Federschwinger an Widerlager endlicher Masse

svenr · Anmeldungsdatum: 25.03.2008 Beiträge: 7

Moin zusammen,

zwei Massekoerper m1 und m2 sind auf einer horizontalen reibungsfreien Ebene angeordnet und mittels einer Feder der Nachgiebigkeit C (Federsteife D = 1/C) miteinander verbunden. Durch Auslenkung beider Massekoerper wird die Feder vorgespannt. Nach dem Freigeben stellt sich eine harmonische Schwingung ein (oder?)

Strebt m2 gegen unendlich, reduziert sich das Problem zum einzelnen Federschwinger m1 mit Resonanzfrequenz w1. Mein Problem - aendert sich w1 wenn m2 endlich wird?

erkü · Anmeldungsdatum: 23.03.2008 Beiträge: 1414

Hi svenr and Willkommen

,

sicherlich gibt es eine andere Eigenfrequenz, wenn die Masse m_2 endlich ist.
Und nicht nur das. Es treten zwei Eigenfrequenzen auf. Weiterhin treten auch Schwebungen auf, wenn die beiden Eigenfrequenzen dicht beieinander liegen.

Gruß erkü

svenr · Anmeldungsdatum: 25.03.2008 Beiträge: 7

Moin,

ich verstehe dass so - strebt die masse m2 gegen unendlich, strebt die Eigenfrequenz w2 gegen 0. Strebt m2 aber gegen 0, so strebt w1 auch gegen 0?

Hintergrund der Frage - es geht hier um die Bestimmung der schwingenden Membranmasse und der Federsteife der Membranaufhaengung eines dynamischen Schallwandlers. Die Masse m1 und die Federsteife sind im Experiment unbekannt. Bekannt ist nur die Gesamtmasse m1+m2. Der Versuch sieht vor, mittels Anbringen einer bekannten Zusatzmasse mz zu m1 und der mechanischen Ermittlung der resultierenden Eigenfrequenzen (w1 und w{1+z}) die Masse m1 und die Federsteife zu berechnen. Die genaue Ermittlung der Resonanzfrequenz erfolgt dabei ueber die elektrische Impedanz des Wandlers (Konstantstromspeisung der Schwingspule, Analogbetrachtung der Schwingspulenimpedanz ueber Spannungsmessung).

Der rechnerische Ansatz entspricht dem eines einfachen Federschwingers:

w1 = wurzel( 1 / (m1 * C) ) dabei ist C die Nachgiebigkeit, also das Reziprok der Federsteife D

Dieser Ansatz setzt aber voraus, dass m1 + m2 gleich unendlich. Die alles entscheidende Frage: Wie aendert sich die Eigenfrequenz w1 wenn m1+m2 nicht unendlich ist? Wer kann mir helfen, die Aenderung der Eigenfrequenz w1 zu ermitteln? Ich scheitere leider an der Aufstellung der Bewegungsgleichung fuer das System.

Gruesse Sven

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ich denke nicht, dass es hier zu Schwebungen kommt: Ein solches Zweikörperproblem löst man i. A. damit, dass man sich in den Schwerpunkt der beiden Massen setzt. Der muss ja ortsfest sein, oder sich gleichförmig bewegen, so dass eine entsprechende Transformation unproblematisch ist. Man erhält dann einen festen Zusammenhang zwischen den beiden Orte der beiden Massen und zwar genau so, dass der Schwerpunkt im Koordinatenursprung bleibt, also:

Die Kraft zwischen den beiden Massen hängt vom Abstand ab. Hier ist noch eine Frage, ob man eine Ruhelänge der Feder mit rein bringen soll. Eigentlich kann man die auch auf 0 lassen. Dann schwingen die beiden Massen umeinander herum, obwohl in Realität die eine immer links von der anderen sein wird. Aber auch das kann man danach wieder einfach richten, bzw. es ändert sich nichts dramatisches an der Lösung, wenn man mit Ruhelänge l=0 rechnet.

Du hast hier jetzt schon ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, eine wie oben und eine über die Kraft zwischen beiden Massen. Das kann man zu einer einfachen DGL vereinen und lösen. Man müsste da eigentlich auf eine normale harmonische-Schwinger-DGL kommen, also auch ohne Schwebungen und so.

Normalerweise geht man bei einem Zweikörperproblem noch weiter und führt eine Ersatzmasse ein, wenn man z. B. Doppelsterne und so lösen will. Das könnte man auch hier tun und hätte dann wirklich die ganz normale DGL für den harm. Schwinger nur eben mit einer etwas anderen Masse und der x-Koordinate entsprechend dem Abstand zwischen den beiden Massen.

Gruß
Marco

erkü · Anmeldungsdatum: 23.03.2008 Beiträge: 1414

Hallo svenr,

Deinem letzten Beitrag entnehme ich, daß das Fachgebiet die Akustik ist.

Kennst Du Dich mit den elektromechanischen Analogien aus?

Mein Tip: Mach Dir die elektrische Ersatzschaltung! (Stichwort Tonpilz)

Gruß erkü

svenr · Anmeldungsdatum: 25.03.2008 Beiträge: 7

Hi,

jetzt wollte ich grad ne Nachricht mit meinem grandiosen Scheitern verfassen, da ist mir der Fehler noch aufgefallen. Im kleinen Bild mein Loesungsversuch, koenntet ihr das bitte mal durchschauen, ob das schluessig erscheint. Besonders das Vorzeichen der Beschleunigungskraft fur m2 geht mir nicht so recht in den Sinn.

