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Gimel
Anmeldungsdatum: 06.11.2007
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 Gimel Verfasst am: 21. Nov 2007 18:29 Titel: Dauer eines Sprungs durch die Erde mittels Energieerhaltung |
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Hallo Physiker!
Ich habe ein Problem bei einer Aufgabe:
Wir nehmen an, die Erde sei eine homogene Kugel. Durch den Erdmittelpunkt wurde ein Loch gebohrt. In dieses springen wir nun rein.
Wie lange dauert es bis wir am anderen Ende wieder rauskommen ( Erdrotation soll vernachlässigt werden ) ?
Es soll die Energieerhaltung benutzt werden
Mein größtes Problem hier ist, dass ich die Energieerhaltung benutzen soll und einfach nicht weiß, was ich damit nun anfangen kann.
Klar:Oder auch in diesem Fall:Nur weiß ich echt nicht wie ich damit weiterkommen soll. Vor Allem auch deshalb, weil sich ja unser g ( zunächst ) mit jedem Schritt weiter runter verringern wird, was dann wohl auch noch auf eine DGL hinauslaufen wird  |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
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| para Verfasst am: 21. Nov 2007 18:43 Titel: |
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Hast du diese Aufgabe denn schon gelöst? Daraus kann man das Potential im inneren der Erde bestimmen. Das hier angegebene Potential gilt ja außerhalb der Erde – im inneren sieht es offenbar ein bisschen anders aus.
Ohne DGL wird da wahrscheinlich nicht viel laufen. – Aber es wird eine sehr bekannte rauskommen. ^^
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Gimel
Anmeldungsdatum: 06.11.2007
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| Gimel Verfasst am: 21. Nov 2007 18:56 Titel: |
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Ja, die hab ich schon gelöst.
Klappt auch wunderbar, denn im mittelpunkt ergibt sie 0 und genau an der erdoberfläche ~9.81 also sollte sie richtig sein 
Habe sie auch mal anstelle vom "g" in den obigen Gleichungen eingesetzt, aber irgendwie hat mich das nicht wirklich weitergebracht -.- |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
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| para Verfasst am: 21. Nov 2007 19:23 Titel: |
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Na ja, wie sieht denn dann das Potential im inneren der Erde aus? Die kinetische Energie desjenigen der in das Loch springt, kommt ja offenbar aus dem Potential. (Da die kinetische Energie zu Beginn Null ist, entfällt auf dieser Seite das Delta.)Was bekommst du für eine Gleichung, wenn du dort die jeweiligen Energien einsetzt?
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Zuletzt bearbeitet von para am 21. Nov 2007 20:33, insgesamt einmal bearbeitet |
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Gimel
Anmeldungsdatum: 06.11.2007
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| Gimel Verfasst am: 21. Nov 2007 19:38 Titel: |
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Aber die Formel für die kinetische Energie kann ja auch nicht mehr ganz gleich bleiben, da auch dort ein vom radius abhängiges g vorkommt.
Somit hätte ich:
^{2} \cdot t^{2}=m \cdot g(r))
Umgeformt:
 \cdot t^{2}=1)
Dummerweise habe ich jetzt die beiden variablen r und t über. Soll ich jetzt einfach über r integrieren ( dann von der oberfläche zum mittelpunkt ) ? |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 21. Nov 2007 19:58 Titel: |
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Es ist keine Bewegung mit konstanter Beschleunigung. |
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Gimel
Anmeldungsdatum: 06.11.2007
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| Gimel Verfasst am: 21. Nov 2007 20:02 Titel: |
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Deshalb meinte ich ja auch v=g(r)*t
Also g in Abhängigkeit vom Abstand zum Erdmittelpunkt... oder ist das auch falsch? |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
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| para Verfasst am: 21. Nov 2007 20:32 Titel: |
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| Gimel hat Folgendes geschrieben: | | Aber die Formel für die kinetische Energie kann ja auch nicht mehr ganz gleich bleiben, da auch dort ein vom radius abhängiges g vorkommt. |
In erster Linie kommen in der kinetischen Energie keine Fallbeschleunigung vor:Lass' die kinetische Energie erst einmal so wie sie ist. ;-)
Wenden wir uns der potentiellen Energie zu. Die kinetische Energie entspricht der Differenz der potentiellen Energien zu Beginn der Bewegung (im Abstand R des Erdradiuses von der Erde) und dem jetztigen Zeitpunkt der Bewegung im Abstand r.Die Frage ist jetzt, wie das Potential im inneren der Erde aussieht. Für außerhalb wäre es ja:Aber wie sieht es im inneren aus?
