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Laurar
Gast
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 Laurar Verfasst am: 10. Apr 2014 16:35 Titel: Pendel, Theorie |
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Meine Frage:
Guten Präabend : P
Ich sitze seit der Vorlesung an folgender Aufgabe:
Betrachten Sie ein ebenes Pendel bestehend aus einem Teilchen der Masse  an einem starren Faden der Länge  unter Einfluss der Gravitation. Vernachlässigen Sie Reibung sowie die Masse des Fadens.
a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für das Teilchen auf.
b) Zeigen Sie, dass die Gesamtenergie  d s'}_{=U(s)}) erhalten, d.h. zeitlich konstant ist. Wobei  die Bogenlänge des Aussschlags und ) die Rückstellkraft auf das Teilchen bezeichnen.
c) Zeigen Sie, dass sich die dimensionslose Energie  , schreiben lässt als ) + \frac{p (\tau)^2}{2}) wobei  und  ist. Zeichnen Sie ) sowie ) für  . Diskutieren Sie jeweils die Bewegungen qualitativ. Wie lautet die Bewegungsgleichung in den Koordinaten  und  ?
d) Nehmen Sie an, dass die Auslenkung des Teilchens aus der Ruhelage klein ist und lösen Sie die Differentialgleichung aus a). Zeigen Sie dass die Schwingungsdauer unabhängig ist von Auslenkung und Masse.
Meine Ideen:
Ich werde aus meinen Unterlagen nicht schlau. Wir haben den Galilei-Raum und die Galileitransformation durchgenommen. Zudem haben wir die Newton'schen Gesetze "hergeleitet" eig. das Zweite, das erste und das Zweite sind schwer herleitbar. Nun habe ich noch aus meinen Unterlagen im Angebot:
)
Dann die Bewegung eines Körper ist beschrieben durch eine Kurve:
Kurvengeschwindigkeit: } = d_t \vec{r(t)})
Kurvenbeschleunigung: } = d_t \vec{v(t)} = d_t^2 \vec{r(t)})
(klar)
Dann hatten wir eine infinitesimale Einführung in die Differentialgleichungen.
Newtongleichung als DGL's
Technisch; 3N DGL, gewöhnlich 2ter Ordnung
6N Randbedingungen benötigt, um 1 Lösung zu fixieren
Im Allgemeinen fixieren ) und ) oder und )
Beispiel für 
Des Weiteren:  = \vec{u} + t \vec{w} + \frac c2 t^2 \vec{e_3})
Wobei:  = \vec{u})
Und :  = \vec{w})
Oder halt:  =! \vec{r_0} = \vec{u})
 =! \vec{r_1} = \vec{u} + \vec{w} t + \frac c2 \vec{e_3} t^2)
Weiß nicht so wie ich daraus die nötigen Schlüsse ziehen soll bzw. wie ich es mir nützlich machen soll. Wäre toll wenn mir jemand paar Tipps geben könnte, will nicht unbedingt alles perfekt Lösen, aber ein Ansatz wäre gut, damit ich mich daran festarbeiten könnte.
Danke & liebe Grüße
Laura
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Laurar
Gast
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| Laurar Verfasst am: 12. Apr 2014 07:53 Titel: |
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Also ich habe mir den ganzen Tag gestern Gedanken gemacht und komme auf folgende Bewegungsgleichung. Ich denke es handelt sich um das mathematische Pendel? Es besitzt nur einen Freiheitsgrad und müsste doch
 + \frac{g}{l} \cdot \sin \left(\varphi(t) \right) = 0 )
Kann das sein? Ich pendel bisschen im Nirvana, daher würde mir Hilfe jeglicher Art wirklich helfen.
Danke
Laura
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 12. Apr 2014 11:11 Titel: |
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Hallo,
ja, da geht es wohl um ein ebenes Fadenpendel und das ist auch die richtige Bewegungsgleichung. Nur warum hast Du jetzt ein kleines ell statt ein L, wie in der Aufgabenstellung?
Wie ist die Rückstellkraft in Abhängigkeit von s?
Kannst Du aus FR schon U(s) ausrechnen (also das Integral berechnen?)
