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Felipe
Anmeldungsdatum: 28.03.2007
Beiträge: 36
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 Felipe Verfasst am: 06. Nov 2008 19:25 Titel: Rakete mit variabler Masse m(t) |
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Hallo miteinander!
Ich weiß, dieses Thema wurde schon häufiger in den Foren durchgenommen, allerdings komm ich trotz durchforsten nicht weiter 
Also folgende Ausgangssituation ist gegeben:
Eine Einstufenrakete wird senkrecht zur Erdoberfläche entlang x abgefeuert.
m_0 bezeichne die Masse der Rakete beim Zünden des Triebwerks.
Der Massenverlust durch Verbrennung des Treibstoffs sei
konstant: dm\dt = – const < 0.
v(t) bezeichne die Geschwindigkeit der Rakete relativ zur Erde; die
Austrittsgeschwindigkeit v_e > 0 des Verbrennungsgases relativ zur Rakete sei konstant.
Eine Skizze hab ich (so wie es sich ja auch gehört  ) , mit den Kräften angelegt. jetzt tu ich mich aber etwas schwer. Wir sollen zunächst (in Mathematica) die Bewegungsgleichung algebraisch für ein endliches Zeitinkrement dt aufstellen (bzw programmieren) und zeigen, dass für dt -> Null daraus die bekannte Bewegungsgleichung
folgt.
Leider weiß ich nicht, wie ich anfangen soll. Muss ich da auch noch mit den Inpulsgesetzen was machen? 
danke schonmal! |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 06. Nov 2008 20:58 Titel: |
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Wenn du mit m die Raketenmasse zu einem bestimmten Zeitpunkt betrachtest, also m(t) meinst, dann bin ich mit deiner Differenzialgleichung nicht einverstanden...
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 07. Nov 2008 07:19 Titel: |
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Alles zurück - ich habe bei der Herleitung der DG einen kleinen Denkfehler bez. des ausströmenden Gases gemacht...
Die DG ist korrekt so wie sie da steht.
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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Herbststurm
Anmeldungsdatum: 05.09.2008
Beiträge: 412
Wohnort: Freiburg i. Brsg.
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| Herbststurm Verfasst am: 07. Nov 2008 09:32 Titel: |
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Wieso denn konkret in einem cas?
Was die Theorie angeht kann wenn du Zeit und Lust hast ja mal das hier durchlesen.
Rocket dynamics tutorial
Gruß |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 07. Nov 2008 13:37 Titel: Re: Rakete mit variabler Masse m(t) |
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| Felipe hat Folgendes geschrieben: |
Leider weiß ich nicht, wie ich anfangen soll. Muss ich da auch noch mit den Inpulsgesetzen was machen?
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Ja 
Magst du mal zeigen, wie weit du beim Selber-Aufstellen der Bewegungsgleichung kommst, wenn du für die Rakete und das Gas, das sie nach unten ausstößt, die Angaben aus der Aufgabenstellung und die Impulserhaltung verwendest? |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 07. Nov 2008 18:47 Titel: |
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Zur Kontrolle deiner Simulation empfiehlt es sich weiters, diese mit der analytischen Lösung zu vergleichen, welche aus einer (einfachen) Integration folgt.
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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Felipe
Anmeldungsdatum: 28.03.2007
Beiträge: 36
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| Felipe Verfasst am: 10. Nov 2008 20:28 Titel: |
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sorry, dass ich erst jetzt wieder antworte, aber mein rechner hat sich übers wochenende verabschiedet
aber ich war in der zeit natürlich nicht ganz untätig
Nach dem 2. Newtonschen Gesetz gilt ja
Nu muss ich doch am besten mit dem Impulserhaltungssatz dp bestimmen. Dabei hab ich mir folgendes gedacht:
(v + dv) )
Zum Zeitpunkt t beträgt der Gesamtimpuls ja dann p1 und zum Zeitpunkt t + dt dann den Gesamtimpuls p2. u ist die Geschwindigkeit der Gasteilchen relativ zur erde). dm < 0
Nu bin ich mir aber nicht ganz sicher, ob das m nun m_0 oder m(t) ist. ich würd ja eher zum zweiten tippen, sodass dann folgende abhängikeit herauskommt:
 \cdot v(t) + u(t)~dm )
 + dm)(v(t + dt) + dv) )
ich muss das mit den abhängigkeiten genau wissen, damit ich das besser in Mathematica übersetzen kann.
Daraus folgt schließlich wegen Newton (s.o.)
