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pauli prinzip, versuch von Jönsson
 
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Anmeldungsdatum: 04.02.2009
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Beitrag bottom Verfasst am: 07. März 2009 19:00    Titel: pauli prinzip, versuch von Jönsson Antworten mit Zitat

hallo, ich denke gerade über folgendes problem nach:

das paulisches Ausschlussprinzip besagt doch, dass sich in einem quantensystem nie 2 oder mehr fermionen im selben quantenzustand befinden dürfen (Fermi-Dirac-statistik). für bosonen gilt dies nicht (einstein-bose-statistik).

in einem ensemble von bosonen (beispielsweise photonen) können also mehrere bosonen sowohl einen identischen spin als auch einen identischen impuls haben, d.h. sie sind kohärent (z.b. laserlicht).

Führt man einen normalen doppelspaltversuch mit licht durch, do ist es eine wichtige bedingung, dass das licht kohärent ist.

Jetzt zum versuch von Jönsson. da elektronen einen halbzahligen spin haben und somit zu den fermionen gehören, fallen sie unter dass Ausschlussprinzip.
der versuch von jönsson soll mit einem kontinuierlichen elektronenstrahl durchgeführt werden. diesen strahl müsste man imho als quantensystem betrachten können. darus folgert, dass das pauliprinzip für alle elektronen im im strahl gilt. also dürfte es jeweils nur 2 elektronen mit gleichem impuls geben die sich im spin unterscheiden, es gibt also viele "zweiergruppen", die alle jeweils einen unterschiedlichen impuls und damit geschwindigkeit haben. der strahl ist also nich kohärent, was eigendlich eine zwingende bedingung für den doppelspaltversuch sein sollte.
Da der versuch aber offentsichtlich funktioniert, muss in meiner überlegung irgendwo ein denkfehler liegen. ich würde mich freuen wenn ihr mir da auf die sprünge helfen könntet.

gruß bottom
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Anmeldungsdatum: 04.02.2009
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Beitrag bottom Verfasst am: 09. März 2009 18:05    Titel: Antworten mit Zitat

keiner der ne idee hat? ich würd mich über jegliche beigesteuert meinung freuen Augenzwinkern

ich hab mir nochmal weiter gedanken gemacht. imho können nur folgende fehler in meiner überlegung sein:

- der elektronenstrahl kann nicht als ein quantensystem bertachtet werden. allgemein bin ich mir nicht ganz sicher was man als ein quantensystem betrachten kann und was nicht mehr, von daher vermute ich fast das hier mein fehler liegt Augenzwinkern

- der elektronenstrahl muss aus irgendeinem grund nicht kohärent sein. ich bin mir zwar recht sicher, dass er es sein muss, aber vll liege ich da ja falsch.

ich hab echt kp... grübelnd
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Anmeldungsdatum: 04.02.2009
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Beitrag bottom Verfasst am: 11. März 2009 19:02    Titel: Antworten mit Zitat

hm, schade dass niemand antwortet. naja, falls ich ne vernünftige antwort finde, werd ich sie hier noch rein setzen
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 20. März 2009 20:43    Titel: Antworten mit Zitat

Die Antwort ist nicht ganz so einfach: stell dir mal vor, du würdest die Intensität des Elektronenstrahls soweit reduzieren, dass sich im Mittel immer höchstens ein Elektron in der gesamten Apparatur befindet. D.h. es könnten nie zwei Elektronen miteinander wechselwirken, da ja immer nur eines unterwegs ist.

Trotzdem beobachtest du die Interferenz.

D.h. dass jedes dieser geeignet präparierten Elektronen mit sich selbst interferiert.

