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Schüler
Anmeldungsdatum: 05.05.2006
Beiträge: 175
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 Schüler Verfasst am: 19. Jan 2009 20:44 Titel: Schwingung |
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hallo ich hab mal eine frage und zwar habe man ein cocktailglas, welches durch die Form der Parabel y=ax² hat
nun wird am oberen rand des cocktailglases eine Olive losgelassen. Die Olive rollt nun reibungsfrei im glas hin und her. Nun soll man nur die Bewegung der Olive in x-richtung betrachten.
man soll dazu die Bewegungsgleichung aufstellen. Nach der Musterlösung wurd die sache wie folgt angegangen.
Es ist F=-dW/dx=-2ax
daraus folgt für die bewegungsgleichung
aber das versteh ich nicht. Auch rein qualitativ ergibt das für mich keinen Sinn, weil wenn die Steigung größer wird hieße das, dass die beschleunigende Kraft in x-richtung größer wird. im grenzfall bei dem die steigung gegen unendlich strebt, hieße es, dass die kraft in x-richtung gegen unendlich strebt, aber die müsste dann ja 0 sein.
Mein Ansatz sieht wie folgt aus. Ich habe zunächst die kraft, welche tangential zur bahnkurve zeigt, berechnet. Dies ist ja die kraft mit der die Olive beschleunigt wird. das habe ich wie folgt gemacht
es ist
}{ds})
also die änderung des potentials entlang des weges.
für das bogendifferential gilt
^{2}} dx)
daraus folgt:
}{\sqrt{1+(y')^{2}} dx}=-\frac{2mgax}{\sqrt{1+(y')^{2}}})
nun muss ich ja die kraft in x-richtung berechnen
also kann ich die tangentialkraft in eine komponente in x richtung und in y richtung zerlegen. durch ein bisschen trigonometrie komm ich dann auf diese kraft und dann erhalte ich ein ergebnis, welches mir sinnvoller erscheint. Könnt ihr mir vielleicht helfen? |
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mitschelll
Anmeldungsdatum: 06.12.2007
Beiträge: 362
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| mitschelll Verfasst am: 20. Jan 2009 09:35 Titel: Re: Schwingung |
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| Schüler hat Folgendes geschrieben: |
man soll dazu die Bewegungsgleichung aufstellen. Nach der Musterlösung wurd die sache wie folgt angegangen.
Es ist F=-dW/dx=-2ax
daraus folgt für die bewegungsgleichung
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Hier verstecken sich noch ein paar Rechenfehler. Schau Dir mal die Einheiten an, dann siehst Du, dass die Formeln so nicht stimmen können.
| Schüler hat Folgendes geschrieben: |
aber das versteh ich nicht. Auch rein qualitativ ergibt das für mich keinen Sinn, weil wenn die Steigung größer wird hieße das, dass die beschleunigende Kraft in x-richtung größer wird. im grenzfall bei dem die steigung gegen unendlich strebt, hieße es, dass die kraft in x-richtung gegen unendlich strebt, aber die müsste dann ja 0 sein.
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Wohinter verbirgt sich Deiner Meinung nach die Steigung in der Formel für die Kraft? Ich glaube, dass Du die Formel falsch interpretierst.
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Es irrt der Mensch, solang' er strebt.
Johann Wolfgang von Goethe |
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hopsi
Anmeldungsdatum: 13.01.2009
Beiträge: 7
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| hopsi Verfasst am: 20. Jan 2009 10:57 Titel: Re: Schwingung |
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Das Potential der Olive ist gegeben durch wobei einfach die Höhe darstellt.
Da nun aber die Arbeit, die benötigt wird, um die Olive von einem Punkt zu einem anderen Punkt zu bringen nur davon abhängt, welche "Höhe" diese Punbkte haben, kann man die Kraft F folgendermaßen schreiben: wobei a einfach eine Konstante für das Potential ist.
Dass obiger Zusammenhang gilt, ist leicht ersichtlich:Solche Kräfte nennt man auch konservativ.
