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Eigenwerte und Eigenvektoren
 
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golbi



Anmeldungsdatum: 03.11.2007
Beiträge: 77

Beitrag golbi Verfasst am: 03. Jun 2009 19:37    Titel: Eigenwerte und Eigenvektoren Antworten mit Zitat

hi,

ich hab hier ne Aufgabe bei der ich nicht weiterkomm:

Die Zustände |P1>, |P2> seien eine orthonormale Basis eines 2-dimensionalen Hilbertraumes. Für den Operator A gelte:

A|P1>=-|P2> und A|P2>=-|P1>

Zuerst sollten wir A bestimmen. Das hab ich auch gemacht:

A=-|P2><P1|-|P1><P2|

Nun soll ich die Eigenwerte und Eigenzustände bestimmen. Allgemein gilt ja:



Kann ich hier das x einfach als Linearkombination der beiden Zustände |P1> und |P2> darstellen?

also x = a|P1>+b|P2> ?
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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Beitrag schnudl Verfasst am: 03. Jun 2009 20:10    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, das kannst du, da P1 und P2 ja eine Basis bilden.
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golbi



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Beiträge: 77

Beitrag golbi Verfasst am: 03. Jun 2009 20:29    Titel: Antworten mit Zitat

ok, habs mal probiert und dann dastehen:

-a|P1>-b|P2> = *(a|P1>+b|P2>)

Der einzigste Eigentwert wäre ja dann -1. Wie kann man jetzt die Eigenvektoren bestimmen? Oder sind alle Vektoren Eigenvektoren für den Eigenwert, weil ja alle Vektoren die Gleichung Ax=-x erfüllen?
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 03. Jun 2009 21:26    Titel: Antworten mit Zitat

golbi hat Folgendes geschrieben:




Hast du da nicht einen kleinen aber bedeutenden Fehler drin? Thumbs up!

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golbi



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Beiträge: 77

Beitrag golbi Verfasst am: 03. Jun 2009 21:54    Titel: Antworten mit Zitat

siehe unten

Zuletzt bearbeitet von golbi am 03. Jun 2009 22:40, insgesamt einmal bearbeitet
golbi



Anmeldungsdatum: 03.11.2007
Beiträge: 77

Beitrag golbi Verfasst am: 03. Jun 2009 21:59    Titel: Antworten mit Zitat

Danke, stimmt. a und b müssen vertauscht werden. Dann bekomm ich folgende Gleichungen für den Eigenwert:

= -a/b und = -b/a => a = +-b => = +- 1

und die zugehörigen Eigenvektoren sind dann:

x = a|P1> - a|P2> beziehungsweise x= a|P1> + a|P2>

passt das so schon?
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 04. Jun 2009 07:09    Titel: Antworten mit Zitat

ja, wenn du die Eigenvektoren noch normierst, dann passt es.
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