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sinus
Gast
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 sinus Verfasst am: 17. Mai 2010 12:16 Titel: Zweikörperproblem ~ Suche Bahngleichung |
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Moin Moin liebe Physikbegeisterte,
Ich stehe hier heut morgen vor folgendem Problem:
Ein kleiner Asteroid fliegt mit einer bekannten Geschwindigkeit nahe an der als ruhend gedachten Erde vorbei.
Durch die Gravitationskraft der Erde wird der Astroid abgelenkt, allerdings reicht die Gravitationskraft nicht aus um ihn einzufangen => er beschreibt also eine hyperbolische Bahn.
Um die Bahn besser beschreiben zu können, habe ich ein zweidimensionales Koordinatensystem durch den Raum gelegt, mit dem Ursprung im Massenzentrum der Erde.
Bekannte Größen sind nun:
- Anfangsgeschwindigkeit des Asteroiden (vx0 & vy0)
- Anfangskoordinaten des Asteroiden (x0 & y0)
- Abstand Asteroid - Erde (r0² = x0² + y0²) [Phytagoras]
- natürlich alle Daten der Erde (Masse, Radius usw.)
- Gravitationskonstante
Mir ist bekannt, dass man die Bahn numerisch über das Iterationsverfahren berechnen kann:
ww.leifiphysik.de/web_ph11/umwelt-technik/10_sat_bahnen/iteration/iteration.htm
Das habe ich auch schon erfolgreich getan.
Doch ist es auch algebraisch lösbar?
Eigentlich schon, oder? Das ist ja ein Zweikörperproblem und im Gegensatz zum 3- oder Mehrkörperproblem sollte es ja algebraisch lösbar sein.
Leider habe ich durch Googlen nichts gefunden.
Ich möchte gerne eine Bahngleichung haben mit der man zum Beispiel
x(t) & y(t)
oder x(y)
ermitteln kann.
Danke! |
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sinus
Gast
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| sinus Verfasst am: 17. Mai 2010 12:35 Titel: |
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Mein Problem ist, dass die Beschleunigung umgekehrt proportional r² ist.
In einem homogenen Feld, wäre die Ablenkung ja leicht zu ermitteln (analog zur Ablenkung von Elektronen in einem homogenen Feld eines Plattenkondensators).
Somit komme ich leider alleine nicht weiter  |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 17. Mai 2010 12:44 Titel: |
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Betrachte doch mal ein mathematisches Pendel das unter einfluss der Schwerkraft hinundherschwingt.
Es zeigen sich leider Grenzen der Lösbarkeit wenn eine Größe durch den Raum mathematisch bestimmt ist, für die Berechenbarkeit aber eigentlich der zeitliche Verlauf gebraucht wird und sich dadurch erst der Raum ergibt.
Sodass das ganze nur numerisch in kleinen Schritten berechnet werden kann.
Mit einer einheitlichen Mathematischen Formeln kann man nun mal nicht alle Bewegungen beschreiben. Das erkennt man ja bereits wenn man eine Zick Zack Linie beschreiben will. Hier gibts keine einheitliche Formel für die ganze Bewegung, sondern nur für Bereiche.
Zuletzt bearbeitet von VeryApe am 17. Mai 2010 12:47, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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sirius2
Gast
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| sirius2 Verfasst am: 17. Mai 2010 13:04 Titel: |
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| VeryApe hat Folgendes geschrieben: | | Sodass das ganze nur numerisch in kleinen Schritten berechnet werden kann. |
Also gibt es bei dem von mir beschiebenen Fall KEINE exakte (algebraische) Lösung ?
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Zur mathematischen Darstellung der Lösungen (Keplerorbits) |
Mit Kepler kann ich ja leider nicht rechnen, da wie gesagt eine Hyperbel vorliegt, somit gibt es ja keine große Halbachse oder Umlaufzeit mehr.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | de.wikipedia.org/wiki/Exzentrizit%C3%A4t_(Mathematik) |
Bei einer Hyperbel erhält man eine Exzentrizität größer 1.