Was musst Du tun, wenn Du zeigen willst, dass eine Funktion (hier E) bei Veränderung einer Variablen (hier t) konstant bleibt?
Gruß
Marco
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Laurar
Gast
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| Laurar Verfasst am: 12. Apr 2014 22:12 Titel: |
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| as_string hat Folgendes geschrieben: | Hallo,
ja, da geht es wohl um ein ebenes Fadenpendel und das ist auch die richtige Bewegungsgleichung. Nur warum hast Du jetzt ein kleines ell statt ein L, wie in der Aufgabenstellung?
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Tut mir leid, bleiben wir beim Großen
| as_string hat Folgendes geschrieben: |
Wie ist die Rückstellkraft in Abhängigkeit von s?
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Wie sie ist?  Sie hängt von der Auslenkung ab. Aber kann jetzt nicht herausfinden worauf du mich aufmerksam machen willst. Naja die normale Rückstellkraft eines Pendels ist ja: 
| as_string hat Folgendes geschrieben: |
Kannst Du aus FR schon U(s) ausrechnen (also das Integral berechnen?)
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Ist die Lösung des Integrals als von ) nicht die Bewegungsgleichung? Was sagt genau das  aus? Eine Ableitung der Bogenlänge des Aussschlags ja, aber hmm.
| as_string hat Folgendes geschrieben: |
Was musst Du tun, wenn Du zeigen willst, dass eine Funktion (hier E) bei Veränderung einer Variablen (hier t) konstant bleibt?
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Was ich tun muss? Nun ja  sind alles konstante Funktionen aber was ich jetzt bei  bei sich änderndem tun muss um zu zeigen, dass die Funktion konstant bleibt?
Vielen Dank für die Antwort
Laura
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asaasa
Gast
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| asaasa Verfasst am: 13. Apr 2014 07:18 Titel: |
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a) Die Bewegungsgleichung stimmt, aber hast du sie selbst hergeleitet oder nachgeschaut? Die Herleitung ist recht einfach, zeichne eine Skizze mit allen Kräften und verwende das 2. Newtonsche Axiom.
b) Da steht ganz genau, was man machen soll, nämlich einfach den gegebenen Ausdruck für E nach der Zeit ableiten. Dabei muss du natürlich die Rückstellkraft Fr=-Ds einsetzen.
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 13. Apr 2014 12:34 Titel: |
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| Laurar hat Folgendes geschrieben: | | as_string hat Folgendes geschrieben: | Hallo,
ja, da geht es wohl um ein ebenes Fadenpendel und das ist auch die richtige Bewegungsgleichung. Nur warum hast Du jetzt ein kleines ell statt ein L, wie in der Aufgabenstellung?
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Tut mir leid, bleiben wir beim Großen |
Ja, kein Problem, ich wollte nur, dass Du das nachher in Deiner Ausarbeitung, die Du abgibst, nicht mit kleinem l drin hast...
| Laurar hat Folgendes geschrieben: | | Wie sie ist? Sie hängt von der Auslenkung ab. Aber kann jetzt nicht herausfinden worauf du mich aufmerksam machen willst. Naja die normale Rückstellkraft eines Pendels ist ja: |
Dahin geht wahrscheinlich die Nachfrage von asaasa: Wenn Du die Bewegungsgleichung selbst hergeleitet hättest, dann hättest Du die wahrscheinlich schon bestimmt gehabt.
Zeichne Dir mal so ein Pendel mit einem bestimmten Ausschlag. Auf den Pendelkörper wirkt die Gewichtskraft. Nur der Teil dieser Kraft orthogonal zum Faden bewirkt eine Beschleunigung der Pendelmasse, weil alle anderen Kräfte von der Zwangskraft "aufgefangen" werden, mit der der Faden die Masse auf die Kreisbahn zwingt.
Wenn Du diese Kraft hast, kannst Du ganz normal die Bewegungsgleichung aufstellen, die Du ja im Prinzip schon oben hingeschrieben hast.
| Laurar hat Folgendes geschrieben: | | Ist die Lösung des Integrals als von nicht die Bewegungsgleichung? Was sagt genau das aus? Eine Ableitung der Bogenlänge des Aussschlags ja, aber hmm. |
Nein, das s' ist im Prinzip das s, allerdings wollte der Aufgabensteller wohl die Integrationsvariable und die obere Grenze des Integrals unterscheiden. Er hätte statt s' auch genau so gut sagen wir x oder sonst was nehmen können.
