Herleitung der Ellipsenform von Keplerorbits (Newton)

Kosse · Anmeldungsdatum: 09.02.2016 Beiträge: 3

Hallo,

In einem Buch von mir wird die Ellipsenform der Planetenbahnen aus Newtons Gravitationsgesetz hergeleitet. Diese sich über viele Seiten spannende Herleitung erschien mir sehr lang und umständlich, weshalb ich es mit einem eigenen Ansatz herleiten wollte. Nun habe ich mich vielleicht einfach irgendwo im weiteren Zuge verrechnet, dennoch wollte ich von euch wissen, ob mein Ansatz überhaupt stimmt.

Den auf die Masse von 1kg normierten Drehimpuls bezeichne ich als

, wobei

und

.

Die Ableitung

kürze ich mit

ab und zudem geht durch Differenzieren hervor, dass

und somit aufgrund der Kettenregel

.

Dann folgt ja aus

durch Anwendung der Kettenregel

bzw. nach Teilen durch

und Einsetzen der Ausdrücke von oben

wodurch der Ausdruck nur noch aus dem Radius und Ableitungen nach

und konstanten Ausdrücken besteht.

Teilt man noch durch

, multipliziert mit

und bringt alles auf eine Seite, kommt man schließlich auf

Die Lösung dieser DGL sollte jetzt ja die Gleichung für einen Kegelschnitt in Polarkoordinaten mit einem Brennpunkt im Koordinatenursprung sein, also

mit

als großer Halbachse und

als numerischer Exzentrizität. Wenn richtig gerechnet habe, sind die Ableitungen

und

Sollten die Planetenbahnen also Kegelschnitte sein, dann müsste die obere Gleichung, wenn ich für

die Ellipsengleichung bzw. die entsprechenden Ableitungen einsetze, für einen bestimmten Zusammenhang zwischen

sowie

wahr sein, oder anders gesagt müssten sich alle Ausdrücke mit

herauskürzen. Als ich das allerdings durchgerechnet habe, war die Gleichung lediglich in den trivialen Fällen

bzw.

wahr, sonst enthielt sie stets noch Ausdrücke mit

. Habe ich also im Ansatz oder in der bisherigen Rechnung irgendetwas falsch gemacht? Oder habe ich mich eher irgendwo später beim Einsetzen verrechnet?

Danke,
Kosse

Kosse · Anmeldungsdatum: 09.02.2016 Beiträge: 3

Gut, ich denke das dürfte sich erübrigt haben. Ich habe es nochmal anders unter Berücksichtigung der Energieerhaltung probiert, und da hat es auf weniger umständliche Weise funktioniert und impliziert gleich ein paar andere Zusammenhänge. Trotzdem danke; falls ich doch noch Fragen zu dem Thema habe melde ich mich nochmal im Thread.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Bei der theoretischen Behandlung gibt es verschiedene Fragestellungen:
- Bewegung im Zentralfeld, Drehimpuls
- Herleitung des Kraftgesetzes bei Keplerbahnen
- Herleitung der Keplerbahnen (erweitert: Kegelschnitte) aus dem Kraftgesetz, Bedeutung der großen Halbachse.

Die Möglichkeit einer wesentlichen Vereinfach der Behandlung dieser alten Standardfragen (auf gleichem Niveau) halte ich für illusorisch.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Kosse, Deine Umformungen sind alle richtig (jedenfalls bis zu einem gewissen Punkt, bis zu dem ich sie überprüft habe), aber die Physik ist falsch:

beschreibt nicht das Keplerproblem. Auf der rechten Seite fehlt der Term

.

Das kann man auf mehreren Ebenen verstehen:

- intuitiv-physikalisch: Bei der Reduktion des Kepler-Problems auf ein eindimensionales Problem taucht das Zentrifugalpotential auf. Andernfalls würde der Mond in die Erde stürzen.

- theoretisch-physikalisch: Du kommst direkt darauf, wenn Du die Lagrange-Gleichungen in Polarkoordinaten aufschreibst.

- mathematisch-geometrisch: Aus der entsprechenden Gleichung "mit Vektorpfeilen" folgt nicht die Gleichung für die Beträge, insbesondere ist

Trotzdem: Es ist sehr gut, daß Du Dir selbst Gedanken machst! Solche "Tüfteleien" führen in den seltensten Fällen zum Erfolg, aber meistens lernt man dadurch trotzdem etwas. Du hast in Deinem Beitrag gesagt, daß Du die Vorgehensweise sehr kompliziert findest. Jetzt ist es Deine Aufgabe, zu verstehen, wieso es nicht einfacher geht. Augenzwinkern

(oder zumindest, welche Strategie der vermeintlich komplizierten Vorgehensweise zugrundeliegt)