In diesem Artikel ist im Falle einer Hyperbel von einer numerische Exzentrizität die Rede.
Soll das also bedeuten, dass hier nur numerische Verfahren (Näherungsverfahren) anwendbar sind?
Hm also sind doch nicht alle Zweikörperprobleme algebraisch lösbar? Könnte in diesem Fall auch die analytische Geometrie (Vektorrechnung) nicht weiterhelfen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 17. Mai 2010 13:54 Titel: |
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Ich habe ja nicht Keplerellipse sondern Keplerorbit geschrieben. Auch der Wikipedia-Artikel spricht von Keplerbahnen und fasst darunter die Ellipsen, aber auch die Spezialfälle Kreis, Parabel und Halbgerade, sowie die hyperbolischen Lösungen zusammen.
Die allgemeine Form der Bahnen im 1/r Potential sind Kegelschnitte. Die Keplerschen Gesetze beziehen sich teilweise nur auf Ellipsen, die Kegelschnitte (die man sowohl algebraisch als auch geometrisch interpretieren kann), gelten jedoch allgemein. Die wesentliche Unterscheidung bzgl. offener und geschlossener Bahnen erfolgt dabei über die Exzentrizität.
Numerisch bedeutet hier nicht, dass ein numerischer Fehler vorliegt, sondern lediglich, dass die Exzentrizität e bzgl. der großen Halbachse a skaliert wird, also e/a.
Aber das findest du - wenn du genauer liest - in den beiden Wikipedia-Artikeln.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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sinus
Gast
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| sinus Verfasst am: 17. Mai 2010 15:10 Titel: |
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Ok, dann kann man das ganze also doch algebraisch berechnen.
Das ist jetzt wohl etwas viel verlangt, aber kannst du mir bitte Helfen für meinen oben beschriebenen Fall eine konkrete Gleichung zu entwickeln mit der sich jeder Punkt der Bahn genau bestimmen lässt. Alleine schaffe ich das nicht.
Zum Beispiel weiß ich noch nichtmal wie ich auf die numerische Exzentrizität für mein Fallbeispiel berechne.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 17. Mai 2010 15:40 Titel: |
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mach dich doch nochmal bei Wikipedia schlau; da findest du alles über die Bahngleichung, Hyperbeln usw.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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sinus
Gast
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| sinus Verfasst am: 17. Mai 2010 16:06 Titel: |
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Tut mir leid, aber ich bin wohl zu dumm dazu das alleine zu schaffen.
Ich finde im Netz so viele verschiedene Infos, dass ich garnicht mehr weiß wo oben und unten ist.
Glaube nicht ich würde mich nicht bemühen selbstständig drauf zu kommen aber an dieser Stelle hackts bei mir & ich komme nicht voran.
Deshalb habe ich mich ja an dieses Forum gewandt, in der Hoffnung auf Hilfe.
Verweise durch Links sind ja schön und gut aber mir helfen sie leider grad nicht weiter.
Naja aber ich kanns auch verstehen wenn du für mich die Bahngleichung (aus Zeitgründen oder ähnlichem) nicht konstruieren möchtest.
Für dich ist das Aufstellen der Gleichung wahrscheinlich absolut simpel, aber ich habe leider nicht deinen Wissensstand, da ich erst in der 12. Klasse bin.
Doch mich interessiert das Thema ungemein (habe beispielsweise trotz langem Zeitaufwand in Excel ein Programm zur numerischen Berechnung dieses Problems geschieben) & ich möchte mich nicht mit Floskeln wie "Warte ab, das lernst du später" oder "Das ist zu kompliziert für dein Alter" zum Aufgeben überreden lassen. |
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sinus
Gast
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| sinus Verfasst am: 17. Mai 2010 18:00 Titel: |
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push |
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Hyp
Gast
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| Hyp Verfasst am: 17. Mai 2010 18:33 Titel: |
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Fassen wir nochmal zusammen
Es ist nicht möglich den Zusammenhang zwischen Ort und Zeit analytisch zu beschreiben.Es gibt keine Formel.Gilt auch für die Ellipse
Es geht also nur numerisch
Man kann aber den Kurvenverlauf angeben r(φ)=...
das ist doch schon was |
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sinus
Gast
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| sinus Verfasst am: 18. Mai 2010 12:39 Titel: |
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| Hyp hat Folgendes geschrieben: | | Man kann aber den Kurvenverlauf angeben r(φ)=... |
Darauf bin ich auch schon gestoßen.
