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Marleen
Anmeldungsdatum: 15.06.2006
Beiträge: 218
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 Marleen Verfasst am: 27. Dez 2006 18:12 Titel: [erledigt] Einleitungsaufgabe: Vibrationen I |
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Hallo!
Ich bin jetzt bei den Vibrationen angekommen und habe gesehen, dass man da Differentialgleichungen 2. Ordnung anwenden muss  Ich hoffe, dass hier die Anwendung nicht ganz so schwierig ist, wie in Mathe.
Die Aufgabe: "Ein Punkt führt eine harmonische Vibration aus mit der Amplitude von 1m und zirkulaire Frequenz von  aus.
Bestimme ...:
a) die Periode [Vorgegebene Antwort: 2s]
b) Frequenz [Vorgegebene Antwort: 0,5 vibrationen/s ]
c) die Bewegungsgleichung x(t) wenn gegeben ist, dass die Massse durch den Gleichgewichtszustand [ich denke hiermit ist der Ursprung gemeint] geht bei t=0 [Vorgegebene Antwort: x=sin(pi*t)]
d) v(t) und a(t) [Vorgegebene Antwort: v= pi cos (pi*t), a=-pi²x]
e) die Ausweichung, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung nach t=1/6s[Vorgegebene Antwort: 0,5m; Wurzel(3/2 pi) m/s; -pi²/2 m/s² ]
f) die Zeit, die man braucht um eine Ausweichung von -0,5m zu erreichen [Vorgegebene Antwort: 7/6s]
g) die maximale Geschwindigkeit, die die Masse erreicht. [Vorgegebene Antwort: pi m/s]
Ok, a) b) konnte ich lösen.
Probleme beginnen ab c):
Die Rede ist da von einer Bewegungsgleichung, beim ausprobieren anderen Übungen ist mir folgendes aufgefallen:
= amplitude \cdot \sin{ (\omega \cdot t - \Theta) })
Da die Amplitude=1m, omega=pi rad/s und der Graph im Ursprung startet ist Theta=0. Also komme ich auf folgenden Schluss:
 = \sin{ ( \pi \cdot t) })
Richtiger Lösungsweg?
d)
Um v(t) zu kriegen, muss ich wohl x(t) ableiten.
Getan und  = \pi \cos{ (\pi t) })
So, nun dachte ich, ich müsste v(t) ableiten. Das stimmt aber nicht mit der vorgegebenen Lösung überein. Ich hab's aber trotzdem gemacht, weil ich v'(t) wohl später noch in g) brauche:  = a(t) = - \pi^2 \sin{ ( \pi t) })
Ich habe folgende Formel gefunden, eine Differentialgleichung 2. Ordnung, igitt  :
Hier nun die große Frage, warum so? Ist mein erster Gedanke mit v'(t) nicht richtig?
e)
Die Ausweichung und die Beschleunigung habe ich berechnen können, indem ich t bei x(t) und bei a(t) einsetzte. Merkwürdigerweise klappt dies nicht bei v(t), aber das ist vielleicht eine falsche Lösung des Lehrers?
f)
Hier dachte ich, ich nehme x(t) und setze  = -0,5 \Rightarrow \frac{ \arcsin{ -0,5 } }{ \pi } = t \Rightarrow t= \frac{1}{6} s ) Aber wieso ist das nicht richtig?
g)
Konnte ich lösen in dem ich hier  = - \pi^2 \sin{ ( \pi t) } ) verwendet habe. Ich habe a(t) = 0 als notwendige Bedingung benutzt und t war dann gleich 0. Bei v(t) eingesetzt, ergibt das: v(0)= pi m/s . Komischerweise brauche ich dieses Konstrukt gar nicht: 
_________________
Info für die Helfenden:
Was ich lernen will:
http://tinyurl.com/yskhec
Was ich mathematisch drauf habe: http://www.matheboard.de/search.php?searchid=417662
Zuletzt bearbeitet von Marleen am 31. Dez 2006 17:05, insgesamt einmal bearbeitet |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
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| para Verfasst am: 28. Dez 2006 09:58 Titel: Re: Einleitungsaufgabe: Vibrationen I |
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| Marleen hat Folgendes geschrieben: | | Ich bin jetzt bei den Vibrationen angekommen und habe gesehen, dass man da Differentialgleichungen 2. Ordnung anwenden muss Ich hoffe, dass hier die Anwendung nicht ganz so schwierig ist, wie in Mathe. |
Ich kann dich vielleicht insofern beruhigen, dass man für diese Aufgabe im Grunde keine Differentialgleichungen braucht. ;-)
| Zitat: | Probleme beginnen ab c):
Die Rede ist da von einer Bewegungsgleichung, beim ausprobieren anderen Übungen ist mir folgendes aufgefallen:
Da die Amplitude=1m, omega=pi rad/s und der Graph im Ursprung startet ist Theta=0. Also komme ich auf folgenden Schluss:
Richtiger Lösungsweg? |
Würde ich auch so machen. Das entscheidende ist dabei dass es sich um eine harmonische Vibration/Schwingung handelt. Die allgemeine Gleichung dafür lautet ja:
 = \hat{x} \cdot \sin ( \omega \cdot t + \varphi) \qquad {\rm oder} \qquad x(t) = \hat{x} \cdot \cos( \omega \cdot t + \varphi))
Natürlich fallen diese Gleichungen nicht vom Himmel sondern sind die Lösung einer DGL, aber ich denke das sollte man als gegeben voraussetzen können, und wenn nicht ist die zugehörige DGL auch nicht furchtbar kompliziert.
