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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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 TomS Verfasst am: 19. Dez 2024 06:45 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Vier verschiedene Ladungen bilden im Energieminimum einen verzerrten Tetraeder. Nur vier gleiche Ladungen bilden im Gleichgewicht einen regulären Tetraeder. |
Aber von verschiedenen Ladungen wir bisher nie Rede.
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Jedem Tetraeder mit vier unterscheidbaren Ecken kann eine Vorzugsrichtung zugeordnet werden. |
Aber bei vier gleichen Ladungen ist das nicht gegeben. Die Ladungen sind ununterscheidbar.
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Wenn die Ladungen nicht in einer Ebene liegen, dann lässt sich immer eindeutig feststellen, ob die Konfiguration nach einer geeigneten Regel (wie z.B. oben beschrieben) links-oder rechtsdrehend ist. |
Aber das tut keiner. Vier gleiche Ladungen liefern eine Lösung, einen Tetraeder. Niemand betrachtet eine künstliche Unterscheidung identischer Ladungen.
Sei X die Lösungsmenge aller Konfigurationen x für globale Minima des Potentials V
 = \text{min} \, V \})
Dann meine ich mit "bis auf Symmetrie" immer die Äquivalenzklassen, d.h. X modulo der Symmetriegruppe
)
Für N identische Ladungen in Dimensionen ist das
Das funktioniert genauso für die Lösungsmenge zu allen lokalen Minima
 = 0 \,\wedge\, (x, H_V x) > 0 \})
H bezeichnet die Hesse-Matrix.
Gesucht sei [X]. Konkret gefunden werden jedoch Lösungen aus X*. Dann stellen sich mehrere Fragen.
1. Seien x*, y* … konkrete Lösungen aus X*. Gehört eine von diesen auch zu X? Ich habe einige Fälle untersucht, in denen die Methode sehr häufig gegen ein lokales Minimum konvergiert, dass jedoch keinem globalen Minimum entspricht.
2. Seien x, y, … konkrete Lösungen aus X. Gehören sie zur selben Äquivalenzklasse [X]? Das zu entscheiden ist schwer, weil es der expliziten Konstruktion einer Transformation g bedarf (oder dem expliziten Beweis, dass keine solche existiert) so dass
Eine Konstruktionsmethode versagt, wenn x und y bzgl. der Permutationen weit auseinander liegen. Man kann nicht alle N! Permutationen auf y anwenden.
3. Seien x, y, … konkrete Lösungen aus in verschiedenen [X], [Y] … Schöpfen diese aller Äquivalenzklassen aus?
Die 2. und die dritte Frage kann man auch für X* stellen.
Die Frage, ob eine gewisse Startkonfiguration x(0) in eine bestimmte Zielkonfiguration x(t) aus einem [X] konvergiert, ist dagegen überhaupt keine Frage bezüglich der Symmetrie und der Äquivalenzklassen der Lösungsmenge, sondern eine Frage der Lösungsmethode. Zunächst mal ist aber die Idee, von der Symmetrie einer Startkonfiguration zu sprechen, sinnlos, da diese zufällig gewürfelt ist und daher i.A. überhaupt keine Symmetrie aufweist. Die Frage ist, wie die Lösungsethode den Lösungraum exploriert, und dabei ist eben klar, dass stochastische Methoden wie das Würfeln, der Anfangskonfiguration und im folgenden Monte-Carlo-Methoden den Lösungsraum global explodieren, während die reine Gradientenmethode den Lösungsraum nur lokal explodieren kann – so ist sie nun mal definiert.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5740
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| DrStupid Verfasst am: 19. Dez 2024 09:22 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Aber von verschiedenen Ladungen wir bisher nie Rede. |
Gleich im ersten Satz heißt es "(erstmal alle mit Ladung +1)". Das heißt, dass sich das später ändern wird. Ich habe schon weiter oben gesagt, dass wir den vollständigen Text der Aufgabe brauchen. Solange die Informationen nur kleckerweise rein kommen, bleibt nur die Möglichkeit, eine allgemeine Lösung zu suchen, um nicht irgendwann plötzlich ganz von vorn anfangen zu müssen.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1474
Wohnort: Berlin-Wedding
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| MBastieK Verfasst am: 19. Dez 2024 12:59 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Interessant wäre auch, ob die von mir angesprochenen verschiedenen Methoden die selben End-Positions-Ergebnisse erzeugen. Aber egal. |
Das sollten sie tun, wenn es nur eine Lösung gibt. |
Ich bin mir nicht sicher, ob wir das Selbe meinen.
