ich hier gegeben:
-2\cos(\beta ) } } \, \dd \alpha ,
<br />
T_{0}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} )
, wobei Beta eigentlich Alpha-null sein soll, also wohl der ursprüngliche Winkel.
Meine Frage ist jetzt: wie kommt man auf diese Formel? Ich habe sie noch nie vorher gesehen... und Falls noch jemand wüsste, wie man das ganze in ein elliptisches Integral umwandelt, wäre das noch optimaler 
Viele Grüße
Nima93
Meine Ideen:
Also die DGL zum Fadenpendel und die Herleitung der "normalen" Schwingungsdauer, hier T-null, ist mir klar. aber zu dieser Formel habe ich leider noch nichts gefunden... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18116
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| TomS Verfasst am: 06. Feb 2012 00:41 Titel: |
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Hier eine kurze Idee (Skizze) zu einer Herleitung.
Für die Energie E gilt
Nun wird der Ortsvektor sowie die Höhe durch den Winkel ausgedrückt; in der kinetischen Energie entsteht dabei ein Term
Man kann nun für eine bestimmte Pendelbewegung mit einer bestimmten Anfangsbedingung die Energie als Konstante ansetzen und nach der Winkelgeschwindigkeit auflösen:
 = \text{const.})
)
Nun berechnet man die Zeit für eine Schwingungsperiode; dies ist das Vierfache der Zeit zwischen einem Startpunkt bei maximaler Höhe (Anfangsbedingung im Winkel) und dem tiefsten Punkt beim Winkel 0
})
Daraus müsste dann deine Formel folgen
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 06. Feb 2012 10:03, insgesamt einmal bearbeitet |
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Nima93
Anmeldungsdatum: 08.01.2012
Beiträge: 221
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| Nima93 Verfasst am: 06. Feb 2012 09:44 Titel: |
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vielen dank erstmal, so ganz verstanden hab ichs noch nicht, aber ich werd mal dran arbeiten^^ |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18116
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| TomS Verfasst am: 06. Feb 2012 10:05 Titel: |
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Du solltest den allgemeinen Gedankengang verstehen, bevor du losrechnest - also frag nach ;-)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Nima93
Anmeldungsdatum: 08.01.2012
Beiträge: 221
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| Nima93 Verfasst am: 06. Feb 2012 23:53 Titel: |
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Hmm... also so ganz nachvollziehen wie man auf diesen Winkelkram kommt kann ich momentan leider nicht... Kann mir vll jemand eine Website oder ein Buch empfehlen, wo diese ganze Geschichte erklärt ist? Wenns sowas schon gibt, braucht ja hier auch niemand diese hässlichen formeln in latex zu hämmern  normalerweise richtet sich unsere Vorlesung ziemlich exakt nach dem Nolting... Da steht das aber leider nicht drin und ich habe bisher nichts wirklich brauchbares gefunden... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18116
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| TomS Verfasst am: 07. Feb 2012 07:19 Titel: |
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Magst du nicht mal meinen Ansatz nachvollziehen und deine Ergebnisse hier reinstellen? Theoretische Physik lernt man am besten durch selber rechnen.
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Nima93
Anmeldungsdatum: 08.01.2012
Beiträge: 221
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| Nima93 Verfasst am: 07. Feb 2012 13:12 Titel: |
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Hallo, gerne versuche ich deinen Ansatz nachzuvollziehen, dachte nur, wenn das irgendwo gut erklärt ist, muss ich hier nicht die zeit anderer beanspruchen...
Also was ich nicht ganz verstehe, ist, wie man r und h mit dem Winkel ausdrückt... ich schätze mal man würde das ganze am besten in Polarkoordinaten mit dem Aufhängpunkt des Fadens als Ursprung machen, oder? dann müsste ich doch sagen: r=(l,phi), oder?? aber wie ich damit weiterrechnen soll ist mir momentan ziemlich schleierhaft. gut klar, ich kann das in die Energieformel einsetzen, aber dann weiß ich nicht mehr weiter... Ich bin leider allgemein etwas verwirrt wenn nicht in kartesischen koordinaten gerechnet wird. ich kann dann doch z.b. nicht sagen, r= l*ê(r) + phi * ê(phi), oder???
