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Nachricht |
confuso
Gast
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 confuso Verfasst am: 14. Apr 2010 20:06 Titel: Erwartungswert der Gruppengeschwindigkeit |
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Hallo,
ich habe eine Aufgabe über den Erwartungswert der Gruppengeschw. gegeben:
Gegeben sei für reele ) und komplexe ) ein Wellenpaket der Form
=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int d^3k \tilde{\Psi} (\vec{k}) exp(i[\vec{k}\vec{x}-\omega(\vec{k})t]))
Beweisen sie für den Erwartungswert der Geschwindigkeit v_g:
----
So, das ist die Aufgabe und ich habe nicht mal annähernd nen Plan wie ich das machen soll. Was ich weiß:
\vec{x}\Psi(\vec{x},t))
Wenn ich das Ableite komme ich auf
\vec{x})
Allerdings hab ich das nur über das Vorlesungsscript rausgefunden, warum das so ist weiß ich nicht. Ich weiß auch nicht was der Unterschied zwischen Psi und Psi* sein soll. Eig muss das doch das gleiche kommen, weils ja aus  kommt, oder? Irritiert mich voll. Kann mir denn jemand mit nem Ansatz helfen? Ist meine erste QM Aufgabe und ich bin schon voll am verzweifeln...
MfG |
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Herr von Ribbeck
Gast
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| Herr von Ribbeck Verfasst am: 15. Apr 2010 10:16 Titel: |
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Ich wollte mal das Prinzip zeigen
Das gilt auch für die Erwartungswerte in der QM
Es gilt auch
und
Das muß man sich klarmachen
Man kann das jetzt gleichsetzen..Wichtig..(h=ħ)
das führt zu 
Weiter
Das stimmt so nicht,aber wir betrachten hier nur das Verhalten des Erwartungswertes
Das jetzt zusammenbauen;dann w nach k ableiten
es kommt das gleiche Ergebnis heraus
Das Ganze soll eine Anregung zum Nachdenken sein
Auf den Pfeil beim Impuls hätte ich gerne verzichtet aber irgendwie gings nicht
Für eine exakte Herleitung fehlen mir die "Birnchen" im Kopf |
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confuso
Gast
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| confuso Verfasst am: 16. Apr 2010 21:41 Titel: |
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Hallo,
danke für die Antwort, konnte leider nicht früher Antworten.
Kannst du mir erklären wie du auf
kommst? Das is bei mir gerade so der Knackpunkt.[/latex] |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 17. Apr 2010 10:36 Titel: |
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@confuso:
hast du schon den Erwatungswert von x berechnet, indem du einsetzt? Du kommst auf einen Ausdruck, wo du für
} = (2\pi)^3 \delta(\vec k-\vec k'))
setzen kannst. Die zeitliche Ableitung liefert einen Faktor  Der Rest ist dann eine Umformung unter Zuhilfenahme von partieller Integration, wodurch aus dem ein  wird.
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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confuso
Gast
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| confuso Verfasst am: 17. Apr 2010 13:35 Titel: |
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Hi,
also ich hab jetzt auf jedenfall verstanden wie ich von d<x>/dt nach <dw/dk> komme  aber auf dein ergebnis komm ich noch nicht so recht.
Habs mal versucht einzusetzen:
^{-3}\cdot\frac{\int d^3r \int d^3k \tilde{\Psi}^*e^{(-i[kx-w(k)t])}\cdot x \cdot \int d^3k \tilde{\Psi}e^{(i[kx-w(k)t])}}{\int d^3k \tilde{\Psi}^*\tilde{\Psi}}\\
<br />
&=& (2\pi)^{-3}\cdot\frac{\int d^3r \int d^3k \tilde\Psi^* x \int d^3k \tilde\Psi}{\int d^3k \tilde\Psi^*\tilde\Psi}
<br />
)
Weiter weiß ich nicht. Find die Rechnung sieht irgendwie auch falsch aus.. insbesondere bei der Normierung trau ich meiner Rechnung nicht so ganz  |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 17. Apr 2010 20:22 Titel: |
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Ich weiss zwar nicht wie du auf das Ergebnis anders kommst (?), aber du hast jedenfalls für die beiden k-Integrale die gleiche Integrationsvariable verwendet. Das ist nicht sehr sinnvoll, da sich dadurch die e-Funktionen wegkürzen, was ja nicht der Fall ist. Warum verwendest du nicht k und k' ?