Ich meine unterschiedliche Berechnung(s-Method)en der Kraft zwischen 2 Teilchen. D.h. verschieden starke Abstossungs-Kraft 2er Teilchen bei gleicher Position, je nach Berechnungs-Methode.
Nette Grüsse
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„Ein Test für außerordentliche Intelligenz ist die Fähigkeit zwei gegensätzliche Ideen gleichzeitig zu verfolgen, ohne dabei verrückt zu werden.“ - F. Scott Fitzgerald
Was mit Energie-Aufwand gelernt, verteidigt man dementsprechend. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5740
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| DrStupid Verfasst am: 19. Dez 2024 13:15 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Ich meine unterschiedliche Berechnung(s-Method)en der Kraft zwischen 2 Teilchen. D.h. verschieden starke Abstossungs-Kraft 2er Teilchen bei gleicher Position, je nach Berechnungs-Methode. |
Zwischen den Teilchen wirkt die Coulomb-Kraft. Zumindest das ist klar vorgegeben. Wenn zwei Methoden dafür unterschiedliche Werte liefern, dann ist mindestens eine davon falsch.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1474
Wohnort: Berlin-Wedding
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| MBastieK Verfasst am: 19. Dez 2024 13:54 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Zwischen den Teilchen wirkt die Coulomb-Kraft. Zumindest das ist klar vorgegeben. Wenn zwei Methoden dafür unterschiedliche Werte liefern, dann ist mindestens eine davon falsch. |
Ich meine folgendes: Wenn man ein Teilchen auf dem Nordpol hat und ein zweites auf dem Äquator, dann kann man 2 Kraft-Weg-Kontexte haben.
Bei Kraft-Weg 1 läuft die Kraft quasi auf einem gekrümmten Raum entlang und hat bei einer normierten Kraft von 1[...] eine Abstossungs-Kraft von
F = 1[...] * 1/r² = 0.41[...]
mit r = 2*pi*0.25
Bei Kraft-Weg 2 läuft die Kraft direkt durch den 3-dimensionalen Raum und muss am Teilchen nochmal trigonometrisch projeziert werden. D.h.
F = 1[...] * sin(45°) * 1/r² = 0.35[...]
mit r = 1.414 = 2^0.5
Beim Programmieren ohne DGLs sind solche Spielchen einfacher, weil modulartig leichter austauschbar. Ein versierter Mathematiker müsste dies in seinem DGL-Kontext vielleicht auch leicht austauschbar hinbekommen.
P.S. [...] steht für die jeweilge Einheit
Nette Grüsse
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 1116
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| Qubit Verfasst am: 19. Dez 2024 15:31 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: |
Bei Kraft-Weg 2 läuft die Kraft direkt durch den 3-dimensionalen Raum |
Ich denke, das Coulomb-Potential setzt hier schon einen 3d-Euklidischen Raum voraus. Die Kugeloberfläche ist da Rand-(Zwangs-) Bedingung.
Im übrigen halte ich da den Ansatz von Tom mit gleichen Ladungen im Potentialminimum für erstmal sehr naheliegendes Modell und finde es da beeindruckend, welche Resultate er da mit solchen relativ "easy" Methoden schon erzielt! 
Ich als Unwissender stelle mir auch vor, dass man es dann als äquivalentes "geometrisches" Problem betrachten könnte: alle Ladungen haben auf der Kugeloberfläche den selben Abstand (auf der Oberfläche) zu "Nachbarladungen" (hier spielt dann wohl lokal vs. global eine Rolle) und alle diese Abstände sind bei gleichen Ladungen maximal.