Leider weiß ich nicht genau was ich für die einzelnen Variablen einsetzen muss.
= \frac {k} {1+ \epsilon* cos{\theta}} )
r=Abstand zum Planetenzentrum
θ=Bahnwinkel
k=L²/Gm²M (Drehimpulskonstante)
L=Bahndrehimpuls des Körpers
G=Gravitationskonstante
ε=√(1+(2EL²/G²M²m³)) (Exzentrizität)
E=kinetische Energie des Körpers
Also kann ich immer v in Abhängigkeit zu r bestimmen & umgekehrt.
Nützt mir das irgendwie, kann ich das vllt zur Bahnbestimmung nutzen?
- Jetzt weiß ich nicht was ich für den Bahnwinkel θ einsetzen soll.
- Und wie soll ich den Bahndrehimpuls L des Körpers bestimmen?
hier lautet die Formel ja:
ist das in diesem Fall:
 \times \left( \begin {array} {c} m*v_{x_{0}} \\ m*v_{y_{0}}\end {array} \right))
<><><><><><><><><><><><><><>
Außerdem weiß ich, dass die Gesamtenergie des Asteroiden stets gleich bleiben muss:
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sinus
Gast
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| sinus Verfasst am: 18. Mai 2010 12:40 Titel: |
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| Hyp hat Folgendes geschrieben: | | Man kann aber den Kurvenverlauf angeben r(φ)=... |
Darauf bin ich auch schon gestoßen.
Leider weiß ich nicht genau was ich für die einzelnen Variablen einsetzen muss.
r=Abstand zum Planetenzentrum
θ=Bahnwinkel
k=L²/Gm²M (Drehimpulskonstante)
L=Bahndrehimpuls des Körpers
G=Gravitationskonstante
ε=√(1+(2EL²/G²M²m³)) (Exzentrizität)
E=kinetische Energie des Körpers
- Jetzt weiß ich nicht was ich für den Bahnwinkel θ einsetzen soll.
- Und wie soll ich den Bahndrehimpuls L des Körpers bestimmen?
hier lautet die Formel ja:
ist das in diesem Fall:
<><><><><><><><><><><><><><>
Außerdem weiß ich, dass die Gesamtenergie des Asteroiden stets gleich bleiben muss:
Also kann ich immer v in Abhängigkeit zu r bestimmen & umgekehrt.
Nützt mir das irgendwie, kann ich das vllt zur Bahnbestimmung nutzen? |
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sinus
Gast
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| sinus Verfasst am: 18. Mai 2010 14:33 Titel: |
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Bitte gib hier Deine Frage ein. Welche Lösungsansätze sind Dir selbst dazu eingefallen? Was hast Du schon probiert? Bedenke, dass wir hier Hilfe zur Selbsthilfe leisten und keine Komplettlösungen liefern werden. Viel Erfolg!push it again |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 18. Mai 2010 17:54 Titel: |
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Du solltest zunächst mal ohne die Dynamik (E, L, M, ...) versuchen, die Parameterdarstellung der Ellipse sowie der Hyperbel, d.h. ) rein geometrisch zu verstehen und zu einem kartesichen Koordinatensystem in Bezug zu setzen; dazu musst du gar nicht wissen, wie die beiden Parameter  und  von der Dynamik abhängen.
Die wirst feststellen, dass aus der Parameterdarstellung sofort die "Form" der Bahn hervorgeht. Am einfachsten sieht man dies bei der Ellipse; der Parameter legt die Größe fest, der Parameter die Form (Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel).
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Nur Gast
Gast
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| Nur Gast Verfasst am: 18. Mai 2010 20:09 Titel: |
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So muß es heißen
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