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WhiteRussian
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 56
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 WhiteRussian Verfasst am: 04. Jun 2011 13:17 Titel: Pendel variabler Länge |
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Wir haben ein Pendel mir variabler Länge gegeben. Zwangsbedingungen müssten
 = r - l(t) = 0) und
 = \phi_0-\phi = 0)
sein, oder?
Natürlich kann man es auch in kartesischen Koordinaten ausdrücken, aber das dürfte nicht Sinn der Sache sein.
Jetzt brauche ich die Zwangskraft. Diese ist gegeben durch
 \nabla f_i(\vec{r}_1, ..., \vec{r}_N, t))
Meines Erachtens müsste k = 2 sein und j = 1, denn es gibt ja nur eine Zwangskraft im Faden des Pendels.
Damit erhalte ich für F
) + \nabla\lambda_2(\phi_0-\phi)))
Leider ist mir Schleierhaft, wie man das nun weiter ausrechnen kann?! Was kann man über die Vorzeichen der Lambdas sagen? Müssen diese negativ sein, damit die Kraft dann positiv ist? |
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Keplerfan
Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252
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| Keplerfan Verfasst am: 04. Jun 2011 13:30 Titel: |
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Wofür ist die zweite Zwangsbedingung?
Umgeformt erhält man  = \phi_0 ) .
Der Winkel ist immer konstant?  |
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WhiteRussian
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 56
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| WhiteRussian Verfasst am: 04. Jun 2011 14:29 Titel: |
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Öhhhhhhhh  Ich hatte das gegoogelt. Leider finde ich die Quelle jetzt nicht mehr. Also weg mit der Zwandsbedingung. Dann hat das System also 5 Freiheitsgrade. |
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Keplerfan
Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252
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| Keplerfan Verfasst am: 04. Jun 2011 15:15 Titel: |
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Du könntest dann z.B. schon mal mit der Darstellung des Gradienten in Polarkoordinaten den Gradienten  ) ausrechnen. |
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Keplerfan
Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252
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| Keplerfan Verfasst am: 04. Jun 2011 15:23 Titel: |
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5 Freiheitsgrade? Es gibt zwei Koordinaten  und r, die durch eine Zwangsbedingung voneinander abhängen. Ergibt also 2-1=1 Freiheitsgrad. Das r(t)=l(t) kennt man ja auch schon, die Frage ist aber nun, wie das sich benimmt, wenn man ihn einen Radius l(t) vorgibt. Das ist also der Freiheitsgrad, dessen Verhalten noch anhand der Bewegungsgleichungen bei vorgegebenem l(t) zu bestimmen ist. |
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WhiteRussian
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 56
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| WhiteRussian Verfasst am: 04. Jun 2011 16:03 Titel: |
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Hm, nach )
Hängt der Winkel ja von der Gravitation und Länge ab. Wenn ich das jetzt nach Phi auflöse kommt mir das aber spanisch vor, g hat doch in einer Zwangsbedingung nix zu suchen?
)
Deswegen würde ich sagen, dass der Gradient
sein muss.
Die 5 Freiheitsgade hatte ich aus der Formel 3N-k. Für was ist die denn dann gut? |
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Keplerfan
Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252
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| Keplerfan Verfasst am: 04. Jun 2011 16:37 Titel: |
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Die Formel oben gilt nur fürs Pendel mit fester Fadenlänge, würde ich erstmal behaupten, ohne das jetzt nachgerechnet zu haben. Du bekommst ja in Polarkoordinaten noch andere Terme mit rein, einen für die Zentrifugalkraft und einen für die Corioliskraft. Am besten erstmal den allgemeinsten Ansatz für die Bewegungsgleichungen in Polarkoordinaten nehmen mit  \hat{e}_r(t)})^{\cdot \cdot} ) .
Beim Pendel mit fester Fadenlänge gilt ja
 = l = \text{const.} )
und deshalb
 = 0 )
 = 0 )
d.h. in deiner Bewegungsgleichung oben sind viele Ableitungen weggefallen, die jetzt bei variabler Fadenlänge wieder vorkommen.
