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Physik-Gast
Gast
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 Physik-Gast Verfasst am: 13. Nov 2011 22:10 Titel: Feldverteilung berechnen |
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Gauß'sches Gesetz der Elektrostatik:  \, d\vec{F} = \frac{1}{\epsilon_0} \int_V \! \rho(\vec{r}) \, dV )
In Worten: "Gesamtfluss des elektr. Feldes durch eine geschlossene Oberfläche F entspricht dem  -fachen der von der Oberfläche eingeschlossenen Gesamtladung."
Gegeben: Ein Hohlzylinder (Zylinderkondensator) der Höhe h mit folgender Ladungsverteilung in Zylinderkoordinaten:
 = \begin{cases} 0, & \text{wenn }r < R_1\\ C \cdot r, & \text{wenn }R_1 \leq r \leq R_2\\ 0, & \text{wenn }r > R_2\end{cases})
Gesucht: Die Feldverteilung mittels des Gauß-Gesetzes.
Meine Überlegungen:
Hohlzylindervolumen: )
Parametrisierung des Hohlzylindervolumens, das die Ladungsverteilung "enthält":
 = \begin{pmatrix} r cos \phi \\ r sin \phi \\ z \end{pmatrix}, r \in [R_1, R_2], \phi \in [0, 2 \pi], z \in [0, h])
Volumenform:  .
Für das Volumenintegral auf der rechten Seite des Gauß'schen Gesetzes ergibt sich dann:
 \, dV = \frac{1}{\epsilon_0} \int_{R_1}^{R_2} \int_0^{2 \pi} \int_0^h \! C r^2 \, dr d\phi dz = \frac{2}{3 \epsilon_0} \pi C h^3 R_2 - \frac{2}{3 \epsilon_0} \pi C h^3 R_1 = \frac{2}{3 \epsilon_0} \pi C h^3 (R_2 - R_1)) .
Für die anderen beiden Fälle (= 0, keine Ladung) kommt einfach 0 raus.
Preisfrage: Wie komme ich jetzt and die Feldverteilung (= E-Feld?) ran? |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 14. Nov 2011 01:40 Titel: |
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Es nutzt Dir gar nichts, irgendwelche Formeln anzuwenden, wenn Du sie nicht verstehst. Wie kann denn die Feldstärke völlig unabhängig vom Radius sein, wo doch die von der Hüllfläche eingeschlossene Ladung im Bereich von R1 bis R2 mit dem Radius ändert? Und wieso sollte sich die Feldstärke mit der Zylinderhöhe ändern? Kannst Du Dir vorstellen, warum das so sein sollte?
Warum nutzt Du nicht die Zylindersymmetrie aus? Die Ladungsdichte ist doch nur von r, nicht aber von z und  abhängig.
Und dann solltest Du von Vornherein den feldraum in drei Bereiche unterteilen:
Bereich 1:
Hier wird von der (zylinderförmigen) Hüllfläche keine Ladung eingeschlossen, die Feldstärke ist also Null.
Bereich 2:
In diesem Bereich wächst die Ladungsdichte  mit r und die eingeschlossene Ladung demzufolge mit r³. Die Feldstärke wird also irgendwie von r abhängig sein.
Bereich 3:
In diesem Bereich wird immer dieselbe Ladung eingeschlossen. Nur die Hüllfläche ändert sich proportional mit r. Die Feldstärke wird also mit 1/r abnehmen. Jedenfalls ist sie nicht Null, wie von Dir behauptet. Denn die eingeschlossene Ladung ist ungleich Null.
Am interessantesten ist der Bereich 2. Für diesen Bereich lautet der Gaußsche Flusssatz unter Berücksichtigung der Zylindergeometrie der Anordnung
)
mit
=\int_{R_1}^r \rho (r)\, dV)
mit
Die linke Seite der Gleichung vereinfacht sich aufgrund der Tatsache, dass  und  an jeder Stelle der (gedachten) Zylindermantelfläche parallel sind und der Feldstärkebetrag wegen der Zylindersymmetrie an jeder Stelle eines Zylindermantels mit Radius r konstant ist, zu
Die rechte Seite kannst Du jetzt mal alleine ausrechnen und die so entstandene Gleichung nach E auflösen.
