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Bestimmung der Standardabweichung bei Ausgleichsrechnung
 
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Masterchriss



Anmeldungsdatum: 27.12.2004
Beiträge: 95
Wohnort: Köln

Beitrag Masterchriss Verfasst am: 07. Okt 2007 18:54    Titel: Bestimmung der Standardabweichung bei Ausgleichsrechnung Antworten mit Zitat

Hallo zusammen,
Bin momentan echt am verzweifeln. Muss in drei Wochen meine Diplomarbeit abgeben, und hänge jetzt schon seit tagen an diesem Thema fest.

Folgendes Problem:
Ich habe versucht den Ausdehnungskoeffizienten eines Werkstoffes zu bestimmen. Die Messungen dazu sind auch soweit erledigt. Nun habe ich die Messdaten (siehe Anhang) durch eine Lineare Funktion ausgeglichen. Dafür habe ich die Messdaten aus 10 Messungen in einen "Topf" geworfen, und alle Daten mit einer Linearen Funktion aproximiert.

1. Frage: Ist das so überhaupt erlaubt? Ich wüsste sonst nicht wie ich vorgehen sollte.

Die Ausdehnung eines Stoffes wird ja bekanntlich durch



beschrieben


Wenn die Ausdehnung nun durch eine Lineare Funktion der Form



aproximiert wird, Kann man ja nun anhand der Steigung k den Ausdehnungskoeffizienten ermitteln.



Wenn ich aber jetzt die Streuung von a ermitteln möchte brauch ich erst einmal die Streuung von k. Das Problem hier ist das sowohl die x (DT) als auch die y (A) werte streuen.

2. Frage: Kann man hier überhaupt eine Streuung für die Steigung k ermitteln? Es entsteht ja dadurch eine art "Unschärfe". Wenn die x werte streuen, streuen ja auch automatisch die y Werte, und umgekehrt genauso.

In der Literatur die ich gefunden habe wird immer davon ausgegangen das die x werte Fehlerfrei sind. Wenn ich das so auf meine Aufgabe hier anwende, kommen sehr kleine Werte für die Streuung von k raus. Demnach würde die Streuung von k bei 6*10^-6 liegen. Wenn man damit die Streuung des Ausdehnungskoeffizienten berechnet, kommt man auf eine Relative Streuung von ca 1,4%. Wenn ich mir die Messdaten anschaut, sieht das für mich zimmlich unrealistisch aus.

3. Frage: Erscheint euch das realistisch?

4. Frage: Kennt jemand ein besseres Verfahren um die erwähnte Streuung zu bestimmen?

Ich wäre für echt jeden Tipp dankbar. Ich hoffe ich konnte vermitteln wo es bei mir hängt. Wenn irgendetwas unklar ist, dann einfach fragen.
Danke Gruß Chris



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t.t.



Anmeldungsdatum: 04.10.2007
Beiträge: 113
Wohnort: Konstanz

Beitrag t.t. Verfasst am: 07. Okt 2007 19:48    Titel: Re: Bestimmung der standardabweichung bei Ausgleichsrechnung Antworten mit Zitat

Hi Chris,

ich hatte vor einigen Wochen ein ähnliches Problem bei der Auwertung von Messwerten und poste jetzt mal das was ich dazu rausgefunden habe.

Masterchriss hat Folgendes geschrieben:

1. Frage: Ist das so überhaupt erlaubt? Ich wüsste sonst nicht wie ich vorgehen sollte.

Mathematisch ist das unproblematisch. Es gibt ja zur auswertung verschiedener Messreihen unterschiedliche Vorgehensmöglichkeiten:
-> Ausgleich der Einzelnen Reihe -> Mittelwert mit StdAbweichung
-> Ausgleich aller Messwerten mit der Abweichung aus der linearen Reggresion
-> in dem Fall muss man nicht unbedingt mit linearer Reggression rechnen. Aus jedem Messwert (ausser den 0,0 Werten) den Koefitienten k berechnen und von allen Werten Mittelwert mit StdAbweichung brerechnen
Alle sollten, zumindest theoretisch, den selben Fehler liefern.

Masterchriss hat Folgendes geschrieben:

2. Frage: Kann man hier überhaupt eine Streuung für die Steigung k ermitteln? Es entsteht ja dadurch eine art "Unschärfe". Wenn die x werte streuen, streuen ja auch automatisch die y Werte, und umgekehrt genauso.

Ja, kann man. Allerdings muss ein Wert als sicher angenommen werden. Macht aber nicht, denn die Berechnung der Abweichung mittels linearer Reggression berücksichtigt die Unsicherheit beider Werte.