Dazu muss aber der Quantenzustand des Elektrons geeignet präpariert sein, genauso wie der eines Photons auch (bei dem dieselbe Argumentation mit Einzelphotonen gilt). Im Falle von Photonen kannst du diese Präparierung mit einem Laser erreichen, du kannst das aber auch ebensogut mit einer nahezu punktförmigen Lochblende erzielen, die die Kohärenz über eine Länge vergleichbar mit der Doppelspaltgröße sicherstellt. Ersteres funktioniert nicht mit Elektronen, letzteres schon.

Gruß
TomS
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 21. März 2009 06:47    Titel: Antworten mit Zitat

Das ist richtig, aber ich denke @bottom meint genau das Gegenteil, nämlich den Fall, dass eben sehr viele Elektronen gleichzeitig im Strahl sind. Dann stellt sich natürlich die Frage, wie es möglich ist, dass alle Teilchen den gleichen Zustand, nämlich den Impulseigenzustand einer ebenen Welle mit vorgegebenem Impuls annehmen können.

Das ist natürlich nicht möglich, aber ich denke (bin mir aber noch nicht 100% sicher), dass die Lösung dieses Paradox darin liegt, dass es sich eben um keine exakte ebene Welle handeln kann. Eine ebene Welle ist räumlich unendlich ausgebreitet und die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist überall gleich gross. Bei zum Zeitpunkt t0 ageschossenen Elektronen ist dies aber sicher nicht der Fall.

grübelnd

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Wer von der Quantentheorie nicht schockiert ist, hat sie nicht verstanden.
Niels Bohr
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 21. März 2009 08:21    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, das geht in die richtige Richtung; es handelt sich bei den einzelnen Elektronen nicht um die Eigenzustände mit identischen Impuls und Spin, sondern jeweils um lokalisierte Wellenpakete.

Damit sind die Elektronenzustände alle unterschiedlich und man umgeht das Pauliprinzip.
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Anmeldungsdatum: 04.02.2009
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Beitrag bottom Verfasst am: 21. März 2009 13:16    Titel: Antworten mit Zitat

@schnudl: der begriff der ebenen welle ist doch gleichzusetzen mit dem der kohärents, oder? du sagst, dass die welle nicht exakt eben ist, aber ist das nicht bedingung dafür, dass der versuch funktioniert?

Zitat:
den Fall, dass eben sehr viele Elektronen gleichzeitig im Strahl sind
ganau. und je mehr elektronen sich im strahl befinden, desto breiter müsste das impulsband werden. sprich umso schlechter wäre dann das ergebnis. hätte man rein teoretische eine unendlich hohe intensität des strahls, so wäre garkein interferenzmuster mehr zu erkennen?! grübelnd hm...

TomS hat Folgendes geschrieben:
es handelt sich bei den einzelnen Elektronen nicht um die Eigenzustände mit identischen Impuls und Spin, sondern jeweils um lokalisierte Wellenpakete.

Damit sind die Elektronenzustände alle unterschiedlich und man umgeht das Pauliprinzip.

hm... kannst du das nochmal ein wenig genauer erläutern? grübelnd da komm ich gerade mal nicht mit...
Zitat:
jeweils um lokalisierte Wellenpakete
ist das mit meiner vermutung, der strahl könne nicht als ein quantensystem betrachtet werden gleichbedeutend?
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 21. März 2009 13:43    Titel: Antworten mit Zitat

Weil es eben keine reinen ebenen Wellen gibt (diese sind eine Abstraktion), muss es sich, wie schon @TomS erwähnt hat, um Wellenpakte in unterschiedlichen Zuständen handeln. Krass formuliert: Ein Elektron das sich heute im Strahl befindet hat eine andere Wellenfunktion als eines, das vorgestern dort war.

Solche Zustände sind eben keine Eigenfunktionen des Impulses, sondern hängen auch von der Zeit ab. Ich denke, hier liegt dein Denkfehler. Weiters glaube ich, dass die vielen Elektronenzustände auch nicht untereinander köhärent sind bzw. sein müssen. Interferenz kommt durch jeweils eine einzelne Wellenfunktion des Einzelelektrons zustande, nicht durch die Überlagerung vieler Elektronen im Strahl.