Für den Bereich 3 ist die eingeschlossene Ladung unabhängig von r immer
\, dV) |
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Physik-Gast
Gast
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| Physik-Gast Verfasst am: 14. Nov 2011 04:01 Titel: |
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Erstmal: Danke für die Antwort. Allerdings gibt's da so Einiges, was ich nicht nachvollziehen kann in deinen Ausführungen. Ich fange mal an:
1.) Bereich 3:  . Wieso meinst du, dass da Ladung von irgendeiner Hüllfläche eingeschlossen wird? Der Bereich vom Außenradius bis unendlich ist doch einfach nur der Außenraum (Vakuum?). Und laut Angabe der Ladungsdichte in der Aufgabenstellung befindet sich nur zwischen  eine Ladungsverteilung, nicht aber außerhalb des Zylinders.
2.) Wieso wird in Bereich 2 von  bis  integriert? Das macht doch keinen Sinn. r ist ein kein fester Wert, sondern kann im Bereich 2 alles Mögliche zwischen und  sein. Genau genommen macht der Ausdruck:
| GvC hat Folgendes geschrieben: |
mit
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sogar rein mathematisch keinen Sinn. Seit wann können Integrationsgrenze und Integrationsvariable die Selbe Variable annehmen? Sollte die Grenze im 2. Bereich nicht von bis gehen? Ich meine, dazwischen ist der Bereich mit der gegebenen Ladungsdichte  ja auch definiert ...
| GvC hat Folgendes geschrieben: |
Die linke Seite der Gleichung vereinfacht sich aufgrund der Tatsache, dass und an jeder Stelle der (gedachten) Zylindermantelfläche parallel sind und der Feldstärkebetrag wegen der Zylindersymmetrie an jeder Stelle eines Zylindermantels mit Radius r konstant ist, zu
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Kann ich nicht vollständig nachvollziehen. Zunächst mal: Woher weißt du von vornherein, dass das E-Feld parallel ist zum Normalenvektor? Das kann ich a priori doch gar nicht wissen, wie das E-Feld aussieht? Kannst du das vielleicht etwas ausführlicher erläutern? Und auch wie du genau auf die Formel unten kommst. Ich hab's so versucht nachzuvollziehen:
 \cdot d\vec{F} = \vec{E}(\vec{r}) \cdot \vec{n} \cdot dF = E \cdot 1 \cdot dF \cdot cos \theta)
Jetzt nehme ich einfach mal an (warum auch immer), dass das E-Feld stets parallel zum Normalenvektor ist. Also Cosinus 0° = 1.
Führt schlicht auf  . Jetzt hast du die Zylindersymmetrie ausgenutzt und statt über infinitisimal kleine Oberflächenelemente dF zu summieren, gleich die Gesamt-Mantelfläche hergenommen:  . Richtig?
Das wären vorerst alle meine Fragen. |
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Physik-Gast
Gast
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| Physik-Gast Verfasst am: 14. Nov 2011 04:25 Titel: |
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Ah und noch etwas fällt mir gerade auf.
| GvC hat Folgendes geschrieben: |
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Mal abgesehen davon, dass mir ein Faktor 2 zu viel drin zu sein scheint: sollte hier nicht lieber die (differenzielle) Volumenform von einem HOHLzylinder stehen? Denn das Volumen, das die Ladung umschließt, ist ja nicht der gesamte Vollzylinder. Oder kann ich das quasi beliebig wählen, solange einfach nur die gesamte Ladung eingeschlossen wird, weil der Gesamtfluss eh unabhängig von Form und Größe des Volumens ist? |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 14. Nov 2011 10:12 Titel: |
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Fangen wir mal von hinten an:
| Physik-Gast hat Folgendes geschrieben: | | Mal abgesehen davon, dass mir ein Faktor 2 zu viel drin zu sein scheint: sollte hier nicht lieber die (differenzielle) Volumenform von einem HOHLzylinder stehen? |
Das infinitesimal kleine Volumen, in dem die Ladungsdichte =C\cdot r) konstant ist, ist das eines sehr dünnwandigen Hohlzylinders mit der Zylindermantelfläche  und der Wandstärke  . Der Faktor 2 ist zu viel? Warum?