Masterchriss hat Folgendes geschrieben:

3. Frage: Erscheint euch das realistisch?

Meinst du den berechneten Fehler?? Kommt natürlich auf die Messmethode und die Sorgfalt bei der Messung an, aber ein Fehler von ca 1% is bei manchen Methoden realistisch.

Masterchriss hat Folgendes geschrieben:

4. Frage: Kennt jemand ein besseres Verfahren um die erwähnte Streuung zu bestimmen?

Andere Methoden als die lineare Regression gibt es nicht. Diese Methode berücksichtigt zum Glück relativ einfach alle Abweichungen in den Werten.

Vielleich wäre es besser die Regression für jede einzelne Messreihe durchzuführen, da man an den von Dir beigelegten Daten deutlich zu erkennen ist, dass die verschiedenen Messreihen andere Koeffitienten lieferten, so können auch eventuelle systematische Fehler bei einer Messreihe besser entdeckt und aufgezeigt werden.

Ich hoffe ich konnte Dir ein bisschen weiterhelfen,

Gruß T.T.
Masterchriss



Anmeldungsdatum: 27.12.2004
Beiträge: 95
Wohnort: Köln

Beitrag Masterchriss Verfasst am: 07. Okt 2007 20:44    Titel: Antworten mit Zitat

Dann kann ich ja quasi ohne lange Umwege einfach für jeden Messpunkt den Ausdehnungskoeffizienten errechnen und nachher mittelwert und Streuung bestimmen. Das düfte dann aber nur funktionieren wenn ich eine Lineare Funktion zur Aproximation nutze. Was wenn ich mit einer quadratischen Funktion ausgleichen möchte?

Ist es aber nicht so das bei dieser Vorgehensweise nur die Streuung der x werte berücksichtigt wird?

Die 1,4% bezogen sich auf den Ausdehnungskoeffizienten a der aus den Angehangenen Messdaten errechnet worden ist. So wie die Daten, vorallem im hinteren Bereich, streuuen erscheint mir das sehr unrealistisch. Aber wenn ich so wie oben angesprochen rechne, komm ich auf 10 %, und das scheint wesentlich realistischer.

Wenn ich morgen etwas mehr zeit habe, werde ich noch mal beschreiben wie ich auf die 1,4% gekommen.

Auf jeden fall vielen Dank schon mal.

Gruß Chris
t.t.



Anmeldungsdatum: 04.10.2007
Beiträge: 113
Wohnort: Konstanz

Beitrag t.t. Verfasst am: 07. Okt 2007 21:26    Titel: Antworten mit Zitat

Abend Chris

Masterchriss hat Folgendes geschrieben:
Dann kann ich ja quasi ohne lange Umwege einfach für jeden Messpunkt den Ausdehnungskoeffizienten errechnen und nachher mittelwert und Streuung bestimmen. Das düfte dann aber nur funktionieren wenn ich eine Lineare Funktion zur Aproximation nutze. Was wenn ich mit einer quadratischen Funktion ausgleichen möchte?


Regressionen mit anderen als Linearen Funktion sind (von Hand) ne ziemlich üble Sache. Man kann aber bei Messergebnissen versuchen mit geeigneten Computerprogrammen den vermuteten Zusammenhang zu fitten. Geht mit so ziemlich allen Funktionalen Zusammenhängen. Da kann ich Dir nur das CF-Tool von MatLab empfehlen, da dieses für die gefitteten Parameter auch Fehler mit berechnet.

Das mit dem Berechnen der Steigung aus jedem Messpunkt funktioniert klar nur im Fall linearer funktionaler Zusammenhänge. Für affin-lineare Funktionen (also mit endlichem Achsenabschnitt) geht es schon nicht mehr so einfach und man muss auf die Regression zurükkommen.

Masterchriss hat Folgendes geschrieben:

Ist es aber nicht so das bei dieser Vorgehensweise nur die Streuung der x werte berücksichtigt wird?

Ausgleichsrechnung funktioniert doch so, dass zu gegeben Punkten, egal ob diese unsicher sind oder nicht, die bestmögliche Kurve gefunden wird, so dass der Abstand dieser Kurve zu allen Punkten minimiert wird. Der Fehler des einzelnen Messwertes, egal ob auf der Abzisse oder Ordinate, interessiert nicht mehr, da man davon ausgeht das jede der genutzten Punkte eine gewisse Unsicherheit trägt ist. Der Fehler die Dir diese Ausgleichsrechnung liefert ist nachher die Unsicherheit in der Steigung (und nur die brauchst du ja zum weiterrechnen).


Gruß T.T
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