Erwartungswert von Produkt aus Erzeugungs- und Vernichtungso

Phyyyyyysiker · Anmeldungsdatum: 05.09.2011 Beiträge: 26

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich bin gerade dabei eine quantenmechanische Aufgabe zu lösen und muss dabei folgende Erwartungswerte bestimmen:

Wenn man die beiden Ausdrücke dann addiert sollte

rauskommen.

Meine Ideen:
Ich weiß dass für den Erwartungswert folgendes gilt:

aber wie rechnet man nun weiter??

Vielen Dank schonmal.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Du musst dir das für einen konkreten Zustand überlegen, also

Für einen allgemeinen Zustand

gilt dann

Phyyyyyysiker · Anmeldungsdatum: 05.09.2011 Beiträge: 26

hmm, was kommt dann dabei raus:

? einfach wieder n weil erzeugung und vernichtung zusammen wieder den ursrpungszustand ergibt?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Also zunächst mal weiß man, dass

d.h. dieser Operator liefert einfach n:

Den anderen Operator kannst du jetzt umschreiben:

und den Kommutator kennst du wieder.

-------------

Als Alternative zur Berechung des Erwartungswertes verwendest du die (hoffentlich bekannten) Beziehungen

Phyyyyyysiker · Anmeldungsdatum: 05.09.2011 Beiträge: 26

vielen danke soweit, das hilft schon mal viel. Die letzte Frage dazu ist, warum ist

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Das folgt aus der Definiton der Operatoren gemäß

sowie den Vertauschungsrelationen von x und p:

http://de.wikipedia.org/wiki/Erzeugungs-_und_Vernichtungsoperator

Phyyyyyysiker · Anmeldungsdatum: 05.09.2011 Beiträge: 26

alles klar, jetz hab ich's bis auf dass eine Konstante nicht verschwindet:

worin könnte mein Fehler liegen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Kein Fehler!

Zunächst mal fehlt dir ein Faktor 1/2. Der fehlt aber schon in der Aufgabenstellung im ersten Posting, denn es gilt für den harmonischen Oszillator

Damit ist

Klar?

Dann fehlt dir noch der Faktor h-quer.

Das liegt nun an mir, denn in dem Zusammenhang zwischen x und p einerseits und den Erzeugern und Vernichtern sowie dem Hamiltonoperator H habe ich einige Faktoren aus Faulheit weggelassen. Wenn du die wieder richtig "einbaust", dann passt das auch mit h-quer wieder. Die korrekten Faktoren findest du in dem von mir verlinkten Wikipedia-Beitrag.

Phyyyyyysiker · Anmeldungsdatum: 05.09.2011 Beiträge: 26

wunderbar

jetzt hab stimmt alles! Vielen Dank für die Hilfe!!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

gerne