Das U(s) ist das Potential des Fadenpendels, manchmal auch mit V bezeichnet oder so.
| Laurar hat Folgendes geschrieben: | | as_string hat Folgendes geschrieben: |
Was musst Du tun, wenn Du zeigen willst, dass eine Funktion (hier E) bei Veränderung einer Variablen (hier t) konstant bleibt?
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Was ich tun muss? Nun ja sind alles konstante Funktionen aber was ich jetzt bei bei sich änderndem tun muss um zu zeigen, dass die Funktion konstant bleibt? |
Was haben denn alle dise Funktionen gemeinsam, wenn Du z. B. f(x) = 3 hast oder g(x) = 2 oder so. Bilde mal die Ableitung, fällt Dir an der Ableitung was auf?
Gruß
Marco
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Laurar
Gast
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| Laurar Verfasst am: 13. Apr 2014 21:57 Titel: |
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Naja, aber muss ich zwingend für die Aufgabe die Bewegungsgleichung herleiten? Es steht ja "stellen sie die Bewegungsgleichung für das Teilchen auf". Klar für's Verständnis ist es besser sich diese herzuleiten.
 =- m \cdot g \cdot \sin \left(\varphi(t) \right) )
Beim Betrachten eines schwingenden Fadenpendels zeigt sich, dass die Geschwindigkeit mit zunehmender Auslenkung abnimmt, klar und nach dem Erreichen des Scheitelpunkts die Richtung wechselt. Die Geschwindigkeitsänderung bedeutet, dass die Pendelmasse eine Beschleunigung erfährt, genauer gesagt findet eine Tangentialbeschleunigung statt, da es sich ja um eine kreisförmige Bewegungsbahn handelt. Die Bewegungsgleichung lautet nach dem 2. Newtonschen Gesetz.
 = F_\mathrm{R}(t) (*))
Die Tangentialbeschleunigung lässt sich durch die Winkelbeschleunigung ausdrücken.
= L \cdot \ddot{\varphi}(t) (**))
Bei der ungestörten Schwingung stellt die Rückstellkraft des Pendels die einzige äußere Kraft dar. Nach Umstellen und Kürzen der Masse entsteht eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung.
 = - m \cdot g \cdot \sin \left(\varphi(t) \right))
 + \frac{g}{L} \cdot \sin \left(\varphi(t) \right) = 0)
Da ist mir halt unklar wie aus ) dann ) wird.
| as_string hat Folgendes geschrieben: |
Was haben denn alle dise Funktionen gemeinsam, wenn Du z. B. f(x) = 3 hast oder g(x) = 2 oder so. Bilde mal die Ableitung, fällt Dir an der Ableitung was auf? |
Ergeben zero.
| asaasa hat Folgendes geschrieben: |
b) Da steht ganz genau, was man machen soll, nämlich einfach den gegebenen Ausdruck für E nach der Zeit ableiten. Dabei muss du natürlich die Rückstellkraft Fr=-Ds einsetzen. |
Okay, irgendwie weiß ich nicht wie ich das ableiten soll, sprich es wird doch zu  ?
Für die Rückstellkraft einfach einsetzen:
Hm so?
Vielen Dank Euch.
Laura
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 14. Apr 2014 00:08 Titel: |
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| Laurar hat Folgendes geschrieben: | | Naja, aber muss ich zwingend für die Aufgabe die Bewegungsgleichung herleiten? Es steht ja "stellen sie die Bewegungsgleichung für das Teilchen auf". Klar für's Verständnis ist es besser sich diese herzuleiten. |
Ach so, nee, herleiten musst Du sie meinetwegen nicht unbedingt. Ich weiß jetzt nicht, ob der Aufgabensteller das möchte...
