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Romeo
Anmeldungsdatum: 27.02.2008
Beiträge: 148
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 Romeo Verfasst am: 27. Feb 2008 11:35 Titel: Problem mit komplexer Wellengleichung |
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Hi zusammen,
ich hab ein kleines Problem mit ebener harmonischer Wellen... diese Schallwelle soll sich im Wasser mit einer Geschwindigkeit von v=1440 km/s ausbreiten. Es soll eine Schwingung der Note C sein (was auch immer das heißen mag) und hat eine Frequenz von f=262 Hz.
Die Gleichung ist gegeben:
 http://img339.imageshack.us/img339/9566/gleichunglp0.jpg
Zum Zeitpunkt t_0=0 s soll am Ort x_0=2 cm eine maximale Auslenkung sein.
Ich versteh nicht mit den komplexen Gleichungen umzugehen, hatten einen kurzen Crashkurs, aber anscheinend hilft der mir nicht weiter.
Gefragt ist u.a. nach der Wellenlänge und der Phasenverschiebung, aber mir ist der Umgang mit der Gleichung gerade wichtiger!
Meine Frage ist nun, wie löse ich das Problem mit der Gleichung von oben und kann ich das Problem auch "nicht-komplex" lösen?
Für jede Hilfe dankbar... |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
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| para Verfasst am: 27. Feb 2008 11:51 Titel: |
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Hilft es dir vielleicht schon, wenn du die komplexe e-Funktion einmal mit trigonometrischen Funktionen hinschreibst? (Die Eulersche Identität ist in dem Crashkurs ja sehr wahrscheinlich vorgekommen.) – Sieht das dann schon bekannter und "mehr nach Wellengleichung" aus?
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Romeo
Anmeldungsdatum: 27.02.2008
Beiträge: 148
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| Romeo Verfasst am: 27. Feb 2008 12:09 Titel: |
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Ja genau - so sah mein erster Verusch aus an die Sache heranzugehen, aber irgendwie hilft mir das vom Verständnis nicht weiter.
Betrachte ich aus komplexer Sicht nur diesen Einheitskreis im Koordinatensystem "Im" über "Re"? Was mach' ich mit dem Imaginärteil, soll ich den einfach vernachlässigen? Muss ich als Wellenlänge in komplexer Sicht nur den Umfang des Kreises in Abhängigkeit von Radius r errechnen?
Mein Realteil ist die maximale Auslenkung  .
Hatte es mir so aufgeschrieben:
 + i \cdot \sin(\varphi))
...mit
+\alpha)))
Ist das korrekt?
Zuletzt bearbeitet von Romeo am 27. Feb 2008 23:31, insgesamt einmal bearbeitet |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
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| para Verfasst am: 27. Feb 2008 14:50 Titel: |
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| Romeo hat Folgendes geschrieben: |
...mit
Ist das korrekt? |
Ja, richtig.
| Romeo hat Folgendes geschrieben: | | Was mach' ich mit dem Imaginärteil, soll ich den einfach vernachlässigen? Muss ich als Wellenlänge in komplexer Sicht nur den Umfang des Kreises in Abhängigkeit von Radius r errechnen? |
Für die Aufgabe ist es sicherlich sinnvoll sich erst einmal nicht zu sehr darauf zu fixieren, dass das Phi hier komplex ist.
Was ist denn die Wellenlänge? – Gesucht ist dabei doch doch der (kleinste) Abstand s zwischen zwei Punkten die zu gleichen Zeiten stets den selben Schwingungszustand haben.
Wenn du dir die Periodizität der gegebenen Funktion (im Raum) anschaust, wie groß sind die Abstände in x, bis sich die Funktion jeweils immer "wiederholt"?
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Romeo
Anmeldungsdatum: 27.02.2008
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| Romeo Verfasst am: 27. Feb 2008 15:32 Titel: |
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Ok, lassen wir das komplexe erst einmal weg.
Kann man es so ansehen, da ich weiß das die maximale Auslenkung (Amplitude) bei x=0,02 m ist und dies ein viertel sein muss, weil es eine harmonische Schwingung ist? Also ist eine Periode T=0,08 m und damit ja auch die Wellenlänge?
Aber das kommt doch mit der Frequenz von f=262 Hz und der Ausbreitungsgeschwindigkeit von v=c=1440 m/s nicht hin oder seh ich das falsch?