Die Formel 3N-k gilt nur in drei Dimensionen. Dann ist N die Zahl der Teilchen, aus denen das System besteht, und 3 die Dimension. Das gegebene Problem kann man auch dreidimensional behandeln, dann müsste man dreidimensionale Koordinaten (z.B. Zylinderkoordinaten) nehmen und eine weitere Zwangsbedingung (wie z.B. z=0) einführen. Man hätte dann also k=2 und N=1, was wieder auf 3*1-2 = 1 Freiheitsgrad führt.
Alternativ kann man für zwei Dimensionen die Formel 2N-k benutzen.
Dein Gradient ist richtig:  = {\hat e}_r ) Die Zwangskraft wird also in radiale Richtung zeigen. Logisch, oder?  |
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WhiteRussian
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 56
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| WhiteRussian Verfasst am: 05. Jun 2011 12:05 Titel: |
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Ich muss ehrlich sagen, dass ich keinen Plan habe, wie ich die richtige Bewegungsgleichung bzw. Zwangsbedingung bekomme.  Kannst du mir da vielleicht nochmal einen Tipp geben? Das mit r habe ich verstanden, aber wo setze ich das ein?
Der Vektor ist jetzt also nicht in kartesischen Koordinaten sondern Polarkoordinaten? Und damit zeigt die Kraft immer zum Zentrum der Drehbewebung, d.h. da wo das Pendel aufgehängt ist? |
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Keplerfan
Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252
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| Keplerfan Verfasst am: 05. Jun 2011 14:21 Titel: |
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| WhiteRussian hat Folgendes geschrieben: | Ich muss ehrlich sagen, dass ich keinen Plan habe, wie ich die richtige Bewegungsgleichung bzw. Zwangsbedingung bekomme. Kannst du mir da vielleicht nochmal einen Tipp geben? Das mit r habe ich verstanden, aber wo setze ich das ein?
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Einsetzen musst du das in die Bewegungsgleichungen, also in die Lagrange-Gleichungen 1. Art. Es muss also die Lagrange-Funktion ausgerechnet werden etc.
Achtung übrigens: Wenn du Polarkoordinaten verwenden willst, solltest du dir nochmal überlegen, wie die potentielle Energie von deinem Winkel abhängt. Der Winkel der Polarkoordinaten ist nämlich nicht der, der beim Pendel normalerweise verwendet wird. Beim Pendel verwendet man ja normalerweise den Winkel gegen die negative y-Achse, Polarkoordinaten dagegen den Winkel gegen die positive x-Achse.
Die Zwangsbedingung  ist mE richtig. Die andere musst du einfach wegstreichen und behältst dann nur das  ) :  \hat{e}_r ) (wegen dem bereits ausgerechneten Gradienten). Diese Zwangskraft wird noch vom g abhängen. Man betrachte dazu ein Pendel mit konstanter Fadenlänge, das einfach nur herabhängt: Die Zwangskraft muss in diesem Punkt gerade die Gewichtskraft der Masse kompensieren, damit sie nicht herunterfällt. Die Zwangskraft, die man dazu braucht, ist auf der Erde stärker als auf dem Mond. Bei allgemeinerer Bewegung des Pendels mit konstanten Fadenlänge muss die Zwangskraft auch noch die Zentrifugalkraft kompensieren, dient also als Zentripetalkraft. Ihre dritte Aufgabe ist bei deinem Pendel schließlich noch, dafür zu sorgen, dass  gilt. Das  muss nun gerade so gewählt werden, dass das im Kräftegleichgewicht alles hinkommt.
| Zitat: |
Der Vektor ist jetzt also nicht in kartesischen Koordinaten sondern Polarkoordinaten? Und damit zeigt die Kraft immer zum Zentrum der Drehbewebung, d.h. da wo das Pendel aufgehängt ist? |
So ist es. Die Zwangskraft muss ja dafür sorgen, dass wirklich gilt:
 = l(t) )
 = \dot l(t) )
 = \ddot l(t) )
Die muss also z.B. die Zentrifugalkraft ausschalten, die sonst auch noch mitspielen wollen würde.
Deine Darstellung des Gradienten ist da nicht so ganz eindeutig, deshalb hatte ich nochmal hingeschrieben, dass es um den radialen Vektor geht. Ich bin deshalb ein Fan der Darstellung mit Einheitsvektoren:
 = \frac{\partial a}{\partial r} \hat{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial a}{\partial \phi} \hat{e}_{\phi} ) |
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WhiteRussian
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 56
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| WhiteRussian Verfasst am: 05. Jun 2011 15:12 Titel: |
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Und was kann man über das Vorzeichen von Lambda sagen? Ich denke Lambda muss negativ sein, damit die Zwangskraft positiv wird?
