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das Antiteilchen
Anmeldungsdatum: 13.04.2010
Beiträge: 55
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 das Antiteilchen Verfasst am: 13. Apr 2010 16:25 Titel: Frage zur Fluchtgeschwindigkeit |
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Hallo liebe Leser,
Unter Fluchtgeschwindigkeit verstehen wir "die minimale Geschwindigkeit die ein Objekt benötigt um das Gravitationsfeld eines Himmelskörpers verlassen zu können." (Quelle: http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Fluchtgeschwindigkeit.html)
Allgemein wird sie durch folgende Formel berechnet:
umgeformt nach v:
(Für die Erde ergibt sich somit ein Wert von etwa 11,2 km/s)
Aber wiederspricht die Formel zur Fluchtgeschwindigkeit nicht dem Newtonschen Gravitationsgesetz?
Das Newtionsche Gravitationsgesetz lautet:
Diese Funktion nun graphisch dargestellt:
 http://www.weltderphysik.de/_img/article_large/Gravity_final_rdax_640x413.jpg
---> Es eribt sich also eine Funktion nach dem Muster
=\frac{1}{x^2} )
Diese Funktion schneidet niemals die Koordinatenachsen.
Egal wie groß der Abstand (r) ist, die Anziehungskraft ist nie = 0 !
Also wirkt (ganz egal wie weit ein Körper von einem Massezentrum entfernt ist) immer eine auf ihn.
Laut dem Ersten Newtonschen Gesetz (Trägheitsprinzip ("lex prima"))
[„Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, sofern er nicht durch einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zustands gezwungen wird.“]
müsste nun auch ein Körper der sich mit Über-Fluchtgeschwindigkeit (mehr als ~11,2 km/s) von der Erde entfernt, abgebremst & schließlich wieder zur Erde hin beschleunigt werden!
Denn wenn auf einen Körper eine Kraft wirkt, erfährt dieser (der Grundgleichung der Mechanik zurfolge) eine Beschleunigung!
Bezogen auf das Newtonsche Gravitationsgesetz erhalten wir die Formel:
Eine Beschleunigung (a) hat automatisch eine Geschwindigkeitsänderung zur Folge:
 (Geschwindigkeit-Weg-Gesetz)
 (Auf dieses Problem bezogen)
Daher habe ich die Vermutung, dass ganz egal wie schnell ein Körper ist, wieder auf die Erde zurückfällt! (Gedacht als 2-Körper-Problem, ohne "Störkräfte" anderer Himmelskörper)
Ich würde mich sehr freuen Eure Meinung zu diesem Sachverhalt zu hören.
Vielen Dank |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 13. Apr 2010 16:40 Titel: Re: Frage zur Fluchtgeschwindigkeit |
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Erstmal: Willkommen hier im Forum !
| das Antiteilchen hat Folgendes geschrieben: | | Aber wiederspricht die Formel zur Fluchtgeschwindigkeit nicht dem Newtonschen Gravitationsgesetz? |
Nein, es widerspricht nicht dem Gravitationsgesetz, sondern wird sogar direkt aus diesen gewonnen bzw. hergeleitet.
Dies geschieht indem die Gravitationskraft (nach Newton) über den Weg integriert (= Def. der Arbeit oder Energie) wird und somit jedem Körper im Schwerefeld damit eine potentielle Energie zugeordnet werden kann:
 = \frac{- \gamma m M}{r})
Wobei das Nullniveau quasi im Unendlichen liegt. Also hat jeder Körper ,egal wie weit er von der Erde entfernt ist, noch potentielle Energie. Er kann sich also nie komplett aus dem Schwerefeld befreien. Dennoch kann diese potentielle Energie und damit der Einfluss der Gravitation unendlich klein werden.Weiter ist jede potentielle Energie in einem endlichen Abstand ein reeller Wert und kann damit von der kinetischen Energie vom Betrag her übertroffen werden. Wenn dies der Fall ist, hat der Körper mehr kinetische Energie als negative potentielle und kann damit sich unter Umwandlung von kinetischer Energie in potentieller unendlich weit von der Erde entfernen und dabei den Einfluss des Gravitationsfeld beliebig minimieren ohne dabei vollständig abgebremst zu werden. Der Grenzfall, an dem die kinetische Energie gerade der potentiellen Energie entspricht, liefert diese kosmische Geschwindigkeit.
