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Erwartungswert von Produkt aus Erzeugungs- und Vernichtungso
 
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Phyyyyyysiker



Anmeldungsdatum: 05.09.2011
Beiträge: 26

Beitrag Phyyyyyysiker Verfasst am: 11. Sep 2011 11:33    Titel: Erwartungswert von Produkt aus Erzeugungs- und Vernichtungso Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich bin gerade dabei eine quantenmechanische Aufgabe zu lösen und muss dabei folgende Erwartungswerte bestimmen:




Wenn man die beiden Ausdrücke dann addiert sollte rauskommen.

Meine Ideen:
Ich weiß dass für den Erwartungswert folgendes gilt:


aber wie rechnet man nun weiter??

Vielen Dank schonmal.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14064

Beitrag TomS Verfasst am: 11. Sep 2011 12:06    Titel: Re: Erwartungswert von Produkt aus Erzeugungs- und Vernichtu Antworten mit Zitat

Du musst dir das für einen konkreten Zustand überlegen, also



Für einen allgemeinen Zustand



gilt dann


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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Phyyyyyysiker



Anmeldungsdatum: 05.09.2011
Beiträge: 26

Beitrag Phyyyyyysiker Verfasst am: 11. Sep 2011 13:03    Titel: Antworten mit Zitat

hmm, was kommt dann dabei raus:



? einfach wieder n weil erzeugung und vernichtung zusammen wieder den ursrpungszustand ergibt?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14064

Beitrag TomS Verfasst am: 11. Sep 2011 13:22    Titel: Re: Erwartungswert von Produkt aus Erzeugungs- und Vernichtu Antworten mit Zitat

Also zunächst mal weiß man, dass



d.h. dieser Operator liefert einfach n:



Den anderen Operator kannst du jetzt umschreiben:



und den Kommutator kennst du wieder.

-------------

Als Alternative zur Berechung des Erwartungswertes verwendest du die (hoffentlich bekannten) Beziehungen




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Phyyyyyysiker



Anmeldungsdatum: 05.09.2011
Beiträge: 26

Beitrag Phyyyyyysiker Verfasst am: 11. Sep 2011 19:07    Titel: Antworten mit Zitat

vielen danke soweit, das hilft schon mal viel. Die letzte Frage dazu ist, warum ist

TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14064

Beitrag TomS Verfasst am: 11. Sep 2011 19:20    Titel: Antworten mit Zitat

Das folgt aus der Definiton der Operatoren gemäß





sowie den Vertauschungsrelationen von x und p:

http://de.wikipedia.org/wiki/Erzeugungs-_und_Vernichtungsoperator

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Phyyyyyysiker



Anmeldungsdatum: 05.09.2011
Beiträge: 26

Beitrag Phyyyyyysiker Verfasst am: 11. Sep 2011 21:09    Titel: Antworten mit Zitat

alles klar, jetz hab ich's bis auf dass eine Konstante nicht verschwindet:









worin könnte mein Fehler liegen?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14064

Beitrag TomS Verfasst am: 11. Sep 2011 21:30    Titel: Re: Erwartungswert von Produkt aus Erzeugungs- und Vernichtu Antworten mit Zitat

Kein Fehler!

Zunächst mal fehlt dir ein Faktor 1/2. Der fehlt aber schon in der Aufgabenstellung im ersten Posting, denn es gilt für den harmonischen Oszillator



Damit ist



Klar?

Dann fehlt dir noch der Faktor h-quer.

Das liegt nun an mir, denn in dem Zusammenhang zwischen x und p einerseits und den Erzeugern und Vernichtern sowie dem Hamiltonoperator H habe ich einige Faktoren aus Faulheit weggelassen. Wenn du die wieder richtig "einbaust", dann passt das auch mit h-quer wieder. Die korrekten Faktoren findest du in dem von mir verlinkten Wikipedia-Beitrag.

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Phyyyyyysiker



Anmeldungsdatum: 05.09.2011
Beiträge: 26

Beitrag Phyyyyyysiker Verfasst am: 12. Sep 2011 14:16    Titel: Antworten mit Zitat

wunderbar smile jetzt hab stimmt alles! Vielen Dank für die Hilfe!!
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14064

Beitrag TomS Verfasst am: 12. Sep 2011 14:34    Titel: Antworten mit Zitat

gerne
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