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babelon
Anmeldungsdatum: 25.01.2009
Beiträge: 13
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 babelon Verfasst am: 25. Jan 2009 18:12 Titel: Gedämpfte Schwingung |
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Hallo,
ich habe eine Aufgabe zu rechnen, mit der ich mich nicht zurecht finde. Ich schreibe mal auf, was ich machen soll und was ich mir dazu gedacht habe und hoffe, dass mir jemand von Euch weiter helfen wird.
Aufgabe: Ein Körper der Masse m schwinge an zwei Federn mit der Federkonstante K (in einer Skizze sind links und rechts jeweils eine Wand, an der jeweils eine Feder befestigt ist. Die Federn halten mittig die Masse m). Es sei des weiteren eine Dämpfung durch eine Reibungskraft }) vorhanden. Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf und lösen Sie diese mit den Anfangsbedingungen =\vec{x}_0 ) , =0) . Die Ruhelage habe die Koordinate  . Skizzieren Sie die verschiedenen Typen physikalischer Lösungen (Tip: Ansatz =a \cdot e^{\lambda\cdot t}) ).
Ich weiß nicht, ob mein Ansatz zu dieser Aufgabe richtig ist. Ich schreibe jetzt einfach mal auf, was ich mir gedacht habe:
Bewegungsgleichung aufstellen: 
kann geschrieben werden als
 = -D\cdot x(t) - \rho \cdot \dot{\vec{x}}(t))
und damit erhalte ich die homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung
 + \rho \cdot \dot{\vec{x}}(t) +D\cdot x(t)=0 ) . (Ich meine, dies ist die gesuchte Bewegungsgleichung)
Jetzt würde ich die Anfangsbedingungen einsetzen und erhalte dann (t=0)
 +D\cdot x_0 =0 ) .
Die letzten Schritte habe ich allerdings nur gemacht, in der Hoffnung, dadurch auf irgend etwas zu stossen. Ich komme hier nicht weiter.
Ist mein Weg richtig, wenn ja, bis zu welcher Stelle. Und wie gehe ich dann weiter vor ?
Ich hoffe, jemand wird mir helfen können. Hier aus Liebe zum Leser das Standardforenende: Ich verzweifle :-)
Gruß babelon |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
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| para Verfasst am: 25. Jan 2009 19:33 Titel: Re: Gedämpfte Schwingung |
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| babelon hat Folgendes geschrieben: | Bewegungsgleichung aufstellen:
kann geschrieben werden als
und damit erhalte ich die homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung
. (Ich meine, dies ist die gesuchte Bewegungsgleichung) |
Bis hier sieht alles vollkommen okay aus. 
| babelon hat Folgendes geschrieben: | Jetzt würde ich die Anfangsbedingungen einsetzen und erhalte dann (t=0)
.
Die letzten Schritte habe ich allerdings nur gemacht, in der Hoffnung, dadurch auf irgend etwas zu stossen. Ich komme hier nicht weiter. |
Man setzt die Randbedingung an der Stelle auch nicht ein! – Das die erste Ableitung von x Null ist, soll ja nur zu t=0 gelten. Was du mit deiner Bewegungsgleichung aber suchst, ist ja ein Zusammenhang für x für alle Zeiten t.
Hast du schon einmal versucht, in deiner Bewegungsgleichung mit dem gegebenen Ansatz zunächst die allgemeine Lösung zu finden? – In dieser kannst du dann die Randbedingung in Form einer Integrationskonstante unterbringen.
| babelon hat Folgendes geschrieben: | | Hier aus Liebe zum Leser das Standardforenende: Ich verzweifle :-) |
Es geht schon auch gut ohne. ;-) – Übrigens:  im Forum.
