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dannyd
Anmeldungsdatum: 21.11.2008
Beiträge: 49
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 dannyd Verfasst am: 22. Nov 2008 00:19 Titel: Komplexe Zahlen |
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Hallo zusammen,
ich hab ein kleines Problem mit komplexen Zahlen. Ich soll bestimmte Ausdrücke in die Grundform für komplexe Zahlen bringen, also:
z = x + iy
Für die Grundrechenarten wie Multiplikation ist das ja kein Problem, das habe ich hinbekommen, aber jetzt sind hier eben noch drei Ausdrücke, bei denen ich keinen Ansatz finde.
1. (1+i* )
2. ln(1+i)
3. sin(i)
Ich würde mich sehr freuen, wenn ihr mir helfen könntet  |
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mitschelll
Anmeldungsdatum: 06.12.2007
Beiträge: 362
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| mitschelll Verfasst am: 22. Nov 2008 00:34 Titel: |
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Kennst Du eine alternative Darstellung für komplexe Zahlen?
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Es irrt der Mensch, solang' er strebt.
Johann Wolfgang von Goethe |
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dannyd
Anmeldungsdatum: 21.11.2008
Beiträge: 49
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| dannyd Verfasst am: 22. Nov 2008 01:33 Titel: |
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Wie meinst du das? Ich soll es auf jeden Fall auf die Form z = x + iy bringen. |
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mitschelll
Anmeldungsdatum: 06.12.2007
Beiträge: 362
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| mitschelll Verfasst am: 22. Nov 2008 01:57 Titel: |
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Es gibt nicht nur die Möglichkeit, Zahlen in der Form x+iy darzustellen (Koordinatenform), sondern auch in der Form
 (Polarform)
Wenn Du einen geschickten Umweg über die Polarform machst, kannst Du die ersten beiden schnell lösen.
Tipp: Du brauchst auch die Eulersche Identität.
Bei der letzten schaue Dir mal genau die Taylorreihe des Sinus an.
_________________
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Johann Wolfgang von Goethe |
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dannyd
Anmeldungsdatum: 21.11.2008
Beiträge: 49
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| dannyd Verfasst am: 22. Nov 2008 10:26 Titel: |
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Ist dann bei der ersten die Polarform:
} = cos(0,25 * arctan(\sqrt{3}) + i * sin(0,25 * arctan(\sqrt{3}) )
Kann man das noch vereinfachen? |
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dannyd
Anmeldungsdatum: 21.11.2008
Beiträge: 49
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| dannyd Verfasst am: 22. Nov 2008 11:18 Titel: |
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Und bei der zweiten?
 = ln ( e^{i*arctan(1)}) = 0 + i*arctan(1) = 0 + i*0,78) |
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dannyd
Anmeldungsdatum: 21.11.2008
Beiträge: 49
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| dannyd Verfasst am: 22. Nov 2008 11:29 Titel: |
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Was die Taylorreihe mir bei der dritten helfen soll weiß ich allerdings nicht. Aber ich versteh die Taylorreihe sowieso nicht so ganz.
Kann mir da jemand etwas Nachhilfe geben?  |
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dannyd
Anmeldungsdatum: 21.11.2008
Beiträge: 49
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| dannyd Verfasst am: 22. Nov 2008 12:21 Titel: |
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Was hateigentlich das r bei zu bedeuten? Und wie berechnet man es? |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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| schnudl Verfasst am: 22. Nov 2008 13:12 Titel: |
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| dannyd hat Folgendes geschrieben: | Ist dann bei der ersten die Polarform:
Kann man das noch vereinfachen? |
nein, das stimmt nicht (siehe unten); aber was ist denn
??
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe)
Zuletzt bearbeitet von schnudl am 22. Nov 2008 13:31, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 22. Nov 2008 13:17 Titel: |
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| dannyd hat Folgendes geschrieben: | | Was hateigentlich das r bei zu bedeuten? Und wie berechnet man es? |
es ist der Absolutbetrag der komplexen Zahl,
welche man als
schreiben kann, somit definiert als
Insofern hast du bei der ersten Aufgabe auf r vergessen!!!
_________________
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 22. Nov 2008 13:19 Titel: |
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| dannyd hat Folgendes geschrieben: | Und bei der zweiten?
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wieder das r vergessen.
Und was ist denn
)
??
