Eigenvektoren Vernichtungsoperator

Ahnungsloser 2.0 · Gast

Meine Frage:
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe und leider ein paar Schwierigkeiten damit:

Wir betrachten den Vernichtungsoperator

des eindimensionalen harmonischen Oszillators mit Masse m und Frequenz

.
a) Zeigen Sie, daß die Wellenfunktionen

(A ist eine Normierungskonstante) Eigenfunktionen von

sind und berechnen Sie die zugehörigen Eigenwerte.
b) Zeigen Sie, daß alle Eigenvektoren von

von dieser Gestalt sind.

Ich bräuchte hier wirklich ganz grundlegende Tipps zur Herangehensweise.

Meine Ideen:
Es müsste genügen zu zeigen, dass ein Eigenvektor bis auf einen konstanten Faktor durch seinen Eigenwert festgelegt ist. Man entwickelt dazu den Eigenvektor nach den Eigenvektoren

des Hamiltonoperators und leitet dann unter Verwendung von

eine Iterationsformel für die Entwicklungskoeffizienten her.

Viel mehr kann ich da lieder nicht zu sagen, da Physik nicht unbedingt zu meinen besonderen Begabungen zählt.

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Bei a) sollte es reichen, wenn du einfach den Vernichtungsoperator auf deine Funktion anwendest. Wenn sie sich bist auf einen Vorfaktor reproduziert, ist es eine Eigenfunktion. Der Vorfaktor ist dann der gesuchte Eigenwert.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Zu a) musst du die einmal eingeführte Definition des Vernichtungsoperators durch x und p verwenden, den Operator auf die Funktion anwenden und zeigen, dass er bis auf eine multiplikative Konstante erhalten bleibt.

Zu b) habe ich keine direkte Idee, aber evtl. hilft es einen allgemeinen Ansatz

zu betrachten und die Eigenwertgleichung

für eine beliebige komplexe Zahl z zu lösen. Damit bekommst du alle möglichen Eigenfuntionen zu a, indem du die Koeffizienten z_n bestimmst.