Aber für mich war wichtig, dass Du die rückstellende Kraft hast. Die brauchst Du für die Herleitung der Bewegungsgleichung aber auch für die zweite Aufgabe mit der Energie. Das ist nämlich die hier, das hast Du ja schon richtig:
| Laurar hat Folgendes geschrieben: | |
| Laurar hat Folgendes geschrieben: |
[..]
[..]
Da ist mir halt unklar wie aus dann wird. |
Die (**) ist nicht aus der (*) hergeleitet, sondern es ist allgemein so, dass die Tangentialbeschleunigung als Abstand vom Drehzentrum (hier L) mal der Winkelbeschleunigung geschrieben werden kann.
Stell Dir einen Kreis vor und den Winkel im Bogenmaß z. B. zur Senkrechten (oder Waagerechten, ist jetzt hier egal). Dann ist die Länge des Bogens ja gerade Winkel (im Bogenmaß) mal Radius. Die Geschwindigkeit ist dann Winkelgeschwindigkeit (im Bogenmaß) mal Radius und die Beschleunigung entsprechend. Angewandt auf diesen Fall hier ist der Radius halt gerade L und deswegen ist die Beschleunigung tangential auch L mal die Winkelbeschleunigung.
Die (**) wird dann verwendet, um bei der (*) die linke Seite das a_tan zu ersetzen, das ist alles. Dann sieht (*) einfach so aus:
 = F_\text{R}(t))
| Laurar hat Folgendes geschrieben: | | as_string hat Folgendes geschrieben: |
Was haben denn alle dise Funktionen gemeinsam, wenn Du z. B. f(x) = 3 hast oder g(x) = 2 oder so. Bilde mal die Ableitung, fällt Dir an der Ableitung was auf? |
Ergeben zero. |
Sehr gut! 
Wir merken uns also allgemein: Soll eine Funktion konstant bei Änderung einer Variablen sein, dann muss ihr totales Differential nach dieser Variablen 0 sein. Natürlich muss sie erstmal auch differenzierbar sein und so...
| Laurar hat Folgendes geschrieben: | | asaasa hat Folgendes geschrieben: |
b) Da steht ganz genau, was man machen soll, nämlich einfach den gegebenen Ausdruck für E nach der Zeit ableiten. Dabei muss du natürlich die Rückstellkraft Fr=-Ds einsetzen. |
Okay, irgendwie weiß ich nicht wie ich das ableiten soll, sprich es wird doch zu ?
Für die Rückstellkraft einfach einsetzen:
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Also ich meine, dass man das für die Rückstellkraft eben gerade nicht einsetzen darf. Das wäre ja dann beim harmonischen Oszillator so, aber das Fadenpendel ist nur bei geringen Ausschlägen einer und nicht im Allgemeinen.
Du hast doch oben schon die Funktion für die Rückstellkraft gehabt. Nimm einfach die!
Allerdings: Wenn Du ein bestimmtes Integral hast, dann musst Du ja in die Stammfunktion (die hast Du dastehen) noch einmal s und einmal 0 an Stelle des s' einsetzen. Du hast dann beim Ergebnis eben kein s' mehr drin, sondern nur noch s!
Im Fall vom harmonischen Oszillator ist das mit der unteren Grenze 0 jetzt nicht so wichtig (kommt ja wieder 0 raus, kann man hier also weg lassen, allerdings ist der Strich beim s' trotzdem falsch) und wenn man eine Konstante einsetzt kommt ja auch eine Konstante wieder raus, was physikalisch beim Potential auch keine Rolle spielt, aber trotzdem kommt mit der richtigen Rückstellkraft eben keine 0 raus!
Mach das mal mit der richtigen Rückstellkraft und setze das dann in E ein. Dann schaue mit dem "Ableitungstrick", ob E mit der Zeit konstant ist oder nicht. Da hast Du dann auch eine Funktion, die nicht direkt von t abhängt, aber von s und s-Punkt, die wieder beide von t abhängen.
Du hast also eine Funktion die von zwei Variablen abhängt und beide hängen wieder von t ab:
, \dot s(t)))
Das totale Differential sieht dann wie aus?