(Eigentlich könnte man, wenn man g(r) kennt auch direkt und schneller darüber gehen. Aber wenn in der Aufgabe explizit nach einem Energieansatz gefragt ist, muss man es eben so machen.)
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Gimel
Anmeldungsdatum: 06.11.2007
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| Gimel Verfasst am: 21. Nov 2007 21:16 Titel: |
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Nun, wikipedia sagt da ( http://de.wikipedia.org/wiki/Elektrisches_Potential#Beispiel:_Gravitationspotential_einer_homogenen_Kugel ) etwas, dass ich einfach so gut wie gar nicht nachvollziehen kann, also versuche ich es einfach mal auf gut Glück. Denn aus meinen Unterlagen kann man echt nicht wirklich schlau werden, - ich weiß erst jetzt dank dir, dass die kinetische Energie die Differenz der pot. Energie von A nach B ist
Also, Glück auf:
Ich dachte mir, dass wenn wir ja die Formel für die pot.Energie an der Oberfläche haben, wir ja auch einfach das gleiche "schalenweise" nach unten führen können. D.h. mit sinkendem "r" wird auch das "M" kleiner, wobei wir die äußeren ( nun hinter uns liegenden ) schichten vernachlässigen können.
So komme ich auf:
EDIT:
Neue Idee:
Und hier könnte ich dann statt g das g(r) benutzen. Oder ist diese herleitung auch falsch bzw. nur für außerhalb der kugel gültig bzw. nicht mehr der verlangte lösungsweg?
Irgen'wie hab ich da kein so gutes gefühl, weil's einfach zu sehr an m*g*h erinnert -.- |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 21. Nov 2007 21:48 Titel: |
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| Zitat: | ...
So komme ich auf:
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Da ist ein kleiner Fehler drin. Denn
 = \gamma \rho \frac{4 \pi }{3} \, r )
Daher ist die potenzielle Energie, bezogen auf den Mittelpunkt
/m = \int_0^r \gamma \rho \frac{4 \pi }{3} \, r' \, \dd r' = \gamma \rho \frac{4 \pi }{6} r^2)
Mit dem Minus würde ich auch vorsichtig sein, da die Potenzielle Energie mit zunehmendem Radis nur grösser werden kann. Ich weiss nicht, woher du das hast.
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para
Moderator
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| para Verfasst am: 21. Nov 2007 22:02 Titel: |
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| Gimel hat Folgendes geschrieben: | | Denn aus meinen Unterlagen kann man echt nicht wirklich schlau werden, - ich weiß erst jetzt dank dir, dass die kinetische Energie die Differenz der pot. Energie von A nach B ist |
Nun, das halte ich für eine Unterstellung. ;-) – Zu Beginn hattest du ja schon geschrieben:
| Gimel hat Folgendes geschrieben: | | Klar: |
Zu Beginn befindet man sich an der Erdoberfläche und in Ruhe, also erhält man:Da die Gesamtenergie konstant bleibt, gilt für jeden beliebigen späteren Zeitpunkt auch:Und das nach kinetischer und potentieller Energie "sortiert" liefert eben die Tatsache dass die kinetische Energie aus der Änderung der potentiellen Energie kommt. (Wie man eigentlich auch so schon vermuten würde.)