Das sollte doch zum selben Ergebnis führen, oder?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 19. Dez 2024 17:12 Titel: |
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| Qubit hat Folgendes geschrieben: | | Ich denke, das Coulomb-Potential setzt hier schon einen 3d-Euklidischen Raum voraus. Die Kugeloberfläche ist da Rand-(Zwangs-) Bedingung. |
So wird das Problem normalerweise formuliert.
| Qubit hat Folgendes geschrieben: | | Im übrigen halte ich da den Ansatz von Tom mit gleichen Ladungen im Potentialminimum für erstmal sehr naheliegendes Modell und finde es da beeindruckend, welche Resultate er da mit solchen relativ "easy" Methoden schon erzielt! |
Danke.
Ich hab' sowas früher schon "professionell" gemacht.
| Qubit hat Folgendes geschrieben: | Ich als Unwissender stelle mir auch vor, dass man es dann als äquivalentes "geometrisches" Problem betrachten könnte: alle Ladungen haben auf der Kugeloberfläche den selben Abstand (auf der Oberfläche) zu "Nachbarladungen" (hier spielt dann wohl lokal vs. global eine Rolle) und alle diese Abstände sind bei gleichen Ladungen maximal.
Das sollte doch zum selben Ergebnis führen, oder? |
Das schaue ich mir tatsächlich als nächstes an.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 20. Dez 2024 09:17 Titel: |
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Zunächst mal eine Beobachtung.
Für zwei Punkte m, n definiere ich den euklidischen Abstand im 3-Raum mittels
^2)
Aufgrund der Normierungsbedingung auf der Kugeloberfläche und der Regel für das Skalarprodukt
gilt
Und damit für den Abstand gemessen auf der Kugeloberfläche
)
Das führt auf drei naheliegende Optionen für die zu minimierende Größe
} \frac{1}{d^\text{eucl.}_{mn}} )
} d^\text{eucl.}_{mn} )
} d^\text{sph.}_{mn} )
In der Literatur findet man u.a. die Verallgemeinerung auf Potenzen des Abstandes.
Die minimalen Konfigurationen unterscheiden sich i.A.!
Für die letzte Option erhalte ich über viele Runs für das selbe N recht viele unterschiedliche Werte; es scheint, als gäbe es unterschiedliche lokale Minima.
Lassen wir das mal weg und konzentrieren uns auf die ersten beiden Fälle.
Dann erhalte ich für N = 3 ... 9 die folgenden Geometrien
| Code: | [(1.73, 3)]
[(1.73, 3)]
[(1.63, 6)]
[(1.63, 6)]
[(1.41, 6), (1.73, 3), (2.0, 1)]
[(1.41, 6), (1.73, 3), (2.0, 1)]
[(1.41, 12), (2.0, 3)]
[(1.41, 12), (2.0, 3)]
[(1.18, 5), (1.41, 5), (1.42, 5), (1.9, 5), (2.0, 1)]
[(1.18, 1), (1.19, 2), (1.2, 2), (1.3, 2), (1.33, 1), (1.34, 1), (1.39, 1), (1.4, 1), (1.47, 1), (1.48, 1), (1.55, 2), (1.87, 2), (1.9, 2), (1.92, 1), (2.0, 1)]
[(1.17, 8), (1.29, 8), (1.66, 4), (1.9, 8)]
[(1.16, 8), (1.3, 8), (1.65, 4), (1.9, 8)]
[(1.14, 12), (1.23, 6), (1.41, 3), (1.73, 3), (1.85, 6), (1.87, 6)]
[(1.14, 12), (1.23, 6), (1.41, 3), (1.73, 3), (1.85, 6), (1.87, 6) |
Die erste Zeile entspricht dem Coulomb-Fall, die zweite dem Abstand.
In den Klammern steht immer der Abstand d mit der jeweiligen Multiplizität #d, also (d, #d). Das Zählen #d ist aufgrund der Numerik etwas heikel.