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 22. Nov 2008 13:25 Titel: |
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| dannyd hat Folgendes geschrieben: | Was die Taylorreihe mir bei der dritten helfen soll weiß ich allerdings nicht. Aber ich versteh die Taylorreihe sowieso nicht so ganz.
Kann mir da jemand etwas Nachhilfe geben? |
Taylorreihe brauchst du da nicht unbedingt:
Was bekommst du, wenn du die Differenz beider Ausdrücke bildest?
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dannyd
Anmeldungsdatum: 21.11.2008
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| dannyd Verfasst am: 22. Nov 2008 13:47 Titel: |
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^{\frac{1}{4}} = \sqrt{1+3}*e^{0,25*i*arctan(\sqrt{3}/1)} = 2*cos(0,25*arctan(\sqrt{3}) + 2*i*sin(0,25*arctan(\sqrt{3}) )
Ist  ) dann 1,08?
 = ln(\sqrt{1+1}*e^{i*arctan(1)}) = ln(\sqrt{2}*e^{i*arctan(1)}) = ln(\sqrt{2}) + i*arctan(1) )
Ist hier arctan (1) dann 0,79?
Und  = 0,35) ? |
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dannyd
Anmeldungsdatum: 21.11.2008
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| dannyd Verfasst am: 22. Nov 2008 13:55 Titel: |
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Die Differenz ist dann:
 = e^{-1}-e )
Also:
 = \frac {e^{-1}-e}{2i} )
Und dann? Irgendwie seh ich da nicht wies weitergeht  |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 22. Nov 2008 16:18 Titel: |
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| dannyd hat Folgendes geschrieben: | |
Du schreibst:
^{1/4} = r e^{(1/4) \cdot i \varphi})
Hast du da nichts vergessen??
| dannyd hat Folgendes geschrieben: |
Ist dann 1,08?
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Was ist denn
??
Und was ist
??
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 22. Nov 2008 16:20 Titel: |
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| dannyd hat Folgendes geschrieben: | Die Differenz ist dann:
Also:
Und dann? Irgendwie seh ich da nicht wies weitergeht |
Kannst du das nun in die Form
bringen? Wo ist das Problem? Bedenke dass 1/i = -i ist !
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mitschelll
Anmeldungsdatum: 06.12.2007
Beiträge: 362
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| mitschelll Verfasst am: 22. Nov 2008 16:38 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: | | dannyd hat Folgendes geschrieben: | Was die Taylorreihe mir bei der dritten helfen soll weiß ich allerdings nicht. Aber ich versteh die Taylorreihe sowieso nicht so ganz.
Kann mir da jemand etwas Nachhilfe geben? |
Taylorreihe brauchst du da nicht unbedingt:
Was bekommst du, wenn du die Differenz beider Ausdrücke bildest? |
Das ist natürlich noch eleganter!
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dannyd
Anmeldungsdatum: 21.11.2008
Beiträge: 49
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| dannyd Verfasst am: 22. Nov 2008 16:41 Titel: |
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Also ist:
 = 0 + 1,18*i )
Und bei dem arctan, da hab ich leider keine Ahnung. Muss ich das nicht einfach in den Taschenrechner als Umkehrfunktion von tan eingeben? Dann hab ich nämlich arctan(wurzel 3) = 1,05
Ich hab außerdem ein weiteres Problem:
Ich soll die folgende Summe berechnen.
^{n} * cos(n\varphi) = \sum_{n=0}^{\infty} (0,5)^{n} * \frac{e^{inφ}+e^{-inφ}}{2} )
Ich weiß allerdings nicht, wie man Summen mit Summenzeichen berechnen soll. Das sind ja unendlich Summanden. Ich weiß nur, dass ich irgendwie den limes herausfinden muss. |
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mitschelll
Anmeldungsdatum: 06.12.2007
Beiträge: 362
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| mitschelll Verfasst am: 22. Nov 2008 17:02 Titel: |
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Man kann arctan(wurzel 3) als ein Vielfaches von pi schreiben. Schau Dir mal an was ) und was ergibt. Dann wird die Lösung noch schöner!
Zur zweiten Aufgabe: Du meinst bestimmt
| dannyd hat Folgendes geschrieben: |
Ich hab außerdem ein weiteres Problem:
Ich soll die folgende Summe berechnen.