Die Herleitung für das Potential ist auf Wikipedia für den Anfang wahrscheinlich nicht so günstig. Habt ihr das nicht irgendwie besprochen? Ich würde vorschlagen du suchst dir mal einen Skript oder Lehrbuch, in dem eine Herleitung steht die du besser nachvollziehen kannst.
Ein Weg für dich das selbst zu bestimmen wenn du schon einmal g(r) berechnet hast (was hast du dafür eigentlich raus?), würde darüber laufen dass die Arbeit gegen die Gravitation zwischen zwei Punkten ja gerade der Potentialdifferenz zwischen diesen enspricht (Vorzeichen abhängig davon wie herum man Arbeit definiert):Da du das Potential an der Erdoberfläche kennst, und weißt wie sich g(r) (und damit natürlich auch F(r)) unter der Oberfläche verhalten, könntest du so auf das Potential unterhalb schließen.
Aber wie gesagt: zunächst wäre es wahrscheinlich günstiger sich das erst einmal bei jemand anderem anzusehen, und nachzuvollziehen.
(Außerdem kann ich nur nochmal sagen, dass wenn man g(r) schon kennt über die Energie rechnen zu müssen irgendwie umständlich ist.)
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Gimel
Anmeldungsdatum: 06.11.2007
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| Gimel Verfasst am: 21. Nov 2007 22:05 Titel: |
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Also zunächst:
Für g(r) hatte ich das Gleiche, - das ist ja schonmal was schönes 
Hmmm... und das minus habe ich in der umformung ausgehend aus paras Formel beibehalten.
Aber war ja anscheinend ( wegen des r² ) eh der falsche weg.
Wie kommt man denn darauf, dass man integrieren soll?
Außerdem muss ich zugeben, dass ich nicht wirklich verstehe wie man mit der Energieerhaltung die Zeit berechnen kann.
Die sagt mir ja nur aus, dass pot.Energie + kin.Energie = constant gilt.
bzw. was para geschrieben hat, dass kin.Energie = pot.E(r) - pot.E(R) ist. |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 21. Nov 2007 22:11 Titel: |
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Es wäre eher destruktiv, mich hier als Dritter noch einzumischen. ich vertraue darauf, dass @para dir hier gute Dienste leisten wird. Ich wollte dich nur darauf aufmerksam machen, dass man den Trick mit den "äusseren Schalen" nur für das g, jedoch nicht für das W(pot) anwenden darf, und deine Formel daher nur bis auf den Faktor 1/2 stimmt.
Zum Minus:
@paras's Gleichung bezieht sich auf das Unendliche und nur für r>R. Du kannst das gerne auch für das Innere tun, obwohl es dann etwas umständlich wäre. Wichtig ist immer nur die Differenz der potenziellen Energien UND dass (wie immer du es machst) bei steigendem r auch der Wert von W grösser wird.
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Tyr.Anasazi
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| Tyr.Anasazi Verfasst am: 21. Nov 2007 22:36 Titel: |
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Hi Leute,
ich denk das sollte viel einfacher gehn.
der Energieerhaltungssatz ist schon nicht schlecht.
Aber zugleich stellt die Bewegung doch ein harmonische Schwingung dar. Die expliziete Lösung erhält man duch die Lösung der DGL:
Nun einfach die potentielle Energie ausrechnen, mit der kinetischen Energie gleichsetzt. Und. Dann sollte man v max haben. Und jetzt gehts mit der harmonischen Schwingung weiter. Da sollte ja auch v max vorkommen. Dann noch den Zusammenhang mir der Periodendauer hergestellt und schwupps schon ist man fergtig. Hoffe das hilft weiter.