Gruß
Marco
PS: Ja, ich habe gerade nochmal die Aufgabe angeschaut: Man soll erst in der d) die Kleinwinkelnäherung nehmen, nicht schon vorher! Nimm bei der b) und c) also nicht die mit F=-Ds, sondern die richtige Rückstellkraft mit dem Sinus!
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Laurar
Gast
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| Laurar Verfasst am: 14. Apr 2014 02:08 Titel: |
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| as_string hat Folgendes geschrieben: |
Du hast doch oben schon die Funktion für die Rückstellkraft gehabt. Nimm einfach die!
Allerdings: Wenn Du ein bestimmtes Integral hast, dann musst Du ja in die Stammfunktion (die hast Du dastehen) noch einmal s und einmal 0 an Stelle des s' einsetzen. Du hast dann beim Ergebnis eben kein s' mehr drin, sondern nur noch s!
Im Fall vom harmonischen Oszillator ist das mit der unteren Grenze 0 jetzt nicht so wichtig (kommt ja wieder 0 raus, kann man hier also weg lassen, allerdings ist der Strich beim s' trotzdem falsch) und wenn man eine Konstante einsetzt kommt ja auch eine Konstante wieder raus, was physikalisch beim Potential auch keine Rolle spielt, aber trotzdem kommt mit der richtigen Rückstellkraft eben keine 0 raus!
Mach das mal mit der richtigen Rückstellkraft und setze das dann in E ein. Dann schaue mit dem "Ableitungstrick", ob E mit der Zeit konstant ist oder nicht. Da hast Du dann auch eine Funktion, die nicht direkt von t abhängt, aber von s und s-Punkt, die wieder beide von t abhängen.
Du hast also eine Funktion die von zwei Variablen abhängt und beide hängen wieder von t ab:
Das totale Differential sieht dann wie aus?
PS: Ja, ich habe gerade nochmal die Aufgabe angeschaut: Man soll erst in der d) die Kleinwinkelnäherung nehmen, nicht schon vorher! Nimm bei der b) und c) also nicht die mit F=-Ds, sondern die richtige Rückstellkraft mit dem Sinus! |
 ds' = - m \cdot g \cdot \sin(t) s' |_0^s = - m \cdot g \cdot \sin(t) s)
Dann habe ich zusammen für E:
 s) bzw.
 s)
Wenn ich jetzt die Ableitung bilde erhalte ich:
)
Nun bei weiterer Differentiation ist, der 2m-Teil konstant, der -mgsin(t) Teil ja nicht?
Danke sehr, liebe Grüße
Laura
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
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| as_string Verfasst am: 14. Apr 2014 14:43 Titel: |
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Hallo!
Offenbar hab ich da mehr verwirrt, als dass es geholfen hat...
Du hast doch Deine rückstellende Kraft. Die hat doch als Argument für den Sinus nicht t sondern s.
Außerdem ist die Stammfunktion von Sinus doch nicht wieder Sinus?
Schau Dir das besser nochmal an... Besser Du machst solche Dinge nicht mitten in der Nacht (um 2 Uhr?). Um die Zeit sollte man besser schlafen, denke ich... 
Gruß
Marco
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Laurar
Gast
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| Laurar Verfasst am: 14. Apr 2014 14:56 Titel: |
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| as_string hat Folgendes geschrieben: |
Außerdem ist die Stammfunktion von Sinus doch nicht wieder Sinus?
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Ja, habe da ziemlichen kot fabriziert. Natürlich ist es -cos.
| as_string hat Folgendes geschrieben: |
Schau Dir das besser nochmal an... Besser Du machst solche Dinge nicht mitten in der Nacht (um 2 Uhr?). Um die Zeit sollte man besser schlafen, denke ich... |
Naja irgendwie schon, nur wenn man unter Zeitdruck steht kann man sich manchmal die Uhrzeit nicht mehr aussuchen  Und bis heute Abend habe ich nur noch Zeit. Aber wo hat denn bitte die Rückstellkraft im Argument des Sinus s anstatt t?
LG
Laura
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 14. Apr 2014 15:15 Titel: |
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Ah, Sorry, ist phi und nicht s. Das ist wahrscheinlich der Punkt: Es ist ja [latex]s = L\cdot \varphi[/quote]
Wenn Du das phi also durch s/L ersetzt in FR, dann hast Du das, was ich meinte...