^{n} * cos(n\varphi) = \sum_{n=0}^{\infty} (0,5)^{n} * \frac{e^{in\varphi}+e^{-in\varphi}}{2} )
Ich weiß allerdings nicht, wie man Summen mit Summenzeichen berechnen soll. Das sind ja unendlich Summanden. Ich weiß nur, dass ich irgendwie den limes herausfinden muss. |
Kennst Du bereits irgendwelche Reihen, deren Lösung man kennt? Eigentlich gibt es nur eine Reihe, die jeder Physiker kennen MUSS!
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dannyd
Anmeldungsdatum: 21.11.2008
Beiträge: 49
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| dannyd Verfasst am: 22. Nov 2008 17:14 Titel: |
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Natürlich meine ich das... Irgendwie habe ich den code falsch eingegeben.
Ich habe schon von der Taylorreihe gehört. Weiß allerding nicht, was das genau ist und wie ich das anwende.
Tut mir leid, dass ich sie nicht kenne, Studiums |
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dannyd
Anmeldungsdatum: 21.11.2008
Beiträge: 49
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| dannyd Verfasst am: 22. Nov 2008 17:19 Titel: |
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Also kann man arctan(wurzel 3) einfach ersetzen durch pi/3...
Dann hab ich das schon mal verstanden. Ich danke euch schon mal dafür, würde mich aber natürlich freuen, wenn ihr mir weiterhelft |
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mitschelll
Anmeldungsdatum: 06.12.2007
Beiträge: 362
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| mitschelll Verfasst am: 22. Nov 2008 17:20 Titel: |
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Das hat erstmal nichts mit einer Taylorreihe zu tun.
Üblicherweise lernt man, wenn man was von Reihen hört, eine bestimmte Reihe zuerst kennen. Hast Du schon mal was von der Geometrischen Reihe gehört?
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dannyd
Anmeldungsdatum: 21.11.2008
Beiträge: 49
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| dannyd Verfasst am: 22. Nov 2008 17:29 Titel: |
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Achso... 
Also
Aber ich würde dann 0,5^n als q definieren und was mache ich dann mit dem rest? |
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mitschelll
Anmeldungsdatum: 06.12.2007
Beiträge: 362
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| mitschelll Verfasst am: 22. Nov 2008 18:00 Titel: |
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Na ja, was ist denn  ?
Du musst das ja nur in die Form  bringen.
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dannyd
Anmeldungsdatum: 21.11.2008
Beiträge: 49
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| dannyd Verfasst am: 22. Nov 2008 18:08 Titel: |
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ja 
Aber wenn ich das hier mache, dann ist a=exp(in) und dann steht da wieder des gleiche. |
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mitschelll
Anmeldungsdatum: 06.12.2007
Beiträge: 362
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| mitschelll Verfasst am: 22. Nov 2008 19:18 Titel: |
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Oh sorry, das habe ich vielleicht ungenau ausgedrückt. Ich meinte, dass man schreiben kann
^n)
Das musst Du jetzt in Deiner Formel richtig anwenden.
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dannyd
Anmeldungsdatum: 21.11.2008
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| dannyd Verfasst am: 22. Nov 2008 19:30 Titel: |
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Gilt dann:
Dann noch Hauptnenner bilden usw. stimmt das dann so? |
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mitschelll
Anmeldungsdatum: 06.12.2007
Beiträge: 362
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| mitschelll Verfasst am: 22. Nov 2008 19:33 Titel: |
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Die Summe kannst Du auseinanderziehen. Das stimmt.
Aber die ^n) steht als Produkt vor den beiden e-Funktionen. Das heißt, die kannst Du nicht einzeln auswerten, sondern musst die in der jeweiligen Summe mitnehmen:
^n\cdot e^{in\varphi} = (0,5\cdot e^{i\varphi})^n)
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dannyd
Anmeldungsdatum: 21.11.2008
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| dannyd Verfasst am: 22. Nov 2008 19:50 Titel: |
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Also:
Kann man da dann noch was vereinfachen? |
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mitschelll
Anmeldungsdatum: 06.12.2007
Beiträge: 362
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| mitschelll Verfasst am: 23. Nov 2008 13:30 Titel: |
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Es ist soweit richtig. Du könntest es noch auf einen Bruchstrich bringen und schauen, ob Du Ausdrücke der Form
vereinfachen kannst.
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dannyd
Anmeldungsdatum: 21.11.2008
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| dannyd Verfasst am: 23. Nov 2008 13:39 Titel: |
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Hm ne also dann siehts irgendwie noch viel komplizierter aus. Egal. Ich würde sagen ich lass es so.
Dann herzlichen Dank für die Hilfe  |
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