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Formeln mit LaTeX |
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babelon
Anmeldungsdatum: 25.01.2009
Beiträge: 13
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| babelon Verfasst am: 25. Jan 2009 20:48 Titel: |
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Hi para,
danke für dein
ich werde mich dann mal an deinem Tip entlang hangeln
Also ich habe die Bewegungsgleichung:
 + \rho \cdot \dot{\vec{x}}(t) + D \cdot \vec{x}(t) = 0 )
umgeschrieben das gleiche noch mal:
 + \rho \cdot \frac{d}{dt}\vec{x}(t) + D \cdot \vec{x}(t) = 0 )
und mit dem Ansatz
 = a \cdot \exp(\lambda \cdot t) )
erhalte ich
) + \rho \cdot \frac{d}{dt}( a \cdot \exp(\lambda \cdot t)) + D \cdot ( a \cdot \exp(\lambda \cdot t)) = 0 )
nach endlich vielen Gedanken komme ich dann zu:
) + \rho \cdot (\lambda a \cdot \exp(\lambda \cdot t)) + D \cdot ( a \cdot \exp(\lambda \cdot t)) = 0 )
verschönert:
in der Hoffnung, dass es an dieser Stelle Sinn macht (eine Vorahnung), wird das Distributivgesetz angewendet:
= 0 )
ich habe nun mit der Bewegungsgleichung herum gespielt. An dieser Stelle bin ich mir aber nicht sicher, wie es weiter gehen soll.
@para: Du hast von einer allgemeinen Lösung gesprochen!?!?
Ich habe an dieser Stelle keinen Plan, was gemacht werden muss. Wenn du von Integrationskonstanten sprichst, kann ich ja davon ausgehen, dass ich integrieren sollte. Aber wo ? Wo muss ich hin ?
gruß babelon |
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babelon
Anmeldungsdatum: 25.01.2009
Beiträge: 13
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| babelon Verfasst am: 25. Jan 2009 21:07 Titel: |
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Ich habe eben noch schnell folgendes bestimmt (ich hoffe, dass es so gut ist) mit der quadratischen Gleichung (abc-Formel, pq-Formel):
aber wie war das mit dem Integrieren ?  |
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babelon
Anmeldungsdatum: 25.01.2009
Beiträge: 13
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| babelon Verfasst am: 25. Jan 2009 21:31 Titel: |
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ach und was mir dann noch einfällt gerade...
da ich ja schon einen Teil berechnet habe durch die lambdas, kann ich den ja schon mal in die Allgemeine Lösung einsetzen. Ich gehe an dieser Stelle mal davon aus, dass der Exponentialansatz die allgemeine Lösung ist.
Daraus folgen dann die Gleichungen:
 = a \cdot e^{\lambda_1 t} = a \cdot e^{(- \frac{\rho}{2m}+ \sqrt{\frac{\rho^2}{4m^2} - \frac{D}{m} }) t})
 = a \cdot e^{\lambda_2 t} = a \cdot e^{(- \frac{\rho}{2m}- \sqrt{\frac{\rho^2}{4m^2} - \frac{D}{m} }) t})
könnte vielleicht mit a die Integrationskonstante gemeint sein ???
gruß babelon |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
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| para Verfasst am: 25. Jan 2009 22:15 Titel: |
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Das sieht schon gut aus.
Du hast ja jetzt zwei Lösungen für deine DGL gefunden: und 
Das mit den Integrationskonstanten ist einfach eine Bezeichnung, da die Konstanten unter Umständen ja aus Integration hervorgehen können. Man bezeichnet damit die beiden frei wählbaren Konstanten die bei solch einer DGL 2. Ordnung auftreten, da du deine Lösung ja schreiben kannst alsWobei du die Konstanten C1 und C2 völlig beliebig wählen, sprich deinen Anfangs- bzw. Randwerten anpassen kannst.
Wichtig beim gedämpften Oszillator ist jetzt die Unterscheidung der verschiedenen Fälle der Lösungen, da deine Lambdas ja von deinem Dämpfungskoeffizienten abhängen. Man unterscheidet:
Diese drei Fälle unterscheiden sich elementar voneinander und sollten getrennt voneinander betrachtet werden. Was bedeutet eine e-Funktion mit komplexem Argument? Was eine e-Funktion mit reellem Argument? - Und was machen wir im Fall 2), bei dem beide Lösungen gleich sind, uns also noch eine fehlt? (Solch eine DGL 2. Ordnung braucht ja 2 Lösungen.)
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