Der wesentliche Fehler deiner Rechnung liegt im übrigen in deinem "Geschwindigkeit-Zeit" gesetzt, dass nur bei konstanten Beschleunigung gültig ist. Bei, wie in diesem Fall, mit dem Abstand r abnehmenden Beschleunigungen musst mit Integralrechnung arbeiten. |
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das Antiteilchen
Anmeldungsdatum: 13.04.2010
Beiträge: 55
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| das Antiteilchen Verfasst am: 13. Apr 2010 17:31 Titel: |
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Vielen Dank für die freundliche Aufnahme in diesem Forum ;-)
Und auch ein Dankeschön für die Ausführliche Antwort!
Ja, das mit der Bestimmung der negativen potentiellen Energie eines Körpers im Gravitationsfeld ist mir bekannt:
)
Graphisch betrachtet ist ΔW die Fläche unterhalb des F(r)-Funktion.
Jedoch hat sie das Muster:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/6/7723_1_3.jpg
Das jedoch ist eine exponentielle Funktion, die nie die Koordinatenachsen schneidet.
Wenn man nun den Massenmittelpunktabstand ins Unendliche legt, wird auch die neg. potentielle Energie unendlich groß.
Kurzum: Ich verstehe nicht, weshalb ein Körper sich auf einmal ewig weiterbewegen sollte, wenn doch eine Kraft
auf ihn wirkt... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18112
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| TomS Verfasst am: 13. Apr 2010 17:58 Titel: |
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| das Antiteilchen hat Folgendes geschrieben: | Kurzum: Ich verstehe nicht, weshalb ein Körper sich auf einmal ewig weiterbewegen sollte, wenn doch eine Kraft
auf ihn wirkt... |
Die auf den Körper wirkende Kraft wird ja mit zunehmendem Abstand immer geringer, so dass der Körper sozusagen "gerade im Unendlichen anhält"
Wir betrachten die Gesamtenergie
und lösen nach v auf
 = \sqrt{\frac{2E}{m} + \frac{2GM}{r}})
Setzen wir nun die Gesamtenergie gleich Null, so erhalten wir die Fluchtgeschwindigkeit
 = \sqrt{\frac{2GM}{r_0}})
Wenn der Körper im Unendlichen wiederum die Gesamtenergie Null haben soll, dann muss er dort auch die Geschwindigkeit Null haben. Die potentielle Energie ist ja wegen des Verlaufs dort ebenfalls (asymptotisch) Null.
Hätte der Körper eine etwas geringere Energie (kleiner Null), also auch eine etwas kleinere Geschwindigkeit als die Fluchtgeschwindigkeit, so würde er eben nicht "im Unendlichen" anhakten, sondern bereits früher - und dann eben dementsprechend auch wieder zurückfallen.
Dazu lösen wir die Gleichung nach r auf
 = \frac{2GM}{v^2 - \frac{2E}{m}})
Nun bestimmen wir den Umkehrradius, d.h. den Radius, an dem die Geschwindigkeit Null ist.
 = -\frac{GmM}{E})
Nun betrachten wir die drei Fälle E<0, E=0 und E>0
 = -\frac{GmM}{|E|})
Diese Gleichung hat keine Lösung, da negative r nicht zulässig sind, d.h. es existiert kein Umkehrpunkt, auch nicht "im Unendlichen"
 = \infty)
D.h. der Umkehrpunkt befindet sich im Unendlichen (dafür müsste man eigentlich eine Grenzwertbetrachtiung durchführen)
 = \frac{GmM}{|E|})
D.h. der Umkehrpunkt liegt bei einem endlichen Radius.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 13. Apr 2010 17:58 Titel: |
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Du hast einen kleinen aber sehr ebtscheidenden Fehler gemacht: Graphisch betrachtet ist die Arbeit die Fläche unter einer Funktion ala 1/x^2 und somit ist diese Fläche auch reell. Würde die Kraft proportional zu 1/x sein, dann müsste ich dir zu stimmen.
| Zitat: | | Kurzum: Ich verstehe nicht, weshalb ein Körper sich auf einmal ewig weiterbewegen sollte, wenn doch eine Kraft auf ihn wirkt... |
Das liegt daran, dass sich der Körper so schnell wegbewegt, dass die Kraft, welche ja indirekt proportional zum Abstandsquadrat ist, schneller abnimmt, wie sie abbremsen kann. Dieser Zusammenhang lässt sich, aber nur mit der Mathematik, die ich dir im ersten Beitrag angedeutet hab, verstehen.
