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Markus2309
Anmeldungsdatum: 01.09.2022
Beiträge: 48
Wohnort: Karlsruhe
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 Markus2309 Verfasst am: 04. Sep 2022 19:32 Titel: d'Alembert'sches Prinzip vs Hamiltonsches Prinzip, Ursprung? |
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Hi zusammen,
ich frage mich, woher das Hamiltonsche Prinzip kommt. Das d'alembertsche Prinzip lässt sich ziemlich leicht aus den virtuellen Verrückungen aus der allgemeinen Bewegungsgleichung für einen Körper ableiten. Das Prinzip der virtuellen Verrückung mag zwar am Anfang ein wenig suspekt sein, lässt sich dennoch jedoch gut akzeptieren (finde ich) und ergibt Sinn, genauso das Prinzip der virtuellen Arbeit. Im Nolting folgt direkt auf das Differentialprinzip das Integralprinzip. Hier fliegt aber irgendwie alles vom Himmel. Ich verstehe den Ansatz; beim Differentialprinzip geht es einen momentanten Zustand, welcher mit einem anderen verglichen wird, der sich nur um virtuelle Verrückungen unterscheidet. Beim Integralprinzip wird ein endliches Bahnelement in einem Zeitintervall mit kleinen Abweichungen der gesamten Bahn von der tatsächlich durchlaufenen Bahn verglichen.
Nur wie kommt man darauf, dass man sich jetzt die Wirkung als Zeitintegral der Lagrange Funktion definiert und die Varation dieser für die tatsächliche Bahn stationär sein muss?
Anregungen/Fragen/Verbesserungen/Erklärungen herzlichst erwünscht, danke |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 05. Sep 2022 11:24 Titel: |
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Da wirst du ziemlich in der Vergangenheit forschen müssen:
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Hamiltonsches_Prinzip
Daraus zitiert: „Das Hamiltonsche Prinzip der Theoretischen Mechanik ist ein Extremalprinzip. Physikalische Felder und Teilchen nehmen danach für eine bestimmte Größe einen extremalen … Wert an. Diese Bewertung nennt man Wirkung, mathematisch ist die Wirkung ein Funktional, daher auch die Bezeichnung Wirkungsfunktional … Die Newtonschen Bewegungsgleichungen folgen bei geeignet gewählter Wirkung aus dem Hamiltonschen Prinzip. Aber auch die Maxwellgleichungen der Elektrodynamik und die Einstein-Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie lassen sich auf ein Prinzip [extremaler] Wirkung zurückführen … Pierre Maupertuis sprach 1746 als erster von einem allgemeingültigen Prinzip der Natur, extremal oder optimal abzulaufen: … dem Prinzip der … [extremalen] Wirkung. Leonhard Euler und Joseph Lagrange klärten in der Mitte des achtzehnten Jahrhunderts, dass solch ein Prinzip die Gültigkeit von Euler-Lagrange-Gleichungen bedeute. Die lagrangesche Formulierung der Mechanik stammt von 1788. 1834 formulierte William Hamilton das nach ihm benannte Prinzip.“
Letztlich geht es doch darum, ein Funktional S bzw. eine Funktion L zu finden, woraus dann die Bewegungsgleichungen mittels dieses Extremalprinzips folgen.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Markus2309
Anmeldungsdatum: 01.09.2022
Beiträge: 48
Wohnort: Karlsruhe
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| Markus2309 Verfasst am: 05. Sep 2022 12:06 Titel: |
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Danke für deine Antwort. Dann gehe ich wohl davon aus, dass das einfach das mathematisch-physikalische Bauchgefühl/Wissen damals war, und die das ausprobiert haben und eben gute Ergebnisse damit erzielt haben. Bei so Geistesblitzen finde ich es nur manchmal schwierig den ersten Schritt nachzuvollziehen.
Dann werde ich wohl einfach mehr Wissen und Bauchgefühl akquirieren müssen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 05. Sep 2022 12:21 Titel: |
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Ich denke, es kamen zwei Dinge zusammen.
Erstes der Glaube an ein derartiges Prinzip, und zweitens das Wissen, dass das Problem der Brachistochrone (und weitere) bereits mittels eines derartigen Ansatzes gelöst worden war.
Das Problem der Brachistochrone, nämlich diejenige Kurve C zu finden, entlang derer die Zeit T einer unter dem Einfluss der Schwerkraft rollenden Kugel minimal wird
führt auf ein Funktional
)
sowie in der Folge auf die zu lösenden Euler-Langrange-Gleichungen.
Für das Hamiltonsche Prinzip der kleinsten Wirkung musste man zunächst erkennen, dass ein unbekanntes Funktional
)
gesucht ist, aus dem wiederum Euler-Langrange-Gleichungen folgen, die von der Form her den Newtonschen Bewegungsgleichungen entsprechen.
D.h. wenn man dieses Prinzip voraussetzt, besteht die Aufgabe in der Konstruktion einer geeigneten Funktion L.
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Markus2309
Anmeldungsdatum: 01.09.2022
Beiträge: 48
Wohnort: Karlsruhe
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| Markus2309 Verfasst am: 05. Sep 2022 12:35 Titel: |
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Oh ja klar, das ergibt Sinn. Danker dir  |
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 05. Sep 2022 14:21 Titel: Re: d'Alembert'sches Prinzip vs Hamiltonsches Prinzip, Urspr |
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| Markus2309 hat Folgendes geschrieben: | Hi zusammen,
ich frage mich, woher das Hamiltonsche Prinzip kommt. Das d'alembertsche Prinzip lässt sich ziemlich leicht aus den virtuellen Verrückungen aus der allgemeinen Bewegungsgleichung für einen Körper ableiten |
Heuristisch kann man sich den Zusammenhang recht einfach klar machen.
Der Schlüssel hierzu sind die Euler-Lagrange-Gleichungen, die ja Euler und Lagrange aufgrund von Betrachtungen von Variationsproblemen gefunden haben.
Hierzu starte man mit dem einfachsten Fall eines freien Teilchens und betrachte die Newtonsche Gleichung:
 = \frac{d}{dt} (m \cdot v(t)) = \frac{d}{dt} \{ \frac {\partial}{\partial \dot x} (\frac{1}{2} \cdot m \cdot \dot x ^2) \} = \frac{d}{dt} \{ \frac {\partial}{\partial \dot x} T(\dot x) \})
Betrachtet man nun weiter konservative Kräfte
 = - \frac{\partial}{\partial x} V(x))
kann man eine Lagrangefunktion definieren:
 := T(\dot x) - V(x))
Man erhält mithin eine Euler-Lagrange-Gleichung, die man als Lösung eines Variationsproblems auffassen kann:
 - \frac{\partial}{\partial x} L(x, \dot x) = 0)
Verallgemeinert man nun auf generalisierte Koordinaten, kann man umgekehrt das zugehörige Variationsproblem zum (Hamiltonschen-) Prinzip erklären. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 05. Sep 2022 14:25 Titel: |
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Richtig.
Es hat aber schon etwas länger gedauert, bis man von der Entwicklung der Variationsrechnung (Ende 17. Jh.) zum Hamiltonschen Prinzip (Mitte 19. Jh.) gelangt ist.
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