Grüße
Nima93 |
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Algernoon
Gast
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| Algernoon Verfasst am: 07. Feb 2012 13:42 Titel: |
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polarkoordinaten sind nicht nötig
eine Zeichnung ist es sehr wohl |
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Nima93
Anmeldungsdatum: 08.01.2012
Beiträge: 221
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| Nima93 Verfasst am: 07. Feb 2012 14:21 Titel: |
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ok, das ist schonmal schön
allerdings komme ich auf dieses Ergebnis:
 \\ \cos(wt) \end{pmatrix}
<br />
<br />
(\dot{\vec{r} } )² = w²l²(\cos²(wt)-\sin²(wt) ))
kann das überhaupt sein?? kommt mir schon etwas komisch vor gerade... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18116
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| TomS Verfasst am: 08. Feb 2012 00:39 Titel: |
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Beim Ableiten entsteht einmal ein Minus, aber beim Quadrieren ist das wieder weg ... also sin² + cos² = 1
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Nima93
Anmeldungsdatum: 08.01.2012
Beiträge: 221
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| Nima93 Verfasst am: 08. Feb 2012 12:12 Titel: |
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Ah, ok, dachte mir schon, dass da irgendwas nicht stimmt...
Dann komme ich mit  ) auf
 ) und dann mit
 auf
(l-E)+E }{E\cos(wt) } } )
Aber das sieht jetzt irgendwie nicht so aus, wie es soll 
Ich muss doch wahrscheinlich für E auch noch irgendwas einsetzen, oder??
Oder hab ich irgendwie falsch gerechnet? |
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Nima93
Anmeldungsdatum: 08.01.2012
Beiträge: 221
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| Nima93 Verfasst am: 08. Feb 2012 13:37 Titel: |
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Hat das ganze eigentlich irgendwas mit dem Potential zu tun? Die Form der Gleichung erinnert mich irgendwie daran... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18116
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| TomS Verfasst am: 08. Feb 2012 16:56 Titel: |
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Nun, der erste Fehler ist, dass du die Winkelgeschwindigkeit konstant setzt; das trifft natürlich nicht zu (sorry, wenn ich dich da in die Irre geführt habe).
Dann musst du die von mir skizzierten Schritte durchführen
Für die Energie E gilt
Ausgedrückt durch den Winkel ergibt das
Auflösen nach der Winkelgeschwindigkeit ergibt
Wenn das Pendel aus der Ruhelage bei einem festen Winkel losgelassen wird erhält man die Anfangsbedingung
und kann die Energie durch den Winkel ausdrücken.
Dies wiederum eingesetzt ergibt
)
Hier erkennst du schon die Struktur des Nenners.
Das wiederum setzt du in die Formel für T ein, d.h. aus
folgt
Dabei hab' ich jetzt bestimmt irgendwelche Fehler in den Konstanten, aber der Weg ist klar, oder?
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Nima93
Anmeldungsdatum: 08.01.2012
Beiträge: 221
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| Nima93 Verfasst am: 08. Feb 2012 18:26 Titel: |
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Achso, ok... das sieht etwas logischer aus als meine Rechnung^^
Vielen Dank, jetzt ist mir das einigermaßen klar... auch wenn ich von selbst niemals auf diesen Ansatz gekommen wäre. Aber in der Klausur wird sowas ja hoffentlich eher nicht abgefragt... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18116
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| TomS Verfasst am: 09. Feb 2012 09:03 Titel: |
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| Nima93 hat Folgendes geschrieben: | | Aber in der Klausur wird sowas ja hoffentlich eher nicht abgefragt... |
Der Trick ist in vielen Fällen immer der selbe: anstelle die Bewegungsgleichungen - die von zweiter Ordnung sind - zu lösen, verwendet man die erhaltene Gesamtenergie um damit eine Gleichung von erster Ordnung zu erhalten und diese "direkt" zu integrieren; das ist meist wesentlich einfacher; insbs. kann man auch die Zeitabhänigkeit in voller Allgemeinheit lösen, d.h. nicht nur speziell für die Schwingunsgdauer.
Insofern ist die Methode auch für eine Klausur relevant
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Nima93
Anmeldungsdatum: 08.01.2012
Beiträge: 221
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| Nima93 Verfasst am: 09. Feb 2012 13:30 Titel: |
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Hmm... ok, danke für den Tipp... Dann werde ich mir das nochmal gut verinnerlichen... |
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