(http://de.wikipedia.org/wiki/Konservative_Kraft) wobei ich annehme, dass dieses a in y(x) nicht die Beschleunigung darstellt. |
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Schüler
Anmeldungsdatum: 05.05.2006
Beiträge: 175
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| Schüler Verfasst am: 20. Jan 2009 17:22 Titel: Re: Schwingung |
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| Zitat: |
Hier verstecken sich noch ein paar Rechenfehler. Schau Dir mal die Einheiten an, dann siehst Du, dass die Formeln so nicht stimmen können. |
Ich habe lediglich auf der rechten seite die konstante "a" vergessen hinzuschreiben
Damit das von den einheiten her passt, muss dann die konstante a die einheit [1/m] haben. Aber rechenfehler erkenn ich da jetzt nicht. Meiner Meinung nach ist der Ansatz falsch. Es ist ja nicht mein Ansatz sondern der aus der Musterlösung. Ich war heute bei einem Professor und der hat mir gesagt, dass die Musterlösung falsch ist.
| Zitat: | | Wohinter verbirgt sich Deiner Meinung nach die Steigung in der Formel für die Kraft? Ich glaube, dass Du die Formel falsch interpretierst. |
nun die kraftformel laut musterlösung ist. F=-mg2ax
nun ist aber 2ax die steigung der parabel, wenn also x und damit die steigung größer wird, so wird die beschleunigende kraft in x-richtung größer und im grenzfall für x gegen unendlich wird die kraft unendlich groß, aber dieser fall entspräche eigentlich dem freienfall, wonach in x-richtung gar keine kraft wirkt.
Diese formel kann auch schon gar nicht stimmen, weil für x=1 die doppelte gewichtskraft in x-richtung wirkt. das kann auch nicht sein.
@Hopsi
es ist zwar in diesem fall F=-dW/ds, aber nicht F=-dW/dx
sonst könnte ich ja behaupten, dass ein geworfener ball durch die gravitationskraft auf eine parabelbahn der form y=-ax² gezwungen wird. dabei ergibt sich die potentielle energie zu W=-mgax² und damit wirkt in x richtung eine kraft von F=-2mgax.
Das ist offensichtlich falsch, es ist aber die gleiche logik wie in der musterlösung |
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hopsi
Anmeldungsdatum: 13.01.2009
Beiträge: 7
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| hopsi Verfasst am: 20. Jan 2009 22:06 Titel: Re: Schwingung |
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[quote="Schüler"] | Zitat: |
@Hopsi
es ist zwar in diesem fall F=-dW/ds, aber nicht F=-dW/dx
sonst könnte ich ja behaupten, dass ein geworfener ball durch die gravitationskraft auf eine parabelbahn der form y=-ax² gezwungen wird. dabei ergibt sich die potentielle energie zu W=-mgax² und damit wirkt in x richtung eine kraft von F=-2mgax.
Das ist offensichtlich falsch, es ist aber die gleiche logik wie in der musterlösung |
Zunächst einmal ist die Gewichtskraft eine Zentralkraft und konservativ.
Das heißt, dass man den Ansatz F=d(U(x))/dx auch für einen Ball ansetzen kann. Jedoch zeigt x hier nicht in Richtung der horizontalen Bewegung sondern zum Erdmittelpunkt! Das bedeutet, dass die (partielle) Ableitung in die horizontale Richtung Null ist und daher in diese Richtung (natürlich) keine Kraft wirkt. Nur am Rande: U(x)=-MG/x ist das Gravitationspotential, wobei x der Abstand zum Ermittelpunkt ist.
Im Fall der Olive war ja nur die x-Dimension zu betrachten und hierbei wirkt die Kraft in tangentialer Richtung. Und mit der Näherung dass für kleine Winkel dies einer Bewegung in x-Richtung entspricht, folgt die Behauptung. Denn die Olive ist im Gegensatz zum Ball an ein festes Potential gebunden, dass um die Gleichgewichtslage entwickelt ist. |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3254
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| VeryApe Verfasst am: 21. Jan 2009 19:32 Titel: Der Ansatz des Schülers ist richtig |
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Diese 2 Ansätze sind richtig:
statt
}{ds})
würde ich besser nur schreiben (ohne Minus)
}{ds})
mit ist das die resultierende Kraft in Bogenlänge.