Dazu vielleicht mal ein Analogon, das zugegeben nicht ganz passt. Aber ein besseres fällt mir spontan nicht ein: Angenommen, du hast 1000 € auf der Bank und nun musst du, anders als in der Realität, Zinsen dafür zahlen. Dieser Zinssatz (z.B. 1%) sei proportional zu deinem momentan Geld auf der Bank. Dem Geld wird also immer der Zinssatz abzogen, dennoch wird das Geld zumindest theoretisch nie vollkommen Weg sein (in der Realität wäre wohl bei 1 Cent Schluss). Ähnlich ist es beim Grenzfall der Fluchtgeschwindigkeit der Fall. Die Geschwindigkeit wird zwar immer geringer, aber der Körper kommt doch nie wirklich zum Stillstand, kann sich also unendlich weit entfernen. |
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das Antiteilchen
Anmeldungsdatum: 13.04.2010
Beiträge: 55
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| das Antiteilchen Verfasst am: 13. Apr 2010 18:14 Titel: |
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Okay, jetzt sehe Denkfehler.
Deine Analogie hilft auch sich den Sachverhalt besser vorstellen zu können.
Vielen Dank für deine Erklärungen und, dass du dir die Zeit genommen hast meine (wahrscheinlich ziemlich lächerlich klingende) Frage zu beantworten!  |
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das Antiteilchen
Anmeldungsdatum: 13.04.2010
Beiträge: 55
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| das Antiteilchen Verfasst am: 13. Apr 2010 18:20 Titel: |
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Auch ein Dankeschön an TomS!
Durch die beschriebenen mathematischen Zusammenhänge ist mir auch durch deinen Post mein Denkfehler bewusst geworden. |
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Schemel
Gast
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| Schemel Verfasst am: 13. Apr 2010 21:45 Titel: |
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Wie wärs mit der Halbwertszeit als Analogon? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18112
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| TomS Verfasst am: 13. Apr 2010 21:59 Titel: |
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| Schemel hat Folgendes geschrieben: | | Wie wärs mit der Halbwertszeit als Analogon? |
???
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Schemel
Gast
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| Schemel Verfasst am: 14. Apr 2010 13:58 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Schemel hat Folgendes geschrieben: | | Wie wärs mit der Halbwertszeit als Analogon? |
??? |
Kannst du auch Sätze schreiben? Danke! |
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bishop
Moderator
Anmeldungsdatum: 19.07.2004
Beiträge: 1133
Wohnort: Heidelberg
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| bishop Verfasst am: 14. Apr 2010 14:05 Titel: |
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offensichtlich kann TomS Sätze schreiben, weiter oben ist ein längerer Post von ihm zu finden. Dass er in diesem Fall keinen schreiben wollte kann ich sogar nachvollziehen. Natürlich lässt sich eine Analogie mit dem radioaktiven Zerfall herstellen, so wie mit jedem beliebigen Vorgang, der einem exponentiellen Verlauf folgt. Der Fragesteller hat aber bereits seinen Fehler eingesehen und damit ist die Diskussion zumindest hier rum wenn nicht weitere thematisch verwandte Fragen aufkommen
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Ein Physiker ist jemand, der über die ersten drei Terme einer divergenten Reihe mittelt |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18112
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| TomS Verfasst am: 14. Apr 2010 14:10 Titel: |
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Ich bin etwas verwundert, weil die einzige Gemeinsamkeit darin besteht, dass es sich um Verläufe bzw. Kurven handelt, die asymptotisch gegen eine Grenzwert gehen. Sonst ist m.E. keine Gemeinsamkeit vorhanden, d.h. der Vergleich ist eher verwirrend als hilfreich.
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das Antiteilchen
Anmeldungsdatum: 13.04.2010
Beiträge: 55
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| das Antiteilchen Verfasst am: 15. Apr 2010 19:01 Titel: |
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Ich habe mich heute nochmals mit diesem Thema auseinander gesetzt, da es mir einfach keine Ruhe ließ und ich von Natur aus hartnäckig bin.
Mein Ziel war es allein aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz die Formel zur Bestimmung der Fluchtgeschwindigkeit selbstständig herzuleiten.
Also wie bereits gesagt, ist der Ausgangspunkt das Newtonsche Gravitationsgesetz:
Hierbei stört noch die Probemasse(m), daher eliminiere ich sie:
Als nächstes ersetze ich r durch:
- den Radius des Planeten: R
- und dem Abstand zwischen Planetenoberfläche und dem Probekörper: s
Wir erhalten:
^2})
Allerdings brauchen wir ja die Durchschnittsbeschleunigung Δa.
Dabei hilft uns die Integralrechnung:
^2} \, ds }{s_{n}-s_{0}} = \frac{\gamma M}{R*(R+s)} )
Nun bediene ich mich dem Weg-Beschleunigung-Gesetz:
} )
Jetzt löse ich das Gleichungssystem nach s auf:
Mit dieser Gleichung können wir nun berechnen wie weit ein Objekt mit einer bestimmten Startgeschwindigkeit v von einem Planeten entfernt!