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TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 21. März 2009 14:12    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
Interferenz kommt durch jeweils eine einzelne Wellenfunktion des Einzelelektrons zustande, nicht durch die Überlagerung vieler Elektronen im Strahl.

Genau das wollte ich verdeutlichen, als ich von dem einzelnen Elektronen gesprochen habe, das mit sich selbst interferiert.
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 21. März 2009 16:00    Titel: Antworten mit Zitat

ja; jetzt sehe ich was du meintest.
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Beitrag bottom Verfasst am: 21. März 2009 16:10    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Zitat:
Interferenz kommt durch jeweils eine einzelne Wellenfunktion des Einzelelektrons zustande, nicht durch die Überlagerung vieler Elektronen im Strahl.

Genau das wollte ich verdeutlichen, als ich von dem einzelnen Elektronen gesprochen habe, das mit sich selbst interferiert.


ok. das ist mir soweit ansich auch klar. aber stellen wir uns jetzt mal folgendes for:
wir haben einen strahl mit relativ hoher intensität. aufgrund des ausschlussprinzips besitzen diese elektronen alle einen unterschiedlichen impuls und damit eine unterschiedliche wellenlänge. soweit müsste das doch alles ok sein.
betrachten wir nun was passiert wenn das erste elektron den doppelspalt erreicht: es breitet sich als welle aus, geht durch beide spalten und interferiert mit sich selbst. maxima entstehen dann für dieses elektron unter dem winkel alpha falls für alpha gilt:

jetzt kommt das zweite elektron zum doppelspalt. es besitze einen anderen impuls und damit auch eine andere wellenlänge. was, wenn diese wellenlänge genau ein minimum unter dem beobachtungswinkel alpha erzeugt? und das nächste vll wieder ein maximum?

ihr seht mein problem: ich bin der meinung dass bei unterschiedlichen impulsen kein vernünftiges interferenzmuster zustande kommen dürfte, je größer das impulsband, desto schlechter das interferenzmuster, je kleiner desto besser.

wo liegt mein denkfehler?
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 21. März 2009 16:56    Titel: Antworten mit Zitat

so unterschiedlich werden die impulse bei einem ordentlich durchgeführten Doppelspalt Experiment wohl nicht sein, ich denek du musst dir Wellenpakete mit nahe beisammenliegenden Frequenzkomponenten vorstellen. Worauf es eher ankommt, ist die räumliche Köhärenz. Wenn der Wegunterschied grösser wird als die Köhärenzlänge, dann kann es zu keinem beobachtbaren Interferenzmuster mehr kommen.
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Beitrag bottom Verfasst am: 21. März 2009 17:16    Titel: Antworten mit Zitat

schnudl hat Folgendes geschrieben:
so unterschiedlich werden die impulse bei einem ordentlich durchgeführten Doppelspalt Experiment wohl nicht sein, ich denek du musst dir Wellenpakete mit nahe beisammenliegenden Frequenzkomponenten vorstellen. Worauf es eher ankommt, ist die räumliche Köhärenz. Wenn der Wegunterschied grösser wird als die Köhärenzlänge, dann kann es zu keinem beobachtbaren Interferenzmuster mehr kommen.


ok, also stimmten ansich alle meine überlegungen, nur der effekt ist nicht sehr groß. nur noch eine frage: wenn ich mit der intensität des strahles gegen unendlich gehe müsste der interferenzmuster doch verschwinden, oder? denn dann würden die impulsunterschiede ja auch gegen unendlich gehen. richtig?
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 21. März 2009 17:16    Titel: Antworten mit Zitat

Jedes einzelne Elektron verhält sich während des Interefenzexperimentes zunächst wie eine Welle (wie du oben richtig schreibst). Wenn diese Welle jedoch interferiert hat und mit dem Schirm wechselwirkt, dann zeigt sich wieder das einzelne Elektron. Dieses eine Elektron erzeugt eine Schwärzung - sozusagen ein Pixel.