Und um gleich eine kleine formale Ungenauigkeit zu berichtigen: Die obere Integrationsgrenze ist im Bereich 2 der beliebige Radius r, dann sollte man als Integrationsvariable beispielsweise r' schreiben. Allerdings wäre dann die Raumladungsdichte und das infinitesimal kleine Volumen korrekterweise zu schreiben:
=C\cdot r')
und
Ich habe mir erlaubt, das für meinen "internen" Gebrauch zu vereinfachen.
| Zitat: |
Denn das Volumen, das die Ladung umschließt, ist ja nicht der gesamte Vollzylinder. |
Richtig, es ist der Hohlzylinder mit Innenradius R1 und Außenradius r.
| Physik-Gast hat Folgendes geschrieben: | | Sollte die Grenze im 2. Bereich nicht von bis gehen? |
Nein. Wenn Du die Feldstärke an der Stelle r bestimmen willst (mit ), kannst Du doch nur die Ladung zugrundelegen, die von einem Zylindermantel mit Radius r eingeschlossen wird und keine größere. Die gesamte Ladung wird erst von Zylindern eingeschlossen mit Radius  .
| Physik-Gast hat Folgendes geschrieben: | | Woher weißt du von vornherein, dass das E-Feld parallel ist zum Normalenvektor? |
Wenn die Ladungsdichte unabhängig von und  ist, ist auch die Feldstärke unabhängig von und und aus Symmetriegründen (mach Dir 'ne Skizze) nur in radiale Richtung gerichtet.
| Physik-Gast hat Folgendes geschrieben: | Führt schlicht auf  . Jetzt hast du die Zylindersymmetrie ausgenutzt und statt über infinitisimal kleine Oberflächenelemente dF zu summieren, gleich die Gesamt-Mantelfläche hergenommen:  . Richtig?
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Ich habe "nicht gleich die Gesamtmantelfläche hergenommen" sondern beim Integral  die konstante Feldstärke vor das Integralzeichen gezogen  und dann das Integral  für den gesamten Zylindermantel ausgerechnet. Das Integral ist doch nichts anderes als die Summe aller infinitesimal kleinen Flächenstückchen auf dem Zylindermantel. Und das ist nun mal die gesamte Zylindermantelfläche . |
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Physik-Gast
Gast
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| Physik-Gast Verfasst am: 14. Nov 2011 12:20 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: |
Die linke Seite der Gleichung vereinfacht sich aufgrund der Tatsache, dass und an jeder Stelle der (gedachten) Zylindermantelfläche parallel sind und der Feldstärkebetrag wegen der Zylindersymmetrie an jeder Stelle eines Zylindermantels mit Radius r konstant ist, zu
Die rechte Seite kannst Du jetzt mal alleine ausrechnen und die so entstandene Gleichung nach E auflösen. |
Gut, dann wäre die rechte Seite:
)
Die linke Seite war:  . Gleichsetzen führt auf:
Mir scheint, es sollte eigentlich auf der linken seite  stehen und als Ergebnis rauskommen:
Kann das sein? Und vektoriell dann:
 = (C \frac{1}{3}r^3 \frac{1}{r'} - C \frac{1}{3}R_1^3 \cdot \frac{1}{r'}) \vec{e}_r)
Bleibt noch die Frage, was jetzt mit Bereich 3 ist. Den Teil habe ich immer noch nicht verstanden. Konkret auf diese Aussage bezogen:
| GvC hat Folgendes geschrieben: | Die gesamte Ladung wird erst von Zylindern eingeschlossen mit Radius .
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Wieso ist außerhalb des Zylinders  irgendeine Ladung eingeschlossen ...? Und was bedeutet Bereich 3 für mein Gesamtergebnis? |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 14. Nov 2011 13:22 Titel: |
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| Physik-Gast hat Folgendes geschrieben: | ...