Tut mir leid, für mich ist s und phi in diesem Fall quasi gleichbedeutend, weil sie sich ja nur um den konstanten Faktor L unterscheiden.
Von t hängt das alles dann nur indirekt ab, weil sich natürlich s (oder auch phi) mit der Zeit verändert. Du hast also eine Funktion FR mit einem Sinus, in dem ein s drin vorkommt, das eine Funktion der Zeit ist.
Gruß
Marco
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Laurar
Gast
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| Laurar Verfasst am: 14. Apr 2014 15:59 Titel: |
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Und jetzt einsetzen wobei das s zu s' wird sonst macht es keinen Sinn:
 ds' = m \cdot g \cdot L \cdot \cos\left(\frac{s'}{L}\right) |_0^s = m \cdot g \cdot L \cdot \cos\left(\frac sL\right) )
Dann habe ich zusammen für E:
)
Das jetzt differenzieren?
Also mathematisch habe ich keinen Fehler gemacht, aber stimmt das jetzt physikalisch? 
Danke, liebe Grüße
Laura
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 14. Apr 2014 16:08 Titel: |
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| Laurar hat Folgendes geschrieben: | | Das jetzt differenzieren? |
Ja, nach t allerdings.
| Laurar hat Folgendes geschrieben: | | Also mathematisch habe ich keinen Fehler gemacht, |
Bist Du da sicher? Hast Du wirklich die untere Grenze (also die 0) mal eingesetzt?
Gut, spielt hier wahrscheinlich keine Rolle, aber naja...
Gruß
Marco
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Laurar
Gast
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| Laurar Verfasst am: 14. Apr 2014 16:12 Titel: |
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Oh stimmt, war noch im Sinusmodus... =1) dann fehlt also noch ein 
Nach t differenziert ergibt das doch Null.
Danke, liebe Grüße
Laura
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 14. Apr 2014 16:20 Titel: |
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| Laurar hat Folgendes geschrieben: | | Nach t differenziert ergibt das doch Null. |
Richtig, deshalb sagte ich, dass es für diesen Fall an sich egal ist (sprich weg fällt...). Und eine frei wählbare Konstante in der Energie ist so wie so legitim an sich.
Aber wenn man das erstmal mit Grenzen und so fürs Integral hingeschrieben hat, dann muss man natürlich schon auch den Term mit hinschreiben. Sonst ist das Gleichheitszeichen einfach falsch.
Gruß
Marco
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Laurar
Gast
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| Laurar Verfasst am: 14. Apr 2014 16:29 Titel: Re: Pendel, Theorie |
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| as_string hat Folgendes geschrieben: |
Aber wenn man das erstmal mit Grenzen und so fürs Integral hingeschrieben hat, dann muss man natürlich schon auch den Term mit hinschreiben. Sonst ist das Gleichheitszeichen einfach falsch. |
Da gebe ich 100% recht.
Bei der c) soll ich zeigen, dass sich die dimensionslose Energie , schreiben lässt als wobei und ist.
Ich weiß nicht wo ich da anpacken soll
Ich habe einige Veriablen die definiert sind, wie oben angegeben, wie ich jedoch jetzt daraus die dimensionlose Energie herleiten soll ist für mich unklar
Danke, liebe Grüße
Laura
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 14. Apr 2014 16:37 Titel: |
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Ich denke, ich würde einfach mal die Sachen wie gegeben für p und q einsetzen und (unter Berücksichtigung der Tatsache, dass s=L*phi ist) mit E/mgL vergleichen. Das sollte dann ja das selbe sein.
Ich bin leider gerade noch bei der Arbeit, deshalb kann ich das hier schlecht selber rechnen... Aber auf den ersten Blick sollte das doch durch einfaches Einsetzen erledigt sein, denke ich.
Gruß
Marco
PS: Du musst natürlich schauen wegen dem t und tau: Wenn Du eine Ableitung nach t hast von einer Funktion, die von t abhängt, die aber durch eine Funktion ersetzt, die von tau abhängt, kommt da u. U. noch die innere Ableitung (also der konstante Wurzel-Faktor) mit rein. Wie und wo genau müsste ich aber auch erst selber mal für mich aufschreiben.