Weil:
http://upload.wikimedia.org/math/4/9/c/49c9fb6cd10c1275cc9e4ab5136c4e8f.png
...damit komm ich auf 5,496 m. |
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para
Moderator
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| para Verfasst am: 27. Feb 2008 15:55 Titel: |
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| Romeo hat Folgendes geschrieben: | | Kann man es so ansehen, da ich weiß das die maximale Auslenkung (Amplitude) bei x=0,02 m ist und dies ein viertel sein muss, weil es eine harmonische Schwingung ist? Also ist eine Periode T=0,08 m und damit ja auch die Wellenlänge? |
Wie du schon erkannt hast offenbar nicht. ;-) – Das Problem ist, dass du ja nicht davon ausgehen kannst, dass die Auslenkung bei x=0 gerade 0 ist. Es kann ja noch eine Phasenverschiebung geben, die du noch nicht kennst.
Die Formel sieht schon nicht schlecht aus. Kannst du die auch selbst aus der Wellengleichung, so wie sie hier angegeben ist, ableiten?
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para
Moderator
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| para Verfasst am: 27. Feb 2008 15:56 Titel: |
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Übrigens: Formeln kannst du hier im Forum auch direkt mit LaTeX schreiben. Das macht manches leichter und übersichtlicher. :-)
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Romeo
Anmeldungsdatum: 27.02.2008
Beiträge: 148
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| Romeo Verfasst am: 27. Feb 2008 16:09 Titel: |
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Danke für die Info hatte mich bisher nie mit Latex auseinandergesetzt.
Gutes Argument, hatte nicht bedacht, dass es evtl. auch nicht bei  startet.
Bestimmt könnte ich es ableiten, wenn es keine komplexe Wellengleichung wäre, ich schaff es einfach noch nicht damit umzugehen. Ich kenn die Zusammenhänge bei Wellengleichungen auch noch nicht wirklich. Vermute gerade, wenn man die Wellengleichung nach der Zeit ableitet, bekomm ich die Bahngeschwindigkeit?
Und wie bekomm ich die Phasenverschiebung, ich hab doch nur eine Welle oder? Doch zwei, aber wo kommt die Zweite her?
...sehr verwirrend für mich, muss da wohl noch einiges nacharbeiten! |
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para
Moderator
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| para Verfasst am: 27. Feb 2008 18:13 Titel: |
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| Romeo hat Folgendes geschrieben: | | Bestimmt könnte ich es ableiten, wenn es keine komplexe Wellengleichung wäre, ich schaff es einfach noch nicht damit umzugehen. Ich kenn die Zusammenhänge bei Wellengleichungen auch noch nicht wirklich. |
Schau' dir am besten mal die trigonometrische Form an, sowohl beim Real- als auch beim Imaginärteil steht das gleiche im Argument der trigonometrischen Funktion.
Jetzt haben Sinus und Cosinus ja die Eigenschaft sich alle 360° bzw. 2*Pi zu wiederholen. Wenn du bei dem Ausdruck in der trigonometrischen Funktion alles andere konstant lässt, welche Strecke Lambda musst du x dann ändern, damit sich im Argument gerade ein Unterschied von 2*Pi ergibt?
| Romeo hat Folgendes geschrieben: | | Und wie bekomm ich die Phasenverschiebung, ich hab doch nur eine Welle oder? Doch zwei, aber wo kommt die Zweite her? |
Man kann die Phasenverschiebung natürlich auch zwischen zwei Wellen bestimmen. Ich denke aber dass in diesem Fall die Bestimmung des Alpha in der Gleichung gemeint ist.
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Romeo
Anmeldungsdatum: 27.02.2008
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| Romeo Verfasst am: 27. Feb 2008 18:58 Titel: |
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Abgeleitet könnte das hier herauskommen:
+\alpha\right)-i\cdot \cos\left(\omega\left(t-\tfrac{x}{v}\right)+\alpha\right)\right])
Und für die Phasenverschiebung hätte ich eine Idee:
http://img339.imageshack.us/img339/9566/gleichunglp0.jpg
Ich weiß das sich die Maximale Amplitude am Punkt  und zur Zeit  befindet. Also muss der Exponet von der e-Funktion gleich Null werden. Ich hab dann einfach den Exponet betrachtet und Null gesetzt:
+\alpha\right))
+\alpha\right))
Nebenrechnungen:
Kann das Ergebnis für  hinkommen? Magst du vielleicht mal nachrechnen?