Mir scheint, es sollte eigentlich auf der linken seite stehen ... |
Was soll denn die Integrationsvariable r' auf der linken Seite. Auf der linken Seite wird doch gar nicht über r integriert, sondern über die Fläche bei konstantem r, nämlich genau dem Radius, an dem Du die Feldstärke bestimmen willst. Und es war zuvor schon festgestellt worden, dass die Mantelfläche eines Zylinders mit Radius r gerade  ist.
| Physik-Gast hat Folgendes geschrieben: |
...
Bleibt noch die Frage, was jetzt mit Bereich 3 ist. Den Teil habe ich immer noch nicht verstanden. Konkret auf diese Aussage bezogen:
| GvC hat Folgendes geschrieben: | Die gesamte Ladung wird erst von Zylindern eingeschlossen mit Radius .
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Wieso ist außerhalb des Zylinders irgendeine Ladung eingeschlossen ...? |
Dir scheint der Begriff "Hüllfläche" noch nicht klar zu sein. Die Hüllfläche umschließt ein Volumen. Die umhüllte (eingeschlossene) Ladung ist also die im von der Hüllfläche umfassten Volumen befindliche Ladung. Hast Du Dir denn, wie von mir vorgeschlagen mal eine Skizze gemacht? Außerdem hast du das doch schon selber festgestellt:
| Physik-Gast hat Folgendes geschrieben: | In Worten: "Gesamtfluss des elektr. Feldes durch eine geschlossene Oberfläche F entspricht dem  -fachen der von der Oberfläche eingeschlossenen Gesamtladung." |
Im vorliegenden Fall ist die Hüllfläche die Oberfläche eines koaxialen Zylinders mit Radius r. Ein solcher Zylinder schließt je nach r eine mehr oder minder große Ladung ein, im Bereich 1 keine Ladung, im Bereich 2 eine von r abhängige Ladung, im Bereich 3 die gesamte Ladung, nämlich die zwischen R1 und R2 verteilte Ladung.
Zur Oberfläche eines Zylinders gehören neben der Mantelfläche natürlich auch Boden- und Deckfläche (pi*r²). Allerdings werden Boden- und Deckfläche von keinem Fluss durchsetzt, da Feldstärke- und Flächenvektor senkrecht aufeinander stehen. Damit reduziert sich das Hüllflächenintegral auf das Integral über die Mantelfläche des Zylinders.
| Physik-Gast hat Folgendes geschrieben: | | Und was bedeutet Bereich 3 für mein Gesamtergebnis? |
Du sollst doch die Feldstärke in Abhängigkeit von r bestimmen, und zwar von r=0 bis r=unendlich. Da gehört der Bereich 3 doch dazu, oder? Schau mal, was ich in meinem ersten Beitrag - sozusagen als Vorüberlegung - zu den drei Bereichen gesagt habe.
Übrigens: Im Bereich 2 gibt es noch eine Besonderheit. Da ist die Permittivität nicht  , sondern  . Denn die Raumladung ist dort ortsfest verteilt, das kann aber nur sein, wenn das Medium, in dem die Ladung sich befindet, ein Isolierstoff, die Ladung also unbeweglich ist. In Luft oder Vakuum oder jedem leitfähigen Material würde die Ladung unter dem Einfluss der Feldstärke sich von dem durch ) vorgegebenen festen Ort fortbewegen. Es gibt aber keinen Isolierstoff, der dieselbe Permittivität wie Vakuum hat. |
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Physik-Gast
Gast
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| Physik-Gast Verfasst am: 14. Nov 2011 14:01 Titel: |
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Ich werd noch verrückt. Also hier mal eine Skizze:
upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d9/Traegheit_d_hohlzylinder2.png
Beim Bereich 1 sind wir uns einig. Zwischen 0 und R_1 ist nur ein Hohlraum, Luft, Vakuum, nichts. Keine Ladung eingeschlossen.
Bereich 2 wäre zwischen R_1 und R_2. Also quasi der Bereich der Wanddicke. Aber genau in dem Bereich ist doch die GESAMTLADUNG enthalen.
Bereich 3 wäre zwischen R_2 bis unendlich. Also nur der Außenraum, außerhalb des Zylinders. Da ist wieder keine Ladung enthalten. Die Ladung ist nur innerhalb der Zylinderwanddicke.