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Laurar
Gast
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| Laurar Verfasst am: 14. Apr 2014 17:27 Titel: Re: Pendel, Theorie |
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| as_string hat Folgendes geschrieben: |
Ich bin leider gerade noch bei der Arbeit, deshalb kann ich das hier schlecht selber rechnen... Aber auf den ersten Blick sollte das doch durch einfaches Einsetzen erledigt sein, denke ich. |
Schon okay, so ein Service, vielen lieben Dank
| as_string hat Folgendes geschrieben: | Ich denke, ich würde einfach mal die Sachen wie gegeben für p und q einsetzen und (unter Berücksichtigung der Tatsache, dass s=L*phi ist) mit E/mgL vergleichen. Das sollte dann ja das selbe sein.
PS: Du musst natürlich schauen wegen dem t und tau: Wenn Du eine Ableitung nach t hast von einer Funktion, die von t abhängt, die aber durch eine Funktion ersetzt, die von tau abhängt, kommt da u. U. noch die innere Ableitung (also der konstante Wurzel-Faktor) mit rein. Wie und wo genau müsste ich aber auch erst selber mal für mich aufschreiben. |
vs 
--------------------------------------------------
und ist.
--------------------------------------------------
Ich setze mal ein:
 + \frac{\left(\frac{\dot{\phi}}{\sqrt{\frac gL}}\right)^2}{2})
Aber dann verschwindet irgendwie das  bzw. wie wirkt das mit  zusammen?
Danke, liebe Grüße
Laura
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 14. Apr 2014 23:51 Titel: |
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Hallo,
ich hab gerade noch mal kurz über die letzten Posts geschaut. Also irgendwie ist bei der Energie E oben noch ein Minuszeichen vor dem U(s) verloren gegangen. Da musst Du mal schauen... Eigentlich gehört vor dem mgL cos(s/L) ein Minus und vor dem konstanten Term mgL ein Plus.
Dann stimmt das nämlich auch mit dem p und q nachher, wenn Du das genau so einsetzt, wie Du das gemacht hast.
Gruß
Marco
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Laurar
Gast
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| Laurar Verfasst am: 15. Apr 2014 00:03 Titel: |
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Wie setze ich das denn weiter ein?
Laura
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 15. Apr 2014 00:24 Titel: |
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Erstmal kannst Du ja die Wurzel im Zähler quadrieren, so dass dann  für den letzten Summanden da steht.
Ich würde dann hergehen und mal in der E das s durch L und qhi ersetzen und durch mgL teilen. Dann sollte relativ schnell das selbe da stehen!
Gruß
Marco
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Laurar
Gast
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| Laurar Verfasst am: 15. Apr 2014 00:43 Titel: |
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Okay danke.
Laura
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 15. Apr 2014 00:46 Titel: |
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Weil ich ins Bett muss, hab ich mal noch die verlangten p(q) (für 1, 2 und 3, also kleiner 2, gleich 2 und größer 2) geplottet und auch einmal das U(q)
Das U ist ja das Potential und das gibt letztlich einfach die potentielle Energie (also die Höhe bis auf Konstanten) des Pendelkörpers an, deshalb diese -cos Form auch. Je weiter ich mit dem Winkel in Richtung +/- pi komme, desto höhe kommt es.
Dann gibt es den Pendelfall, wenn diese E-Tilde kleiner 2 ist. Da siehst Du, dass das Pendel nur zwischen zwei Punkten hin und her pendeln kann (ich hab jeweils nur den Betrag von p(q) geplottet, eigentlich ergibt sich so eine Art Ellipse ins Negative gespiegelt fortgesetzt), Im Fall E-Tilde = 2 kommt der Pendelkörper am höchsten Punkt gerade zum Stehen und im Fall mit größerem E-Tilde gibt es einen Überschlag und die Geschwindigkeit ist immer in eine Richtung, allerdings geht es hier auch in die andere Richtung (dann wieder das im Negativen gespiegelte).
Gruß
Marco
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