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jentowncity
Anmeldungsdatum: 08.05.2005
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 jentowncity Verfasst am: 29. Dez 2006 14:36 Titel: Teilchen im Kreiskegel |
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Hallo an alle!
Hab hier eine Interessante Aufgabe, die ich schon halb gelöst habe, aber dann nicht mehr weiterkomme:
Ein Teilchen der Masse m befinde sich in einem nach oben geöffneten Kreiskegel mit Öffnungswinkel  im Schwerefeld der Erde.
Stellen Sie die Lagrangefunktion in geeigneten Koordinaten auf und leiten Sie die Beweg. Gln. her.
Bestimmen Sie die Zwangskraft als Funktion des Abstandes r des Teilchens von der Kegelachse und zeigen Sie, dass sie keine Arbeit am Teilchen verrichtet.
Zur Zeit  sei  und  , und die senkrechte Komponenete des auf die Kegelspitze bezogenen Drehimpulses habe den Wert  .
Berechnen Sie die radiale, azimutale und senkrechte Komponente der Geschwindigkeit für beliebige Zeiten als Funktion von r.
Hinweis: Die radiale Bew.Gl. lässt sich nach Multiplikation mit  leicht einmal integrieren.
Also ich hab schon die Bew.Gln. und die Zwangskraft berechnet:
^{2}[tan(\alpha)g+r\dot{\phi}^{2}] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -tan(\alpha) \end{pmatrix}) , der letzte Term ist die Zwangsbeschleunigung.
wobei die Zwangsbed. lautet: z=0) , also kann man aus diesen 3 Bew.Gln. 2 machen indem man benutzt: ) .
Dann bekommt man eine radiale Bew.Gl. und eine azimutale:
+cot(\alpha)^{2})\dot{r\dot}-r\dot{\phi}^{2}tan(\alpha)+g=0)
Ich weiß jetzt aber nicht, wie ich zeige, dass die Zwangskraft keine Arbeit am Teilchen verrichtet. Ich weiß schon, dass das so ist, denn die Zwangskraft steht immer senkrecht zur Oberfläche und die Geschwindigkeit ist parallel, also ist das Skalarprodukt Null.
Aber ich krieg keine Formel für v hin.
Und das hat ja wiederrum mit der letzten Frage nach den Komponenten der Geschindigkeit zu tun. Hier komm ich nicht weiter. Wenn das erstmal bekannt ist, dann ist die ganze Aufgabe schon erledigt.
Hier sind meine Überlegungen dazu, wobei ich mir nicht sicher bin, ob das alles ok ist:
Man bekommt aus der Lagrangefunktion:  also 
Setzt man das in die Radialgl. ein, multipliziert mit und integriert , dann ergibt das: +cot(\alpha))\frac{\dot{r}^{2}}{2}+\frac{L_{0}^{2}~tan(\alpha)}{2m^{2}r^{2}} +gr=const.)
Das sieht schon so ählich aus wie die Energieerhaltung =const.)
Aber ich kann im Moment nicht ablesen, was die Radialgeschw. ist und auf die anderen Komponenten komm ich auch nicht.
Kann mir jemand helfen?
Edit:
hab jetzt die radiale und damit auch die vertikale Komponente der Geschw. berechnet, und damit auch gezeigt, dass die Zwangskraft keine Arbeit am Teilchen verrichtet.
Jetzt fehlt mir nur noch die azimutale Komponente.
Sieht es jemand vielleicht? Ist es einfach wie oben:  ? |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 01. Jan 2007 12:45 Titel: Re: Teilchen im Kreiskegel |
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Die Geschwindigkeit in Zylinderkoordinaten ist hier ja
) ,
also ist die radiale Komponente der Geschwindigkeit  , die azimutale Komponente  und die vertikale Komponente  .
Wenn du mit deiner bisherigen Rechnung die folgenden Differentialgleichungen erhalten hast:
| jentowncity hat Folgendes geschrieben: |
Dann bekommt man eine radiale Bew.Gl. und eine azimutale:
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,
dann geht es also nun im folgenden darum, diese Differentialgleichungen unter den gegebenen Randbedingungen zu lösen. Hast du das schon für die radiale Komponente gemacht? (Wenn ja, wie und mit welchem Ergebnis?) Ich vermute, dass du das Ergebnis für die radiale Komponente in diese Differentialgleichungen einsetzen kannst und damit eine Differentialgleichung für die azimutale Komponente der Geschwindigkeit erhältst, die du dann lösen kannst. |
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jentowncity
Anmeldungsdatum: 08.05.2005
Beiträge: 132
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| jentowncity Verfasst am: 02. Jan 2007 15:23 Titel: |
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Also für die radiale Komponente hab ich \cdot \frac{r^{2}-r_{0}^{2}}{m^{2}r^{2}r_{0}^{2}}+\frac{2g(r_{0}-r)}{tan(\alpha)+cot(\alpha)}})
Damit hab ich dann auch ) und  bekomm ich ja wie oben aus: also 
Wobei  die Lagrange-Funktion ist.
Demnach müsste man die Azimutalgleichung gar nicht lösen, denn man kennt schon.
Kommt das so hin?
MfG jentowncity |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 02. Jan 2007 19:56 Titel: |
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Ah, einverstanden, gefragt war ja gar nicht die Lösung der Differentialgleichungen, um ) , ) und ) zu bestimmen, sondern gefragt war die Bestimmung von ) , ) und ) .
Dafür hast du nun in der Tat fertige Ergebnisse erhalten. (Ich habe zwar deine Rechnung nicht auf Rechenfehler überprüft, aber die Form deines Ergebnisses sieht gut aus  ) |
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jentowncity
Anmeldungsdatum: 08.05.2005
Beiträge: 132
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| jentowncity Verfasst am: 03. Jan 2007 12:49 Titel: |
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Danke dermarkus!
Hast mir damit schon geholfen 
Eine Kleinigkeit noch: die Geschwindigkeit in Zylinderkoordinaten ist mMn gegeben durch
 und du meintest  .
Oder bring ich da was durcheinander?
MfG jentowncity |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 03. Jan 2007 13:15 Titel: |
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Zwischen diesen beiden Möglichkeiten habe ich auch geschwankt. Ich finde es naheliegender, die zweite Komponente der Geschwindigkeit in Zylinderkoordinaten als reine Winkelgeschwindigkeit aufzufassen, denn die zweite Komponente des Ortes ist in Zylnderkoordinaten ja auch ein Winkel und keine Länge.
Wenn man dagegen "Komponente der Geschwindigkeit" so meinen möchte, dass trotz der Zylinderkoordinaten alle Komponenten der Geschwindigkeit die Einheit m/s haben sollen, dann würde man wohl deine erste Variante wählen. |
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