Ich werd bekloppt. Ich seh das nicht ein. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 14. Nov 2011 18:44 Titel: |
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Die nachfolgende Skizze zeigt einen Schnitt durch die die koaxiale Anordnung. (Das sollen natürlich alles konzentrische Kreise sein, die sich als Schnittbild durch die koaxiale Anordnung ergeben). Senkrecht zur Darstellungsebene dehnt sich der Zylinder auf eine Länge von h aus.
http://www.bilder-space.de/bilder/cb7eb7-1321291483.jpg
Die blauen Kreise stellen den Hohlzylinder dar, in dessen Wandung, also zwischen R1 und R2, die Raumladungsdichte irgendwie verteilt ist.
Die roten Kreise sind die Schnitte durch die jeweiligen gedachten Hüllzylinder. Stellvetretend für die unendlich vielen Möglichkeiten habe ich für jeden Bereich nur einen Hüllzylinder (im Schnittbild als rote Kreise) dargestellt.
Dabei sollte nun auch von Dir deutlich zu erkennen sein:
Im Bereich 1 wird vom Hüllzylinder (rote durchgezogene Linie) keine Ladung umfasst, egal wie groß man r wählt, vorausgesetzt es ist r<=R1.
Im Bereich 2 wird nur die Ladung umfasst, die sich zwischen R1 und r (Radius des Hüllzylinders) befindet (strichpunktierte Linie), nicht aber die Gesamtladung (solange wie r<R2).
Im Bereich 3, also von allen Zylindern mir r>=R2 (gestrichelte Linie) wird immer die gesamte zwischen R1 und R2 befindliche Ladung umfasst. |
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Physik-Gast
Gast
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| Physik-Gast Verfasst am: 14. Nov 2011 19:10 Titel: |
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Mit diesem Bild ist es sofort verständlich geworden. Das war aber sehr freundlich von dir, dir diese Mühe zu machen. Vielen Dank. Ich habe die ganze Zeit nicht realisiert, dass man sich quasi einen zweiten "virtuellen" Zylinder als Hüllfläche dazudenken soll.
Dann nochmal kurz die Frage: War das hier für Bereich 2 korrekt ausgerechnet?
| Physik-Gast hat Folgendes geschrieben: | |
Bzw. vektoriell mit dem Einheitsvektor in r-Richtung (in Zylinderkoordinaten) multipliziert?
Und das Ganze dann nochmal für Bereich 3 berechnen und addieren? |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 14. Nov 2011 23:03 Titel: |
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| Physik-Gast hat Folgendes geschrieben: | | Mit diesem Bild ist es sofort verständlich geworden. Das war aber sehr freundlich von dir, dir diese Mühe zu machen. Vielen Dank. Ich habe die ganze Zeit nicht realisiert, dass man sich quasi einen zweiten "virtuellen" Zylinder als Hüllfläche dazudenken soll. |
Wir haben doch immer von einer "gedachten" Hüllfläche gesprochen (lies die Beiträge nochmal durch), was ja auch sinnvoll ist. Denn wenn wir die Feldstärke an der Stelle r bestimmen wollen, können wir nur solche Ladungen dabei berücksichtigen, die von einem entsprechendem Hüllzylinder (nämlich einem mit dem Radius r) eingeschlossen werden. Das hattest Du selber bereits in Deinem Eröffnunsgpost so interpretiert. Lies Dir den vielleicht auch nochmal durch. Na ja.
| Physik-Gast hat Folgendes geschrieben: | Dann nochmal kurz die Frage: War das hier für Bereich 2 korrekt ausgerechnet?
Bzw. vektoriell mit dem Einheitsvektor in r-Richtung (in Zylinderkoordinaten) multipliziert? |
Da kannst Du noch C/3 ausklammern. Dann sieht es nicht so kompliziert aus. Allerdings fehlt noch das  im Nenner.
| Physik-Gast hat Folgendes geschrieben: | | Und das Ganze dann nochmal für Bereich 3 berechnen und addieren? |
Was willst Du denn addieren? Du rechnest die Gesamtladung aus, dividierst durch die Hüllzylindermantelfläche und durch  und hast damit E. Ich sehe da keine Addition.
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