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"Man kann einem Menschen nichts beibringen. Man kann ihm höchstens helfen, es in sich selbst zu entdecken" (Galileo Galilei) |
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 21. Nov 2007 22:42 Titel: |
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| para hat Folgendes geschrieben: |
(Außerdem kann ich nur nochmal sagen, dass wenn man g(r) schon kennt über die Energie rechnen zu müssen irgendwie umständlich ist.) |
Dem kann ich mich nicht anschliessen. Wenn du es über g machst, so müsstest du eine DG lösen (was einen Schüler evtl. überfordert) um r(t) zu erhalten. Daraus muss man dann noch t rausextrahieren, indem man r(t) invertiert... => (relativ) kompliziert und unelegant
Mit dem Ansatz über die Energie brauchst du nur 1x integrieren um T direkt zu erhalten. Insofern wäre das der (viel) elegantere Ansatz.
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 21. Nov 2007 22:49 Titel: |
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| Tyr.Anasazi hat Folgendes geschrieben: | Hi Leute,
ich denk das sollte viel einfacher gehn. |
So wird es wohl von der Aufgabenstellung gemeint sein. Sobald man weiss, dass es eine harmonische Schwingung ist, hat man alles in der Tasche. Alles andere wäre für einen Schüler zu kompliziert.
Ich hätte es über
-E(r)\right]}})
was kein Wissen über DGs erfordert, aber natürlich (etwas) schwieriger ist. Es führt jedenfalls auf ein elementares Integral.
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para
Moderator
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| para Verfasst am: 21. Nov 2007 23:12 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: | | So wird es wohl von der Aufgabenstellung gemeint sein. Sobald man weiss, dass es eine harmonische Schwingung ist, hat man alles in der Tasche. Alles andere wäre für einen Schüler zu kompliziert. |
Ich weiß es natürlich nicht genau, aber für Schüler erscheint mir die Aufgabe generell zu kompliziert (insbesondere ohne die potentielle Energie oder das Kraftgesetz im Erdinneren anzugeben). Ich würde auf Studium tippen.
| schnudl hat Folgendes geschrieben: | | Mit dem Ansatz über die Energie brauchst du nur 1x integrieren um T direkt zu erhalten. Insofern wäre das der (viel) elegantere Ansatz. |
Wow, daran hatte ich gar nicht gedacht. Sehr schöner Weg. :-)
Ich war in Gedanken auch so bei der harmonischen Schwingung, und dachte mir dass man da über den Energieansatz ja letztlich auch bei der Schwingungsgleichungs-DGL landet. – Nur eben komplizierter als wenn man direkt für die Beschleunigung g(r) einsetzt. Wenn man diese DGL sieht, könnte man ja sofort die Kreisfrequenz ablesen, und die Zeit zum Durchfallen wäre gerade die halbe Periodendauer.
Aber so direkt dahin zu integrieren ist natürlich wirklich schöner.
Okay, aber bevor wir noch weiter vom Fragesteller wegkommen: wie sieht es aus Gimel? Hast du eine gute Quelle für den Ausdruck der potentiellen Energie im inneren der Erde gefunden?
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Gimel
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| Gimel Verfasst am: 21. Nov 2007 23:14 Titel: |
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Schnudl, könntest du vielleicht erklären wie du auf das E(r)/m gekommen bist?
Also das Integral rechts davon ist für mich nachvollziehbar, allerdings wie man ganz genau darauf kommt verstehe ich nicht so ganz.
Denn ich dachte, beim Potential würde man ein Feld integrieren - und das g(r) ist ja kein Feld? |
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para
Moderator
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| para Verfasst am: 21. Nov 2007 23:15 Titel: |
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Und zum "Einmischen als Dritter": ich komme vor morgen Abend nicht dazu hier wieder reinzuschauen. Daher hätte ich absolut nichts dagegen dir das Feld zu überlassen. Was das weitere Vorgehen zur Lösung der Aufgabe angeht sind wir uns ja sowieso einig. ;-)
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 21. Nov 2007 23:23 Titel: |
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| para hat Folgendes geschrieben: |
Wow, daran hatte ich gar nicht gedacht. Sehr schöner Weg. :-) |
Mir gefällt der Weg über die Schwingung nun besser. Ich habe an DAS wiederum gar nicht gedacht, und hatte diesbezüglich ein Brett vorm Kopf.