So, jetzt muss ich noch berechnen, wie sich die Energie ändert
}{dt} = \lambda(t)\frac{\partial f_1(r, \phi, t)}{\partial t} = -\lambda(t)\dot l(t))
Stimmts?
Und sorry für meine Unsissenheit, ich bin nur Nebenfächler und muss mich irgendwie durch Theo 2 durchschlagen... |
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Keplerfan
Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252
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| Keplerfan Verfasst am: 05. Jun 2011 18:21 Titel: |
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Hi,
das  ) sollst du noch bestimmen, so wie ich die Aufgabe verstehe. Denn es hängt ja von der konkreten Situation während der Bewegung ab, wie groß die Zwangskraft ist. Man kann sich vielleicht erst einmal beim Pendel mit konstanter Fadenlänge überlegen, wie die Kräfte in radialer Richtung aussehen, die kompensiert werden müssen, damit der Radius konstant bleibt (also auch nicht beschleunigt wird,  = 0). Das ist ja, wie du vorher schon gesagt hast, in diesem speziellen Fall genau die Wirkung des Fadens, die durch die Zwangskräfte beschrieben wird. Welche Kräfte müssen nun also durch den Faden kompensiert werden?
Diese wären
1.) Die Gewichtskraft in radialer Richtung,  )
2.) Die Zentrifugalkraft, 
Wie sieht nun also die Bewegungsgleichung für die radiale Richtung aus, wenn keine Zwangsbedingungen bzw. Zwangskräfte gelten?
Die ist mit den gerade besprochenen Kräften offenbar:
}_{\text{Gewichtskraft in Richtung des Fadens}} )
Dabei ist nun noch nicht berücksichtigt, dass das Teilchen an einer Schnur hängt - davon kann die Physik ja auch nichts wissen, ohne dass man es ihr sagt. Hier greift deshalb nun die Zwangskraft, die auch hier wie gehabt in radialer Richtung wirkt und dafür sorgen soll, dass  gilt.
Man addiert deshalb nun die Zwangskraft zur Bewegungsgleichung hinzu:
 - \lambda(t) )
und erhält aus der Forderung
 - \lambda(t) = 0)
 =+ m r\dot{\varphi}^2 + mg \cdot cos(\varphi))
Die Zwangskraft ergibt sich daraus einfach als
 \big) \cdot \hat{e}_r )
Nun kann man noch überall die Zwangsbedingung r(t) = l = const. einsetzen.
 \big) \cdot \hat{e}_r )
Hier wäre, für konstante Fadenlänge, die Zwangskraft also tatsächlich immer in Richtung des Aufhängepunkts gerichtet. Ist ja auch logisch, Zentrifugalkraft und Gewichtskraft ziehen am Faden, und der Faden, also die Zwangskraft, zieht dagegen. Wegen dem minus vor dem Lambda wäre es hier also immer positiv. Für variable Fadenlänge wird das aber meiner Meinung nach nicht gelten - es hängt halt vom l(t) ab.
Kannst dich ja nun mal an der variablen Fadenlänge versuchen.
Die Lagrangegleichungen 1. Art machen im Prinzip nichts anderes, als das gerade besprochene. Müsste dort also genau so rauskommen.
Der Winkel  ist dabei der Winkel, der beim Pendel üblicherweise benutzt wird, für den also die von dir oben angegebene Bewegungsgleichung gilt.
Gute Frage. Wenn die Zwangskraft diese Arbeit leisten würde, die ins System gesteckt wird, wäre die Gleichung richtig (eventuell bis aufs Vorzeichen). Ich würde zur Sicherheit einen Ausdruck für die Energie herleiten und diesen nach der Zeit differenzieren.
| Zitat: | | Und sorry für meine Unsissenheit, ich bin nur Nebenfächler und muss mich irgendwie durch Theo 2 durchschlagen... |
Kein Problem. Ich bin der Meinung, dass die Sache mit der Zwangskraft oft geheimnisvoller dargestellt wird, als es sein müsste. |
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