Erwartungswert Impuls freies Teilchen

munich · Anmeldungsdatum: 04.02.2006 Beiträge: 255

Hey Leute,
ich hoffe ihr könnt mir bei folgender Aufgabe ein bisschen weiterhelfen:
Gegeben: Kräftefreies Teilchen, eingeschränkt auf den Bereich [0,a] der x-Achse. Zu berechnen: Erwartungswert des Impulses für das Teilchen in einem seiner möglichen stationären Zustände

.

Naja, jetzt hab ich mal nachgeschlagen und als Eigenfunktionen folgendes gefunden:

. Hmm, okay, schön, aber da ist ja überhaupt kein Index n...
Kann ich dann einfach davon ausgehen, dass das a von n abhängt, also

? Dagegen spricht ja eigentlich, dass ich ja die Wellenfunktion nach den Eigenfunktionen, also den stationären Zuständen entwickeln kann, also müssen die

linear unabhängig sein, wären die

aber nur Konstanten wäre das nicht der Fall...

Ich hoffe ihr könnt ein bisschen Licht ins Dunkel bringen,
danke,
munich

mitschelll · Anmeldungsdatum: 06.12.2007 Beiträge: 362

Die Wellenfunktion, die Du gefunden hast, ist die eines freien Teilchens. So weit richtig.
In der Aufgabenstellung ist das Teilchen aber nicht wirklich frei. Es kann sich nur im Bereich [0,a] frei bewegen. Das heisst, Du musst die Randbedingungen beachten.

munich · Anmeldungsdatum: 04.02.2006 Beiträge: 255

Naja,
auf Grund der Stetigkeit der Funktion und der ersten Ableitung hab ich:

Okay, naja, das Hilft nicht wirklich weiter, denn dann wäre z.B. nach der ersten Bedingung:

Naja, das hieße, dass die Wellenfunktion überall =0 ist und das kann ja nicht sein...
Wie sieht es denn mit den Eigenfunktionen aus, das Teilchen muss ja mehrere haben, aber in der Formel gibt es ja keinen Parameter n oder so...
thx,
munich

mitschelll · Anmeldungsdatum: 06.12.2007 Beiträge: 362

Wie Du schon sagtest, ist das a nur ein Faktor. Dieser dient in der Regel nur zur Normierung.

Die Randbedingung selber hast Du damit aber noch nicht beruecksichtigt. Male Dir mal die Wellenfunktionen hin, die mit der Randbedingung vertraeglich sind. Und dann versuche die Frage zu beantworten, wodurch diese sich untereinander unterscheiden und was sie gegenueber den Wellenfunktionen eines freien Teilchens besonders macht.

Stichwort ist hier uebrigens "Teilchen im Kasten".

munich · Anmeldungsdatum: 04.02.2006 Beiträge: 255

ja gut,
ich bekomme Oberschwingungen wie bei einer Saite, das ist mir klar, also kann ich auch jedes vielfaches der Frequenz nehmen, wäre das dann:

?
Hmm, die AUfgabe ist echt dumm gestellt, entweder das Teilchen ist frei, oder es ist in einem Kasten, aber doch bitte ned beides!
Also ist das gemeint?
thx,
munich

mitschelll · Anmeldungsdatum: 06.12.2007 Beiträge: 362

Wenn Du

und nicht

meinst, ist es das was ich meine.

munich · Anmeldungsdatum: 04.02.2006 Beiträge: 255

Mit

, oder?
Danke,
munich

mitschelll · Anmeldungsdatum: 06.12.2007 Beiträge: 362

Nein, hier geht jetzt die Randbedingung ein.
Du kannst exp(ikx) ja durch den Sinus und Kosinus darstellen. Wenn Du das machst und dann die Randbedingung ueberpruefst, bekommst Du diskrete Werte fuer k. Die muessen u.a. von der Laenge des Systems abhaengen, d.h. in diesem Fall von a.

edit: Die Formel, die fuer k hattest, kann schon deshalb nicht richtig sein, da ein Teilchen sich nicht mit c fortbewegen kann. Das ist die Dispersionsrelation eines Photons, die Du angegeben hast.

munich · Anmeldungsdatum: 04.02.2006 Beiträge: 255

Hmm, jap...
okay, ich kann doch dann in dem Kasten den Ansatz

machen, oder?
Naja, die Gleichung wird dann von allen k_n gelöst für die der Sinus oder der Cosinus =0 ist, oder?
Stimmen denn meine Randbedingungen oben? Muss ich die Randbedingungen mit der Allgemeinen Lösung nutzen, also der Superposition aus sin und cos oder nur mit einer der Funktionen?
thx,
munich

mitschelll · Anmeldungsdatum: 06.12.2007 Beiträge: 362

Am bsten siehst Du, was passiert, wenn Du den allgemeinen Ansatz

hernimmst.
Die Randbedingungen fuer x=0 ergeben dann, dass der cos-Anteil nicht zur Loesung beitraegt.

Die

kannst Du dann mit den Randbedingungen fuer x=a herausfinden.

munich · Anmeldungsdatum: 04.02.2006 Beiträge: 255

Aber ich bekomme doch dann für die erste Ableitung:

und damit bei x=0:

damit wären dann A und B=0, was irgendwie kompletter unsinn ist...

JaJo · Anmeldungsdatum: 01.05.2008 Beiträge: 22

hm also ich kenne mich bei dem Thema nicht gut aus, aber für mich sieht es danach aus, das es mit dem reellen Ansatz einfach nicht funktionieren kann. Ich kenne das auch so das man als Ansatz

nimmt.

mitschelll · Anmeldungsdatum: 06.12.2007 Beiträge: 362

Die Ableitung ist im Fall einer unendlichen Potentialbarriere, was hier ja durch die Forderung eines endlichen Bereichs, in dem sich das Teilchen aufhalten kann, gegeben ist, nicht null am Rand des Aufenthaltsbereich. Die Ableitung macht einen Sprung an der Stelle. Das ist aber bei unendlich hohen Potentialen erlaubt.
Du musst nur noch die Bedingungen fuer

selber loesen.

munich · Anmeldungsdatum: 04.02.2006 Beiträge: 255

okay, dann passt alles.
danke für die hilfe!
munich