Nun betrachen wir den Definitionsbereich dieser Gleichung:
- Physikalisch gesehen sind negative Werte für v nicht zulässig
- Mathematisch gesehen ist die Division durch den Wert 0 nicht zulässig
Also stellt sich die Frage für welchen Wert (v) ist der Nenner 0 ?
Somit haben wir wie Formel zur Bestimmung der Fluchtgeschwindigkeit hergeleitet !
Überprüfen wir sie, indem wir die Fluchtgeschwindigkeit der Erde berechnen:
Und man stellt fest: Der errechnete Wert stimmt in etwa mit dem Literaturwert (11,2km/s) überein.
Somit stelle ich entgültig fest, dass meine Annahme "es gebe keine Fluchtgeschwindigkeit" FALSCH ist.
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Der Weisheit erster Schritt ist: alles anzuklagen, der letzte: sich mit allem zu vertragen.
Georg Christoph Lichtenberg
Zuletzt bearbeitet von das Antiteilchen am 16. Apr 2010 12:38, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18112
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| TomS Verfasst am: 15. Apr 2010 19:16 Titel: |
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ich halte den Weg über den Energiesatz für a) äquivalent und b) einfacher
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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das Antiteilchen
Anmeldungsdatum: 13.04.2010
Beiträge: 55
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| das Antiteilchen Verfasst am: 15. Apr 2010 19:47 Titel: |
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Hehe, selbstverständlich ist der Weg über die Energieerhaltung einfacher.
Allerdings habe ich in ihr ja in meinem Startpost zu dieser Thematik irrtümlich einen Widerspruch zum Newtonschen Gravitationsgesetz gesehen.
Daher hat es für mich nur Sinn gemacht von Grund auf, also aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz, herzuleiten.
Denn die Formel für die Gravitationsenergie leitet sich ja schließlich auch aus dem Gravitationsgesetz von Newton her 
Somit konnte ich dann eindeutig meinen Denkfehler nachvollziehen.
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Georg Christoph Lichtenberg |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18112
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| TomS Verfasst am: 15. Apr 2010 23:39 Titel: |
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Natürlich kannst du das für dich nochmal nachvollziehen, ist doch klar
| das Antiteilchen hat Folgendes geschrieben: | | Denn die Formel für die Gravitationsenergie leitet sich ja schließlich auch aus dem Gravitationsgesetz von Newton her ;) |
Kann man auch umgekehrt sehen, dass sich nämlich das Kraftgesetz aus der Formel für das Gravitationspotential ergibt; ich würde sogar sagen, das ist die "modernere" Sichtweise, z.B. im Lagrange- oder Hamiltonformalismus
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das Antiteilchen
Anmeldungsdatum: 13.04.2010
Beiträge: 55
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| das Antiteilchen Verfasst am: 16. Apr 2010 12:48 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Kann man auch umgekehrt sehen, dass sich nämlich das Kraftgesetz aus der Formel für das Gravitationspotential ergibt; ich würde sogar sagen, das ist die "modernere" Sichtweise, z.B. im Lagrange- oder Hamiltonformalismus |
 Oh, ich dachte es würde allgemein so hergeleitet werden:
Wenn  dann gilt:
^2 )
Hatte mich nämlich noch nicht mit dem Lagrange- und Hamiltonformalismus beschäftigt.
Aber, Danke für den Hinweis
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Georg Christoph Lichtenberg |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18112
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| TomS Verfasst am: 16. Apr 2010 14:16 Titel: |
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In Kürze zum Hamiltonformalismus:
 + V(\vec{r}))
mit
 = \frac{p^2}{2m})
 = -G\frac{mM}{r})
Die Bewegungsgleichungen ergeben sich dann gemäß
Diese Bewegungsgleichungen wären dann zu lösen und daraus die Fluchtgeschwindigkeit zu bestimmen. Die erste Bewegungsgleichung führt einfach auf die Beziehung
die zweite enthält die Gravitationskraft.
Die Fluchtgeschwindigkeit erhält man natürlich auch ohne explizite Lösung der Bewegungsgleichung aus
und damit direkt
 = \sqrt{\frac{2GM}{r}})
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das Antiteilchen
Anmeldungsdatum: 13.04.2010
Beiträge: 55
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| das Antiteilchen Verfasst am: 16. Apr 2010 14:49 Titel: |
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Super, vielen Dank für den Einblick!
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Georg Christoph Lichtenberg |
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