Man erkennt den Tetraeder und den Oktaeder.
Für N=8 folgt nicht der Würfel sondern https://en.wikipedia.org/wiki/Square_antiprism
Für (einigermaßen) reguläre Polyeder folgen fast immer identische Geometrien, ab N = 7 ist das Ergebnis über mehrere Runs nicht eindeutig.
Hier für N=7 jeweils zehn Runs für den Coulomb-Fall sowie für den euklidischen Anstand; letzterer führt wohl zu verschiedenen lokalen Minima, der Coulomb-Fall bleibt (bis auf Numerik, siehe 4. Run) eindeutig.
| Code: | [(1.18, 5), (1.41, 10), (1.9, 5), (2.0, 1)]
[(1.18, 5), (1.41, 10), (1.9, 5), (2.0, 1)]
[(1.18, 5), (1.41, 10), (1.9, 5), (2.0, 1)]
[(1.18, 5), (1.41, 7), (1.42, 3), (1.9, 5), (2.0, 1)]
[(1.18, 5), (1.41, 10), (1.9, 5), (2.0, 1)]
[(1.18, 5), (1.41, 10), (1.9, 5), (2.0, 1)]
[(1.18, 5), (1.41, 10), (1.9, 5), (2.0, 1)]
[(1.18, 5), (1.41, 10), (1.9, 5), (2.0, 1)]
[(1.18, 5), (1.41, 10), (1.9, 5), (2.0, 1)]
[(1.18, 5), (1.41, 10), (1.9, 5), (2.0, 1)]
[(1.18, 2), (1.19, 1), (1.2, 2), (1.3, 1), (1.31, 1), (1.32, 1), (1.35, 1), (1.37, 1), (1.42, 1), (1.45, 1), (1.51, 1), (1.53, 1), (1.56, 1), (1.86, 1), (1.88, 1), (1.89, 1), (1.91, 1), (1.92, 1), (2.0, 1)]
[(1.18, 2), (1.19, 1), (1.2, 2), (1.3, 1), (1.31, 1), (1.32, 1), (1.35, 1), (1.37, 1), (1.42, 1), (1.45, 1), (1.51, 1), (1.53, 1), (1.56, 1), (1.86, 1), (1.88, 1), (1.89, 1), (1.91, 1), (1.92, 1), (2.0, 1)]
[(1.18, 2), (1.19, 1), (1.2, 2), (1.3, 1), (1.31, 1), (1.33, 1), (1.35, 1), (1.38, 1), (1.41, 1), (1.46, 1), (1.5, 1), (1.54, 1), (1.56, 1), (1.86, 1), (1.87, 1), (1.89, 1), (1.91, 1), (1.92, 1), (2.0, 1)]
[(1.18, 1), (1.19, 2), (1.2, 2), (1.3, 2), (1.33, 1), (1.34, 1), (1.39, 2), (1.48, 2), (1.55, 2), (1.87, 2), (1.9, 2), (1.92, 1), (2.0, 1)]
[(1.18, 2), (1.19, 1), (1.2, 2), (1.3, 1), (1.31, 1), (1.32, 1), (1.35, 1), (1.37, 1), (1.42, 1), (1.44, 1), (1.51, 1), (1.53, 1), (1.56, 1), (1.86, 1), (1.88, 1), (1.89, 1), (1.91, 1), (1.92, 1), (2.0, 1)]
[(1.18, 1), (1.19, 2), (1.2, 2), (1.3, 2), (1.33, 1), (1.34, 1), (1.38, 1), (1.41, 1), (1.46, 1), (1.49, 1), (1.54, 1), (1.56, 1), (1.86, 1), (1.87, 1), (1.9, 1), (1.91, 1), (1.92, 1), (2.0, 1)]
[(1.18, 1), (1.19, 2), (1.2, 2), (1.3, 2), (1.33, 1), (1.34, 1), (1.38, 1), (1.4, 1), (1.47, 1), (1.49, 1), (1.54, 1), (1.55, 1), (1.86, 1), (1.87, 1), (1.9, 1), (1.91,
1), (1.92, 1), (2.0, 1)]
[(1.18, 1), (1.19, 2), (1.2, 2), (1.3, 2), (1.33, 1), (1.34, 1), (1.39, 1), (1.4, 1), (1.48, 2), (1.55, 2), (1.87, 2), (1.9, 2), (1.92, 1), (2.0, 1)]
[(1.18, 1), (1.19, 2), (1.2, 2), (1.3, 2), (1.33, 1), (1.34, 1), (1.39, 2), (1.48, 2), (1.55, 2), (1.87, 2), (1.9, 2), (1.92, 1), (2.0, 1)]
