Wellen: Übertragung der Schwingung auf das nächste Teilchen

Someonelse · Anmeldungsdatum: 30.04.2010 Beiträge: 6

Meine Frage:
Hi,
ich würde gerne wissen, wie man ausrechnen kann, wie sich die Schwingung von einem Teilchen auf das nächste übertragt.

Meine Ideen:
Als erstes mal ne Skizze:

http://www.imagebanana.com/img/1vh731b6/Zwischenablage01.jpg
Zu Beginn befinden sich alle Teilchen auf der selben Geraden im schwerelosen Raum ohne Reibung. Wenn man schwerelosen Raum nicht mag, kann man sich die Punkte auch als Wägen auf Schienen vorstellen.
Die Schrauben sind feste Enden.
Die Kugeln wiegen 500g und haben 10cm Duchmesser.
Die Federn sind 20cm lang und haben eine Härte von 500N/m.
Das sollten alle nötigen Vorraussetzungen sein.

Wie kann ich jetzt ausrechnen,
wo sich die Kugeln befinden,
wie schnell sie sind und
welche Kraft wie stark auf sie einwirkt,
wenn ich der erste 0.1 Sekunden lang 10 Newton in Richtung a oder b gebe (die andere Richtung ist dann jeweils fixiert) oder Energie schräg einwirken lasse, also z. B. 0.1 Sekunden lang 5N nach a und 10N nach b.

Mir gehts um die Theorie, sodass ich es auch auf anderes anwenden kann, also evtl. auch noch mehr Kugeln hintereinander. Die Werte sind mir also auch egal.
Wenn ich irgendeinen Parameter nicht beachtet habe oder nicht sinnvoll gewählt habe, sagt es bitte oder/und erfindet selbst einen sinnvollen.

Vielen lieben Dank,
Someonelse

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Du musst für jedes Teilchen eine Bewegungsgleichung nach Newton aufstellen, also

Wobei

die beiden Federkräfte sind die durch relativen Abstand zu den beiden Nachbarteilchen entstehen.

Ich würde dir empfehlen das Problem erst mal nur in einer Koordinate zu betrachten. Also ohne Auslenkungen der Kugeln nach oben oder unten.
Damit erhältst du dann bei n Teilchen n gekoppelte Differentialgleichungen, die du zu einem homogenen DGL-System 2ter Ordnung zusammenfassen kannst. Die Lösung funktioniert dann über Matrizen, ihren Eigenwerten bzw. Eigenvektoren.

Damit bekommst du dann eine allgemeine Lösung, mit der du mit den entsprechenden Randbedingungen alle Fragen beantworten kannst. Die tatsächliche Bewegung setzt sich dann zusammen aus Fundamentalschwingungen, die sich je nach Anfangsbedingungen überlagern.

Someonelse · Anmeldungsdatum: 30.04.2010 Beiträge: 6

Ok jetzt nochmal auf etwas lesbar bitte so ungefähr ohne sigma, davon wieß ich nur das es summe
einfach nur ein paar formeln zum einsetzen hab ich mir vorgestellt, ist wohl doch nicht so einfach. Aber ableitung und matrizen bringen mich rechnerisch nicht um.

mit den koordinaten bin ich schon zufrieden, und die horizontale welle reicht mir auch schon.

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Dann würde ich mich mal z.B. auf drei Teilchen (gleicher Masse m) beschränken, die jeweils über eine Feder mit der Federkonstanten k gekoppelt sind. Dann erhältst du nach Newton folgende drei Gleichungen.

Das kannst du auch als Vektoren und Matrix auffassen:

Der Ansatz

eingesetzt in diese Gleichung liefert dir die Eigenwerte der Matrix

, mit denen wiederum lassen sich auch die zugehörigen Eigenvektoren

bestimmen. Die Allgemeine Lösung dieser Gleichung ist dann die Superposition, also Addition alle dieser Lösungen.

Someonelse · Anmeldungsdatum: 30.04.2010 Beiträge: 6

Danke!

wir können uns auch gerne auch auf ein oder zwei teilchen beschränken, wenn ich damit verstehe wie es geht immo ist es mir zu kompliziert

Mir ist nicht klar wie du von dem LGS auf die Matrix kommst.

welche werte haben denn die variablen? was ist x1,x2,x3 und die gleichung am ende versteh ich auch nicht. °°x ist wohl der Ort, also °°x1= 0,25m; °°x2 = 0,55; °°x3= 0,85m;

[edit] übrigens wäre es auch ok, wenn wir dem ersten teilchen einfach nur eine beschleuningung, eine geschwindigkeit oder einen neuen ort geben. wäre das einfacher, als an ihm eine kraft auszuüben?

Wenn ich die Sache nämlich nicht versteh, hats eh kein wert.

[edit2]
Jetzt mal ein andere Gedankengang: kann es sein dass die beiden einfach nur versetzt sinusförmig schwingen? Wie ist es denn dann mit dem Ende?

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Zwei Massen wäre auch eine Alternative, aber die Rechnung wäre nicht wirklich einfacher. Und ja die Lösung am Ende ist eine Schwingung. Die zwei Massen können entweder gegenphasig, in Phase oder in einer Kombination daraus schwingen.

Auf welche Kenntnisstand bist du denn und warum willst du so etwas besser verstehen ?

ist die Koordinate vom ersten Teilchen.

ist seine Geschwindigkeit, also die Ableitung dieser Koordinate nach der Zeit.

ist die Beschleunigung des Teilchens, also die zweifache Zeitableitung der Koordinate (daher auch die zwei Punkte).

Ohne Kenntnis in der Differentialrechnung lässt sich so etwas nicht lösen oder verstehen. Dann bleibt im Prinzip nur sich die Lösung anzusehen und hoffen, dass man die wenigstens versteht. Vielleicht wäre das hier etwas für dich:

http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/koppel2.html

Someonelse · Anmeldungsdatum: 30.04.2010 Beiträge: 6

Ich wollt so eine applikation selber schreiben natürlich modifiziert.

Mein Kenntnissstand hört da auf auf wo wellenlehre anfängt. Ich hab grad damit angefangen (JS1) Und in Mathe hab ich immo Vektoren.

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Mit dieser Mathematik bist du aber längst nicht in der Lage so etwas mathematisch zu verstehen. Du könntest höchstens dir die konkrete allgemeine Lösung eines solchen Problems beschaffen und dann versuchen diese zu verstehen und somit dann in ein Applet umzusetzen.

Someonelse · Anmeldungsdatum: 30.04.2010 Beiträge: 6

Also du bist der Meinung ich kann das nicht verstehen.
Sollte ich aber, wenn ich das ins programmreinklopfen will.
also das mit sinus hab ich schon geschafft, sieht auch schön aus, ist halt leider eine gezwungene schwingung und die festen enden reflektieren nicht.