 + dm)(v(t + dt) + dv)] - [m(t) \cdot v(t) + u(t)~dm] )
bzw
 + dm)(v(t + dt) + dv)] - [m(t) \cdot v(t) + u(t)~dm] }{dt})
 + dm)(v(t + dt) + dv)]}{dt} - \frac{[m(t) \cdot v(t) + u(t)~dm] }{dt})
 v(t + dt)}{dt} + \frac{m(t + dt) dv}{dt} + \frac{v(t + dt) dm}{dt} + \frac{dm dv}{dt} - \frac{m(t) v(t)}{dt} - \frac{u(t) dm}{dt})
 v(t + dt)}{dt} + \frac{m(t + dt) dv}{dt} + (v(t + dt) - u(t))\frac{dm}{dt} + \frac{dm dv}{dt} - \frac{m(t) v(t)}{dt})
wenn das bisher soweit richtig ist, dann hab ich mir gedacht, dass ja eigentlich
 - u(t)) \frac{dm}{dt} )
die relative Geschwindigkeit des Gases zur Raktete ist, wie sie in der Aufgabenstellung erwähnt wurde.
Wenn ich jetzt  laufen lasse kommt doch für jeden Term unendlich raus oder nicht? und was muss ich mit dem vorletzten Term
machen? So wie ich es vermute, wird dieser Term 0 für und der erste und letzte Term heben sich auf. aber ich verstehei nicht genau warum . F müsste dann ja auch -F_g also die Gewichtskraft sein.
@schnudl: Wie muss ich denn da beim Integrieren vorgehen?
und warum ist denn in der Bewegungsgleichung die komplette rechte seite negativ? müsste nicht zumindest der term mit v_e positiv sein? oder ist das implizit positiv, weil dm/dt < 0 gilt?
Falls natürlich jemand weiß, wie man das in Mathematica schreiben muss, um die Bewegungsgleichung zu berechnen wäre ich natürlich sehr dankbar |
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Studd78
Anmeldungsdatum: 10.11.2008
Beiträge: 80
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| Studd78 Verfasst am: 11. Nov 2008 09:43 Titel: |
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ich glaube die formel ist eher richtig
(v + dv) )
...frag da am besten deinen berater hier. |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 11. Nov 2008 13:36 Titel: |
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| Felipe hat Folgendes geschrieben: |
Zum Zeitpunkt t beträgt der Gesamtimpuls ja dann p1 und zum Zeitpunkt t + dt dann den Gesamtimpuls p2. |
Hm, das verstehe ich noch nicht so recht. Bedeutet Impulserhaltung nicht vielmehr, dass der Gesamtimpuls des betrachteten Systems vorher und nachher gleich sein muss?
Magst du mal in Worten sagen, wie du den Impulserhaltungssatz für die Rakete, die nach vorne beschleunigt wird, und den Treibstoff, der nach hinten ausgestoßen wird, formulierst, um deine ersten Gleichungen für einen Ansatz aufzustellen? |
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Felipe
Anmeldungsdatum: 28.03.2007
Beiträge: 36
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| Felipe Verfasst am: 11. Nov 2008 14:21 Titel: |
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@Studd78
Ja das hatte ich auch erst in der Form. Im Prinzip steht steht da ja genau das, was du geschrieben hast, weil ich dm < 0 vorraussetze und das + indirekt zu einem - wird
@dermarkus
ich hab das wohl nen bissl doof formuliert. Ich hab in einem Buch ein ähnliches Beispiel gefunden, mit dem Unterschied, dass keine masse abgegeben wird, sondern dazu kommt. Im Prinzip ist die Rechnung ja dann trotzdem gleich, wenn man dm < 0 betrachtet und nicht dm > 0 oder nicht?
Kein plan. Ich sitze schon zu lange davor.. Kann gar nicht mehr richtig denken |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 19. Nov 2008 21:47 Titel: |
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Ich finde, wenn du versuchst, die Aufgabe am Anfang mit klarem Kopf anzugehen und erstmal in Worten zu formulieren, was der Impulserhaltungssatz hier sagt, dann sparst du dir sehr viel kompliziertes Rechnen.
Sondern kannst daraus ziemlich schnell folgern, welche Kräfte auf die Rakete wirken und damit die Differentialgleichung für die Bewegung der Rakete aufstellen.
Magst du dieses Formulieren in Worten mal versuchen? |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 19. Nov 2008 22:07 Titel: |
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Zur Lösung der DG (egal wie man darauf kommt):
| Felipe hat Folgendes geschrieben: | | @schnudl: Wie muss ich denn da beim Integrieren vorgehen? |
wenn du durch m teilst bekommst du
und
Die einzelnen Integrale sollten dir (auch ohne Mathematica) kein ernsthaftes Problem bereiten.
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