Die Gesamtheit der Elektronen erzeugt dann ein Muster, zusammengesetzt aus einer Vielzahl von Pixeln. Aus der Gesamtheit dieser Pixel entsteht die Schwärzung, die das Absolutquadrat der Wellenfunktion darstellt.

Dein Problem scheint zu sein, dass du die Gesamtheit der Elektronen als Welle interpretierst. Tatsächlich ist aber jedes einzelne Elektron eine derartige Welle (bzw. Wellenfunktion in der Quantenmechanik).
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Beitrag bottom Verfasst am: 21. März 2009 17:35    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Jedes einzelne Elektron verhält sich während des Interefenzexperimentes zunächst wie eine Welle (wie du oben richtig schreibst). Wenn diese Welle jedoch interferiert hat und mit dem Schirm wechselwirkt, dann zeigt sich wieder das einzelne Elektron. Dieses eine Elektron erzeugt eine Schwärzung - sozusagen ein Pixel.

ja, das wird ja als kollaps der wellenfunktion bezeichnet (koppenhagener deutung). die antreffwarscheinlichkeit, sprich die warsch. wo solch ein "pixel" landet, ist proportional zum betragsquadrat der jeweiligen wellenfunktion.

TomS hat Folgendes geschrieben:
Die Gesamtheit der Elektronen erzeugt dann ein Muster, zusammengesetzt aus einer Vielzahl von Pixeln. Aus der Gesamtheit dieser Pixel entsteht die Schwärzung, die das Absolutquadrat der Wellenfunktion darstellt.

welcher wellenfunktion? wenn es keine wellenfunktion gibt, die den geasammten strahl beschreibt (was ich bisher tatsächlich angenommen hatte), wie ergibt sich dann das endgültige interferenzmuster? ich war davon ausgegangen, dass es nicht möglich sei, vorrauszusagen, wo ein einzelnes elektron auftreffen wird. betrachtet man jedoch eine große menge an elektronen, so stellt man fest, dass es orte größterer und kleinerer antreffwarscheinlichkeit gibt. die antreffwarsch ergibt sich als . wenn jedoch die wellenfunktion für jedes elektron anders ist, so dürfte doch die überlagerung all dieser warscheinlichkeitsverteilungen nicht das saubere interferenzmuster ergeben wie wir es kennen. es sei denn die impulsunterschiede sind so gering, dass man es kaum bemerkt.
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 21. März 2009 17:56    Titel: Antworten mit Zitat

Die Wellenfunktionen der einzelnen Elektronen sind ja auch nicht sehr unterschiedlich. Tatsächlich reicht bereits ein infinitesimaler Unterschied im Impuls, um das Pauliprinzip auszuhebeln. Damit kann man natürlich näherungsweise dem gesamten Strahl eine Wellenfunktion zuordnen.
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Beitrag bottom Verfasst am: 21. März 2009 18:54    Titel: Antworten mit Zitat

ok Prost
dann ist jetzt alles klar, danke
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 21. März 2009 19:16    Titel: Antworten mit Zitat

Mich würde jetzt interessieren, wie man die Wellenfunktionen von Elektronen die den Spalt verlassen konkret ausrechnet. Wie kann man die Köhärenzlänge aus den Spaltabmessungen bestimmen?
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Niels Bohr
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Beitrag bottom Verfasst am: 21. März 2009 23:49    Titel: Antworten mit Zitat

schnudl hat Folgendes geschrieben:
Mich würde jetzt interessieren, wie man die Wellenfunktionen von Elektronen die den Spalt verlassen konkret ausrechnet. Wie kann man die Köhärenzlänge aus den Spaltabmessungen bestimmen?


würd mich auch interessieren - also, wissende, teilt euer wissen mit Augenzwinkern
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