Weg-Zeit-Gesetz coulombscher Anziehung/Gravitation

lslah · Anmeldungsdatum: 18.05.2011 Beiträge: 4

Meine Frage:
Man stelle sich vor, der Mond bliebe auf seiner Umlaufbahn um die Erde plötzlich einfach stehen und hätte gegenüber der Erde keine kinetische Energie mehr. Aufgrund der Gravitation zwischen Erde und Mond würden sich beide Körper anziehen und der Mond würde relativ zur Erde aufgrund der Gravitationskraft beschleunigt werden.

Wie kann man von dieser Kraft ein Gesetz ableiten, dass den zurückgelegten Weg in Abhängigkeit von der Zeit darstellt?
Analog dazu bewegen sich meines Erachtens nach zwei ungleichnamige Ladungen oder Magnete aufeinander zu.

Meine Ideen:
Das einzige, was mir über diese Bewegung bekannt ist, ist die Gravitationskraft in Abhängigkeit vom Abstand der Körper:

F in Abhänigkeit vom zurückgelegten Weg:

Das sieht für mich nach einer ziemlich komplizierten Differentialgleichung aus.
Geht es wirklich über diesen Weg oder gibt es eine andere, einfachere Möglichkeit? Wie löst man diese Gleichung?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18087

Man startet mit der erhaltenen Gesamtenergie

Diese DGL erster Ordnung kann man durch Trennung der Variablen und Integration lösen.

lslah · Anmeldungsdatum: 18.05.2011 Beiträge: 4

Vielen Dank für die Antwort!
Der Ansatz sieht schon mal besser aus als meiner, aber ich komme immer noch nicht zum Ziel, vermutlich weil ich nicht wirklich weiß, wie ich eine DGL löse... ;-)

Aber mal soweit, wie ich komme.
Dein Term ist ja sozusagen die Gesamtenergie, wenn ich mich nicht täusche.
Ich versuche also, das ganze nach v umzustellen und zu integrieren.

War das so gemeint? Wie komme ich weiter?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18087

OK, du weiß nicht, wie man eine DGL löst und kennst die Metode der Trennung der Variablen nicht.

Zunächst formst du die DGL

wie folgt um

Ausgehend von dieser Form kann man die Methode der Trennung der Variablen immer anwenden, und zwar wie folgt

Jetzt wird formal integriert. Dabei legen wir den Zeitnullpunkt willkürlich bei t=0 fest und behalten rechts eine Integrationsgrenze, die später über eine Anfangsbedingung r(t=0) zu fixieren ist:

Als Ergebnis bekommen wir also eine Funktion t(r), die durch das Integral rechts gegeben ist:

Nun hast du zwei Probleme:
a) die Berechnung des Integrals; siehe dazu z.B. Mathematica oder online
http://integrals.wolfram.com/index.jsp
http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=1%2FSQRT%5Ba%2Bb%2Fx%5D&random=false
b) natürlich interessiert dich eigentlich nicht t(r) sondern r(t), d.h. du musst anschließend noch die Umkehrfunktion bestimmen

Das wird dir in diesem konkreten Fall nicht gelingen, d.h. du kannst nur t(r) plotten und graphisch invertieren, also spiegeln.

lslah · Anmeldungsdatum: 18.05.2011 Beiträge: 4

Vielen Dank! Das Ergebnis ist ja ziemlich krass, hätte gedacht, es wäre einfacher das zu berechnen.

Die Fragestellung kam auch nur durch einen Zufall zustande. Ein Freund sollte die Auftreffgeschwindigkeit der Erde auf die Sonne berechnen, aber meinte zu mir, er solle die Zeitdauer ermitteln. Seit dem lässt mich die Frage nach einem Weg-Zeit-Gesetz nicht mehr los und ja mit den begrenzten Mitteln der Schulmathematik und -physik war es mir nicht möglich, diese Gleichungen zu lösen, geschweige denn den von dir aufgezeigten Lösungsansatz zu finden.

Also vielen Dank für die Hilfe, auch wenn ich eine einfachere Lösung vermutet hätte.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Alles schonmal dagewesen
http://www.physikerboard.de/lhtopic,13438,0,0,asc,sturz%2Berde.html
(wobei Auftreffgeschwindigkeit wieder elementar ist)

lslah · Anmeldungsdatum: 18.05.2011 Beiträge: 4

Oh, okay das tut mir leid. Habe ich wohl nicht gründlich genug gesucht...

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18087

Und ich hatte vergessen, dass wir das schon mal diskutiert und für die Zeit T doch tatsächlich ein wesentlich einfacheres Ergebnis hatten :-)