Natürlich, das Integral ist sehr trivial, wenn man mal die E(pot) kennt...
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 21. Nov 2007 23:29 Titel: |
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| Gimel hat Folgendes geschrieben: | Schnudl, könntest du vielleicht erklären wie du auf das E(r)/m gekommen bist?
Also das Integral rechts davon ist für mich nachvollziehbar, allerdings wie man ganz genau darauf kommt verstehe ich nicht so ganz.
Denn ich dachte, beim Potential würde man ein Feld integrieren - und das g(r) ist ja kein Feld? |
Na sicher ist das g ein Feld, Es ist DAS Gravitationsfeld.
Potenz. Energie ist Weg-Integral über Kraft:
Kraft F = g m
Das eingesetzt mit dem bekannten g(r) ergibt sofort das Integral.
 dr = \int m g(r) dr = \ldots)
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Gimel
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| Gimel Verfasst am: 21. Nov 2007 23:31 Titel: |
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Hab jetzt im Halliday nachgeschlagen und gelesen, dass man bei der Integration ( bei der pot.Energie ) das Kraftsymbol F durch -mg ersetzen kann bzw. in userem fall -mg(r) , so dass ich nun den Ausdruck der pot.Energie im Erdinneren nachvollziehen kann.
Nur bleibt es mir weiterhin ein Rätsel, wie man dadurch auf die benötigte Zeit schließen kann.
Ach und, - "ja" es ist nicht schule sondern studium .... bitter, bitter... kann man aber nichts machen, wenn man zuvor kein physik hatte, da muss ich jetzt durch. Wobei ich sagen muss, dass die anderen in der Vorlesung ( wir sind ca. 16  ) - trotz Physik in der Schule - auch nicht mit der Aufgabe klarkommen.... nur dummerweise muss ich dank grader Matrikelnummer die Aufgabe machen und sie nicht -.- |
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Gimel
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| Gimel Verfasst am: 21. Nov 2007 23:34 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: |
[...]
Na sicher ist das g ein Feld, Es ist DAS Gravitationsfeld.
Potenz. Energie ist Weg-Integral über Kraft:
Kraft F = g m
[...]
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Das Problem war, dass in der Vorlesung immer noch ein Vektor r ( normiert ) da war und ich zunächst nicht dran gedacht habe, dass ja m*g und nicht nur g gemeint ist. Hm, - ich verspreche, dass ich das nächste mal auch zuerst in den Halliday gucken werde. |
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 21. Nov 2007 23:43 Titel: |
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| Gimel hat Folgendes geschrieben: |
Nur bleibt es mir weiterhin ein Rätsel, wie man dadurch auf die benötigte Zeit schließen kann. |
})
Daraus
 = \sqrt{ \frac{2}{m} \left[E_{ges} - E_{pot}\right]})
Einsetzen in die erste Gleichung für dt und integrieren liefert:
 - E(r)\right]}})
Nun musst du noch das nunmehr bekannte E(r) einsetzen !
Das führt dann auf ein Integral der Form
wenn man u=r/R setzt.
Das Resultat steht dann in den zusammengefassten Vorfaktoren.
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Gimel
Anmeldungsdatum: 06.11.2007
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| Gimel Verfasst am: 22. Nov 2007 16:58 Titel: |
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Da sag ich doch jetzt nochmal dankeschön an alle, dass ihr euch die Zeit genommen habt mir zu helfen.
Mir geht es gar nicht so sehr darum die Aufgaben zu lösen, sondern viel mehr darum die Probleme zu verstehen. Denn wir haben leider in Physik kein wirkliches Script, so dass man manchmal ziemlich aufgeschmissen ist.
Naja, jedenfalls verstehe ich das Potential bzw. die pot.Energie jetzt |
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