(BTW: Latex hat was  ) |
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para
Moderator
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| para Verfasst am: 27. Feb 2008 20:36 Titel: |
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| Romeo hat Folgendes geschrieben: | Abgeleitet könnte das hier herauskommen:
+\alpha\right)-i\cdot \cos\left(\omega\left(t-\frac{x}{v}\right)+\alpha\right)\right)) |
Den Ansatz kann ich irgendwie nicht so richtig nachvollziehen. Es sieht ja aus wie dPsi/dx, aber mit welchem Hintergrund? Und warum steht in einem Ausdruck für Lambda noch x und t drin? Könntest du nochmal etwas erläutern wie du auf diesen Ansatz gekommen bist?
| Romeo hat Folgendes geschrieben: | | Ich weiß das sich die Maximale Amplitude am Punkt und zur Zeit befindet. Also muss der Exponet von der e-Funktion gleich Null werden. |
Ja, das sieht schon einmal gut aus. Dort ist es also durchaus erforderlich, den Realteil von Psi als tatsächliche Auslenkung der Welle zu interpretieren. Ich komme für Alpha auf das gleiche. (Und die verwendete Ausbreitungsgeschwindigkeit scheint auch deutlich realistischer als die im ersten Post angegebene. ;-))
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Romeo
Anmeldungsdatum: 27.02.2008
Beiträge: 148
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| Romeo Verfasst am: 27. Feb 2008 20:58 Titel: |
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Also ich hatte es so verstanden, dass ich die Ausgangsfunktion:
+\alpha)+i\cdot \sin(\omega(t-\frac{x}{v})+\alpha)=\Psi_0\cdot e^{(\omega(t-\frac{x}{v})+\alpha)})
...einfach nach x abgeleitet - Kettenregel. Hab ich was falsch gemacht?
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Grüße Romeo |
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para
Moderator
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| para Verfasst am: 27. Feb 2008 21:02 Titel: |
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| Romeo hat Folgendes geschrieben: | |
Woher kommt das? Ich sehe da irgendwie nicht so richtig einen Ansatz dahinter. 
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Romeo
Anmeldungsdatum: 27.02.2008
Beiträge: 148
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| Romeo Verfasst am: 27. Feb 2008 21:10 Titel: |
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Ah ok, ich dachte, das hättest du damit gemeint.
Ich dachte bzw. ich hab es so verstanden, dass wenn ich die Wellengleichung ableite damit dann  erhalte. Kenn die Beziehung zwischen den Ableitungen nicht bei Wellengleichungen.
Wie zum Beispiel bei Strecke, Geschwindigkeit und Beschleunigung. Die sich durch ableiten nach der Zeit ergeben. Hatte angenommen eine solche Beziehung besteht bei den Wellen auch.
Wie wäre es denn richtig gewesen?!
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Grüße Romeo |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
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| para Verfasst am: 27. Feb 2008 22:35 Titel: |
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| Romeo hat Folgendes geschrieben: | | Wie wäre es denn richtig gewesen?! |
Schau' dir bitte nochmal an, was ich weiter oben schon versucht habe dazu anzudeuten. Die gegebene Funktion ist ja wegen der trigonometrischen Funktionen offenbar periodisch, d.h.:
Diese Periodizität kann man sich jetzt in zweierlei Hinsicht verdeutlichen:a) Man hält x konstant, beobachtet also die Welle immer am gleichen Punkt und untersucht inwiefern das ganze periodisch ist. Man stellt fest, dass nach einer Zeit T der Zustand immer wieder der gleiche ist, und sich die Schwingung wiederholt. Das ist die Periodendauer. – Woher kommt sie? Anscheinend ist (bei festem x) das Argument der trigonometrischen Funktionen in der Zeit T gerade um 2Pi gewachsen, also:
Das ist der bekannte Zusammenhang für die Periodendauer. b) Man hält die Zeit t konstant (betrachtet also quasi ein Standbild der Welle) und schaut sich an, wie sich der Schwingungszustand im Raum verändert. Auch da stellt man fest, dass in gewissen räumlichen Abständen immer der gleiche Schwingungszustand anzutreffen ist. Daraus resultiert die Wellenlänge. Kannst du dazu analoge Betrachtungen wie bei a) anstellen? Ist jetzt besser nachzuvollziehen wie man von der Wellengleichung auf den genannten Zusammenhang von v, f und Lambda kommt?
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Romeo
Anmeldungsdatum: 27.02.2008
Beiträge: 148
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| Romeo Verfasst am: 27. Feb 2008 23:30 Titel: |
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Ja danke, das ist auf jeden Fall nachvollziehbar, aber von alleine wäre ich da nicht so drauf gekommen.
Mir hat das ganze echt viel gebracht, mir ist einiges klarer geworden. Vielen Dank nochmal für die Mühe und die Zeit an Para. 
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Grüße Romeo |
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