Bei den gegebenen Voraussetzungen bietet sich jedenfalls die Variante mit dem Sinus an, da dann die Phasenverschiebung wegfällt. (Die Amplitude dann auch noch wegzulassen ändert dann zwar am Zahlenwert nichts, da man ja mit 1 multipliziert, aber die Einheit würde der Physiker eigentlich schon gern behalten. Die gegebene Lösung ist also eigentlich etwas unschön.)
| Marleen hat Folgendes geschrieben: | Um v(t) zu kriegen, muss ich wohl x(t) ableiten.
Getan und |
Richtig.
| Marleen hat Folgendes geschrieben: | So, nun dachte ich, ich müsste v(t) ableiten. Das stimmt aber nicht mit der vorgegebenen Lösung überein. Ich hab's aber trotzdem gemacht, weil ich v'(t) wohl später noch in g) brauche:
Ich habe folgende Formel gefunden, eine Differentialgleichung 2. Ordnung, igitt :
Hier nun die große Frage, warum so? Ist mein erster Gedanke mit v'(t) nicht richtig? |
Doch, ist er. :-P ... Die DGL die du gefunden hast hat als Lösung die beiden Formeln für die harmonische Schwingung die oben stehen.
Jedenfalls ist ja jedes x in diese DGL eigentlich ein x(t), und wenn du das x in -pi²*x durch die gefundene Funktion für x ersetzt, steht genau das gleiche da wie du durch Ableiten bekommen hast. Andersherum geht es natürlich genauso, wenn man auf die vorgegebene Lösung kommen will.
| Marleen hat Folgendes geschrieben: | | Die Ausweichung und die Beschleunigung habe ich berechnen können, indem ich t bei x(t) und bei a(t) einsetzte. Merkwürdigerweise klappt dies nicht bei v(t), aber das ist vielleicht eine falsche Lösung des Lehrers? |
Vorausgesetzt das stand wirklich so da ist die Klammersetzung etwas sauer. Meiner Meinung nach sollte das Wurzel(3)/2 * pi sein.
| Zitat: | | Hier dachte ich, ich nehme x(t) und setze Aber wieso ist das nicht richtig? |
Vorsicht: was du bei der Rechnung rausbekommst ist minus eine sechstel Sekunde. Außerdem hat die Arcussinus-Funktion i.A. zwei Lösungen (und dann natürlich entsprechend diese Lösungen + Vielfache von 2*pi). In diesem Fall ist dummerweise gerade die zweite Lösung die gesuchte (da sie eher eintritt, bei -1/6s+2s ist die Auslenkung dann natürlich auch wieder -0,5m)
| Zitat: | | Konnte ich lösen in dem ich hier verwendet habe. Ich habe a(t) = 0 als notwendige Bedingung benutzt und t war dann gleich 0. Bei v(t) eingesetzt, ergibt das: v(0)= pi m/s . Komischerweise brauche ich dieses Konstrukt gar nicht: |
Wie gesagt: es müssen nicht immer DGLs sein. Manchmal gibt es auch andere Wege.
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Marleen
Anmeldungsdatum: 15.06.2006
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para
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Anmeldungsdatum: 02.10.2004
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| para Verfasst am: 28. Dez 2006 15:55 Titel: |
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| Marleen hat Folgendes geschrieben: | | Bis auf f) Wieso hat arcsin(x) immer zwei Lösungen? Wenn ich den Graphen "plotte", dann sieht das nicht so aus [...] |
Okay, das war wohl mathematisch nicht 100% korrekt. Die Gleichung:hat i.A. mehr als eine Lösung ('Ausnahmen' siehe unten), was man ja am Verlauf der Sinuskurve sieht. Der Arcussinus als "Umkehrfunktion" ist so definiert dass er immer nur die Lösung aus dem Intervall -90° bis +90° liefert. Somit hat der Arcussinus nur eine Lösung, die Gleichung oben aber trotzdem noch zwei. Wirft man einen Blick auf den Einheitskreis, sieht man dass:Also hat die Gleichung oben zwei Lösungen (für y=1 und y=-1 wären allerdings beide gleich, so dass sie doch nur eine Lösung hätte):Die entsprechenden Lösungen durch Addition von Vielfachen von zwei Pi kommen natürlich noch dazu.
In der Aufgabe ist jetzt anscheinend nach dem ersten Mal gefragt bei dem die Auslenkung -0.5 beträgt, und der erste Wert für t bei dem das eintritt ist eben 7/6.
Versuch's einfach nochmal mit diesen Hinweisen zum Lösen der Gleichung mit dem Sinus.
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Marleen
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