_________________
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So`n Gefühl
Gast
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| So`n Gefühl Verfasst am: 17. Apr 2010 20:41 Titel: |
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Ich werde das Gefühl nicht los,daß die Integrationsvariable k und nicht r ist
Bei <p> auch |
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confuso
Gast
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| confuso Verfasst am: 17. Apr 2010 20:43 Titel: |
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Hi,
nee, ich meinte, dass ich deinen Rechenweg verstanden habe Was ist halt nicht verstehe wie ich auf
})
komme, meinen kläglichen Versuch hast du ja oben gesehen. Okay, das mit den unterschiedlichen Integrationskonstanten macht Sinn. Allerdings weiß ich dann trotzdem nicht, wie ich an der Stelle weiterrechnen muss. Die beiden d^3k /d^3k' Integrale lösen kann ich ja glaub ich so oder so nicht.
Was passiert denn z.b. mit den  ? Die tauchen bei dir gar nicht mehr auf.
Und wo ist der t) Term hin? Dann müsste ich ja auch ein w(k') verwenden, dann kürzt es sich ja nicht mehr raus.
Soviele Fragen...  |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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| schnudl Verfasst am: 18. Apr 2010 07:47 Titel: |
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Ich sagte ja nicht, dass der besagte Ausdruck das Ergebnis ist...
So meinte ich es - stur einsetzen:
^{-3/2}\int \int \int \dd^3 x \, \dd^3k \, \dd^3k' \, \tilde \Psi^*(k')e^{i \omega(k') t - i \vec k' \vec x } \, \vec x \, \tilde \Psi(k)e^{-i \omega(k) t + i \vec k \vec x } )
Was bekommst du, wenn du nun die x-Integration durchführst; d.h. zuerst alle x-Variablen und das Integral extra schreibst:
^{-3/2} \int \int \dd^3k \, \dd^3k' \, \tilde \Psi^*(k') \tilde \Psi(k) e^{i \omega(k') t -i \omega(k) t} \, \int \dd^3 x \, \vec x \, e^{i \vec x (\vec k - \vec k')} )
^{-3/2} \int \int \dd^3k \, \dd^3k' \, \tilde \Psi^*(k') \tilde \Psi(k) e^{i \omega(k') t -i \omega(k) t} \left(\omega(k')- \omega(k)\right) \, \underbrace{\int \dd^3 x \, \vec x \, e^{i \vec x (\vec k - \vec k')}}_{= \vec \nabla_k \ldots} )
Fällt dir zum rechten Integral was ein? Kannst du das evtl. als k-Gradient anschreiben?
Du kannst dann nämlich (im k-Raum) partiell integrieren:
wobei der Oberflächenterm im Unendlichen "wohlwollend" verschwindet.
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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confuso
Gast
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| confuso Verfasst am: 18. Apr 2010 12:26 Titel: |
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Okay danke, das hat mir geholfen :-) Im nachhinein siehts auch eig. recht simpel aus, aber wenn man vor der Aufgabe sitzt und der Verzweiflung Nahe ist, sieht man in der Aufgabe nur einen Haufen Buchstaben
Also danke nochmal. |
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ralfg
Gast
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| ralfg Verfasst am: 24. Apr 2010 03:09 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: |
Fällt dir zum rechten Integral was ein? Kannst du das evtl. als k-Gradient anschreiben? |
Ich sehe gerade einfach nicht, wie es funktionieren soll das als Gradient zu schreiben. Welcher Satz wird dafür benutzt? |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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| schnudl Verfasst am: 24. Apr 2010 07:24 Titel: |
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} = \int \dd^3x \left(-i \vec \nabla_k e^{i \vec x (\vec k - \vec k')}\right) = -i\vec \nabla_k \int \dd^3x \, e^{i \vec x (\vec k - \vec k')})
So hätte ich es mir vorgestellt. Wenn da ein Wurm drin ist bin ich u.U. schon betriebsblind.
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ralfg
Gast
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| ralfg Verfasst am: 24. Apr 2010 16:15 Titel: |
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Danke!
Das sollte funktioniert haben. |
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