Aber - m2 gegen unendlich reduziert die Loesung zu der fuer den einfachen Federschwinger. Das war erwartet worden. Sind die Massen m1 und m2 gleich, erhoeht sich die Eigenfrequenz w1 um wurzel(2).

Im Anhang noch ein Bild, welches den Versuchsaufbau ein wenig naeher beschreibt. An der Sache ist noch ein Pendel beteiligt, welches einen Einfluss auf die Eigenfrequenz w1 haben koennte. Wie saehe ein Loesungsansatz fuer dieses System aus? Zugegeben - die Eigenfrequenz des Pendels wird, bedingt durch die hohe Masse und die grosse Laenge, sehr niedrig liegen. Ausserdem ist die Ermittlung der schwingenden Masse am Pendel ein Problem. Bewegt sich die Membran, schwingt stets einseitig ein gewisses Luftvolumen mit (einseitig, da akustischer Kurzschluss mangels Schallwand oder Gehaeuse). Inwieweit muss diese Zusatzmasse fuer das Pendel beruecksichtigt werden? Ich denke, sie gehoert in das System hinein, da sie fester Bestandteil von m1 ist.

Also - Ideen, wie das Pendel auf den Doppelschwinger wirken koennte?

erkü · Anmeldungsdatum: 23.03.2008 Beiträge: 1414

Hi Sven,

wenn ich Dich richtig verstanden habe, willst Du also über elektrische Impedanzmessungen die Masse der Membran und die Nachgiebigkeit (Federung) des Lautsprechers ermitteln.

Zunächst zur mechanischen Seite:
Wenn Du die Ortskoordinate auf die Masse des Lautsprechers beziehst, brauchst Du diese Masse bzw. deren Bewegung gegenüber einem Inertialsystem nicht zu berücksichtigen. D.h., der Lautsprecher bzw. der Korb stellt das Bezugssystem dar, auf das die Bewegungen (Schwingungen) der Membran bezogen werden. Für dieses Bezugssystem ist es völlig egal, wie der Lautsprecher aufgehängt bzw. befestigt ist.

Nun zur elektrischen Seite:
Die mechanischen Bewegungen (Schwingungen) der Membran wirken über das Induktionsgesetz zurück auf den elektrischen Kreis. In der Lautsprecherspule wird durch die Bewegung der Membran eine Spannung induziert. Ohne Aufstellung eines elektrischen Ersatzschaltbildes für die mechanischen und elektrischen Größen kommt man hier m.E. nicht weiter.

Im Übrigen kann die reale Ortskurve der Impedanz eines Lautsprechers sehr kompliziert werden, wenn außer der Systemresonanz noch weitere Resonanzen im System auftreten (z.B. Membran schwingt nicht mehr konphas).

Mein Vorschlag zur angenäherten Ermittlung der Membranmasse und der Nachgiebigkeit wäre der Weg über die Resonanzfrequenzen bei unbelaster und mit Zusatzmasse belasteter Membran (bei mechanischer Systemresonanz Spannungsmaximum).

Gruß erkü

svenr · Anmeldungsdatum: 25.03.2008 Beiträge: 7

Hi Erkue,

genau um diese Messung geht es hier. Der Treiber wird mittels Konstantstromquelle zur Membranschwingung angeregt. Die Impedanz wird als Spannungsabfall ueber der Schwingspule ermittelt - Maximum stellt Resonanzfrequenz dar.

Die mechanische Seite - du hast natuerlich recht, der Bezugspunkt fuer die Membranschwingung ist der Treiber, und nicht der Schwerpunkt der Massen im Ruhezustand. Bedeutet dies, dass sich die beobachtete Eigenfrequenz w1 von einem ortsunveraenderlichen Beobachtungspunkt aus aendert (in Abhaengigkeit der Masse m2), w1 aber bezogen auf m2 unveraendert bleibt?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ich habe mir jetzt nicht alles im Detail angeschaut, aber meine, dass das alles so richtig ist. Normalerweise macht man bei einem Zweikörperproblem, bei dem die Kraft ja eigentlich immer nur von der Entfernung der beiden Körper abhängt, immer die Transformation, dass man eine Ersatzmasse einführt:

und den Abstand als x nimmt. Dann kann man nämlich relativ leicht zeigen, dass es damit genau auf ein Einkörper Problem zurückführbar ist, der sich im entsprechenden Potential bewegt (hier das harmonische, sonst auch oft das Keppler- oder Coulomb-Potential). Man kommt also genau auf die von Dir ausgerechnete Frequenz, indem man die Masse in der normalen Formel für w einfach durch diese Ersatzmasse ersetzt.
In den Grenzfällen, bei denen eine Masse sehr groß wird gegenüber der anderen, bleibt dann nur noch die jeweils kleinere Masse übrig und im Fall, dass die beiden gleich groß sind, hat man das selbe Ergebnis, wie wenn man die halbe Masse in einem entsprechenden feststehenden Potential hätte.

Gruß
Marco

erkü · Anmeldungsdatum: 23.03.2008 Beiträge: 1414

svenr · Anmeldungsdatum: 25.03.2008 Beiträge: 7

Hi Marco,

trotzdem verbleibe ich im Unklaren, ob die ebdliche Masse m2 einen Einfluss auf die Bestimmung von w1 nach dem obigen Beispiel hat? Ziel der Uebung ist es ja, die Eigenfrequenz w1 fuer den Zustand zu ermitteln, in dem die Masse m2 kraftschluessig mit einer Masse mg>>m2 verbunden wird (Gehaeuse). Ist es so wie Erkue sagt, dass die Aufhaengung des Chassis (oder das Verbinden mit mg) keinen Einfluss auf die Eigenfrequenz w1 hat (mit dem Chassis als Bezugssystem)?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788