Schwingung auf Kreisbahn (Polarkoordinaten)

Andrea · Gast

Hallo erstmal,

ich hab hier folgende Aufgabe, die ich bis nächste Woche bearbeiten muss. Vielleicht kann mir jemand von euch helfen?

Ein Massenpunkt der Masse m sei an einer Feder mit der Federkonstanten k befestigt. Die andere Seite der Feder ist drehbar befestigt, so dass die Masse mit der Winkelgeschwindigkeit w auf einer Kreisbahn mit dem Radius R rotiert. Nun wird der Massenpunkt durch einen kleinen radialen Stoß von der Kreisbahn abgebracht. Zeigen Sie, dass der Massenpunkt für kleine Auslenkungen vom Anfangsradius R harmonische Schwingungen in radialer Richtung ausführt. Wie groß ist die entsprechende Schwingungsfrequenz?

Hinweis: Die Gravitationskraft können Sie vernachlässigen. Die Lösung des Problems bietet sich in Polarkoordinaten an: Stellen Sie die Bewegungsgleichungen für den Winkel \varphi und den Radius r auf. Nun können Sie verwenden, dass nur eine Zentralkraft wirkt. Was gilt dann für den Drehimpuls? Mit dieser Informationüber den Drehimpuls entkoppeln die Bewegungsgleichungen. Schreiben Sie die Differentialgleichung in eine Differentialgleichung für r' = r - R um und verwenden Sie die Näherung 1=(1 + x)n = 1 - nx (Nachrechnen!).

Bisher hab ich mir folgendes überlegt:
Federkraft = Zentripetalkraft -> -mk = -m w (w R)
Drehimpuls = konstant
der Ortsvektor der Kreisbewegung ist in x-Richtung: R cos \varphi und in y-Richtung : R sin \varphi

Sind die Grundüberlegungen so richtig? Und wie mache ich weiter?

vielen Danke schon mal
Andrea

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3254

Noch ein paar Fragen dazu!

1.Ich nehme mal folgendes an. wenn man eine masse die sich dreht vom Drehpunkt nach aussen auslenkt benötigt diese ja durch den größeren Radius eine größere Geschwindigkeit. Dazu ist eine Tangentialkraft erfoderlich und diese ist vernachlässigbar, darum wird da auch nur von kleinen Auslenkungen gesprochen?
2. Kann man auch die Masse der Feder vernachlässigen?
3.Welche Auslenkung wird da gemeint. wird die Feder ausgezogen und losgelassen sodaß die Masse im Moment des loslassen keine Radialgeschwindigkeit hat, oder ist das wirklich ein radialer Stoss so das die Masse nach Stossende eine radiale Auslenkung besitzt + Radialgeschwindigkeit.

Trotz allen wirsd duch auch diese Formel benötigen.
Die Federkraft F = k * s
k...Federkonstante
s...Auslenkungsweg

Wenn man da alles vernachlässigen kann, kannsd du das eigentlich rechnen wie wenn du eine Feder im Stillstand auslenkst. Sie wird nach dem loslassen mit der Federkraft auf die Masse wirken. und ihr über den Federweg eine Arbeit F*s zuführen und ihr eine Kinetische Energie von m*v²/2 verpassen. bis die Masse im entlasteten Zustand der Feder ankommt. danach wirkt die Feder gegen die enstanden Geschwindigkeit der Masse mit der gleichen Federarbeit und drückt sich zusammen bis v=0 ist, dann geht das spiel wieder von vorne los.

Der einzige Unterschied zur Drehung wär dann, das hier der Grundzustand der Feder nicht entlastet ist. sondern auf grund der Zentripetalkraft der Drehung gegeben ist. Bei einer Auslenkung geht nicht die gesamte Federkaft in die Radialgeschwindigkeit der Masse über, weil die Zentripetalkraft jedesmal abgezogen werden muß.

Andrea · Gast

erstmal Danke für deine Antwort. Allerdings muss ich gestehen, versteh ich die Aufgabe trotzdem net wirklich.

Vielleicht zuerst mal meine recht einfache Vorstellung von dem Ganzen:
Wir haben eine Feder, an deren Ende eine Masse m hängt. Diese Masse bewegt sich auf einer Kreisbahn. Irgendwann zieht "jemand" an dieser Masse und dehnt somit die Feder.
Ist diese Annahme so okay?

Jetzt dachte ich mir, nehme ich die Gleichung F=ma, wobei ich a in Polarkoordinaten angebe. Da ist schon mal mein erstes Problem. Gilt denn das, was ichfür den Ortsvektor in x- und y-Richtung angenommen habe? Falls ja, muss ich das ja nur 2mal ableiten um a zu erhalten.

Jetzt wird die Feder ausgelenkt. Gilt nun Zentralkraft = Federkraft?
Wenn ja, gilt also -mw(wR) = -kx
jetzt müsste doch x die Auslenkung r sein und R wäre doch R+r. Damit der Radius bei der Dehnung größer ist und bei der Stauchung kleiner als der ursprüngliche Radius R.

Gilt dann F=ma=Zentralkraft + Federkraft?
Wenn ja, ist a gleich dem a, das ich am Anfang berechnet habe?

Ich weiß aber einfach nicht, was mir der Tip mit dem Drehimpuls bringen soll. Wenn der Drehimpuls konstant ist, dann ist mein Drehmoment doch 0. Muss dann gelten Zentralkraft + Federkraft = 0 ? Und wieso brauch ich dann die Polarkoordinaten?

Es wäre super, wenn du oder jemand anderes mir weiterhelfen könntest. Ich hab jetzt einfach mal alles aufgeschrieben, was mir zu der Aufgabe einfällt.

Andrea

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3254

Der Tip mit dem Drehimpuls bringt folgendes. In einem Polarkoordinatensystem braucht man immer den Radius eines Punktes und Drehwinkel eines Punktes. damit ist der Punkt eindeutig definiert.
Durch den konstanten Drehimpuls ist gegeben, daß es eine konstante winkelgeschwindigkeit gibt die uns den Drehwinkel konstant über der Zeit verändert. Die auftreten Kräfte die wirken, wirken nur in Radial Richtung wirken also nicht Drehwinkel verändernd. Somit ist der Drehwinkel des Massenmittelpunkts in Radiant eindeutig definiert durch

.
Dies ist nun gelöst.
Du brauchst dich nur noch radial darum kümmern wie sich der Massenmittelpunkt bewegt.
und hier wirken nun unsere Kräfte.
F_{F} .... Federkraft
F_{Z} .... Zentripetalkraft

vor der Auslenkung gilt: Massenmittelpunkt steht auf

nach der Auslenkung x gilt: Massenmittelpunkt steht auf

K.... Federkonstante

und die resultierende Kraft erzeugt uns eine Radiale Beschleunigung, wie diese ausfällt hängt nur von der Federkonstanten ab.
wenn die Federkonstante eine Federkraftzunahme erzeugt die gleich der Kraftzunahme der Zentripetalkraft durch den größeren Radius ist. dann erhalten wir überhaupt keine Beschleunigung. und bei der Auslenkung x herrscht auch Gleichgewicht.

Ich hoffe ich konnte dir mit diesen Ansätzen helfen.
MFG