Da bei einer resultiernden Kraft sowieso nur immer der Betrag zählt, würde ich das Vorzeichen weglassen weil man durch es nicht genau wissen kann in welche Richtung die Kraft wirkt . Das ergibt sich aus dem Winkel dem man zusätlich angibt. Die Vorzeichen helfen jediglich bei den Kraftkomponenten Fx und Fy die die Resultierende bilden.
}{\sqrt{1+(y')^{2}} dx}=-\frac{2mgax}{\sqrt{1+(y')^{2}}})
Weiters wissen wir das die resultierende Kraft in Bogelänge ein Fx bildet und ein Fy. Die Kraft Fx ist gesucht.
Es gilt:
 die Steigung
^{2} = F_{x}^{2} \cdot (1+(y')^{2}))
^2}{1+(y')^{2}} = F_{x}^{2} \cdot (1+(y')^{2}))
^2}{(1+(y')^{2})^{2}} )
die Wurzel aus Fx² ergibt 2 Lösungen Fx=-... Fx= + .....
wir wissen das Fx minus sein muß
^{2}} =- \frac{2mgax}{1+(2ax)^{2}} ) |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3254
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| VeryApe Verfasst am: 21. Jan 2009 19:50 Titel: |
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ich hab mir das nochmal durchgelesen, was wir da berechnet haben kann nicht stimmen. Wir haben in diesem Fall angenommen die Olive bewege sich auf der Bahn y=ax² und die Gewichtskraft teilt sich nach der Steigung in dieser Bahn auf.
Die Olive bewegt sich jedoch nicht mit ihren Schwerpunkt auf der GlasBahn sondern der Schwerpunkt bewegt sich weiter innen im Glas.
Wir haben auch weiters die Zentripetalkraft nicht berücksichtigt, was wir unbedingt müssten.
Die Kraft ^{2}} )
spiegelt uns jediglich die Kraftkompente in x Richtung wieder die die Glaswand gegen die Gewichtskraft der Olive aufbringen muß damit diese nicht durch das Glas geht.
Ist der Auflagepunkt zwischen Olive und Glas genau auf x. Dann kann eben mit der obigen Formel x eingesetzt die Fx Komponente gegen die Schwerkraft errechnet werden. Die eigentlich Fx Komponente ist aber viel größer weil noch die Zentripetalkraft hinzukommt die uns die schon erreichte Geschwindigkeit in Richtung der Parabel ablenken muß.[/
Zuletzt bearbeitet von VeryApe am 21. Jan 2009 23:00, insgesamt einmal bearbeitet |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3254
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| VeryApe Verfasst am: 21. Jan 2009 22:51 Titel: LEIDER ALLES FALSCH |
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nun die kraftformel laut musterlösung ist. F=-mg2ax
das ist Blödsinn das kann schon mal gar nicht stimmen aus deinen genannten Gründen.
Die wirkende Kraft kann aber glaub ich sehr wohl unendlich werden wenn du gegen x unendlich gehst. weil dann auch die erreichte Geschwindigkeit
unendlich groß wird und du dann eine unendlich große Zentripetalkraft hast. das müßte sich aber irgenwo zwischen 0 und x ergeben weil bei x=0 die Zentriptelkraft senkrecht wirkt und keine Auswirkung auf Fx hat.
wenn du nun nur ermitteln willsd wie sich die Olive im Glas inneren bewegt also dich Kräfte gar nicht interessieren. Dann würd ich dir der Einfachtheit halber empfehlen die Olive als Kugel zu betrachten mit Radius r.
Nun ermittle den Weg des Schwerpunktes der sich weiter innen als y=ax² bewegt.
m*g*h= m*v²/2 ist immer gültig (Es beinhaltet alles auch die Zentripetalkraft+Gewichtsresultierende) . Das errechnete v geht immer in tangential Richtung.
h wäre dann dy in der Formel des Schwerpunktweges.
wenn du dann v in Abhängigkeit von x hast kannsd du vx bilden.
und du hättest die schwingung gelöst.
wenn du von vx die erste Ableitung bildest und mal der Masse nimmst hast du die tatsächliche Fx Kraft und somit auch die tatsächliche Glaswandkraft in x Richtung |
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