[(1.18, 1), (1.19, 2), (1.2, 2), (1.3, 2), (1.33, 1), (1.34, 1), (1.38, 1), (1.4, 1), (1.47, 1), (1.49, 1), (1.54, 1), (1.55, 1), (1.86, 1), (1.87, 1), (1.9, 1), (1.91,
1), (1.92, 1), (2.0, 1)] |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 20. Dez 2024 15:23 Titel: |
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Hier mal die Mittelpunktswinkel für N = 3 .. 12 sowie der Spezialfall für N = 8
| Code: | 3 [(119.77, 3)] # triangle
4 [(109.17, 6)] # tetrahedron
5 [(89.66, 6), (119.77, 3), (180.0, 1)]
6 [(89.66, 12), (180.0, 3)] # octahedreon
7 [(72.31, 5), (89.66, 10), (143.61, 5), (180.0, 1)]
8 [(71.61, 8), (80.33, 8), (112.2, 4), (143.61, 8)] # square antiprism
9 [(69.5, 12), (75.9, 6), (89.66, 3), (119.77, 3), (135.34, 6), (138.46, 6)]
10 [(64.69, 8), (66.05, 8), (79.58, 8), (115.34, 8), (129.65, 4), (140.1, 8), (180.0, 1)]
11 [(58.68, 4), (59.34, 4), (63.34, 4), (64.69, 2), (68.11, 4), (71.61, 4), (72.31, 1), (80.33, 4), (109.17, 4), (113.23, 1), (114.28, 4), (117.52, 3), (119.77, 4), (123.28, 2), (129.65, 4), (143.61, 2), (160.13, 2), (180.0, 2)]
12 [(63.34, 30), (116.42, 30), (180.0, 6)] # icosahedron
8 [(71.61, 8), (80.33, 8), (112.2, 4), (143.61, 8)] # square antiprism (solution)
8 [(70.2, 12), (109.17, 12), (180.0, 4)] # cube (not a solution) |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1474
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| MBastieK Verfasst am: 20. Dez 2024 18:08 Titel: |
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| Qubit hat Folgendes geschrieben: | | Ich denke, das Coulomb-Potential setzt hier schon einen 3d-Euklidischen Raum voraus. Die Kugeloberfläche ist da Rand-(Zwangs-) Bedingung. |
Auch wenn bei der Raum-Krümmungs-Kraftweg-1-Betrachtung die Kugeloberfläche eine Projektion aus einer höheren Dimension ist, in der sich das Coulomb-Potential ansonsten 3-dimensional entfaltet?
Das verkompliziert die Sache natürlich und sicherlich ist die normalerweise formulierte Problem-Stellung die hier adäquate. Aber ist eine nachträgliche Umformulierung oder Austausch von Termen bei einer programmatischen Umsetzung mit DGLen so herausfordernd? Meine Erfahrung mit DGLen ist recht frisch. Ich kann mir vorstellen, dass eh die selben End-Positionen herauskommen, d.h. das End-Positions-Ergebnisse mathemathisch gleichgesetzt werden können.
Nette Grüsse
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Zuletzt bearbeitet von MBastieK am 20. Dez 2024 21:17, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 20. Dez 2024 21:00 Titel: |
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Man hat zwei unabhängige Wahlmöglichkeiten:
1) die Dimension D des euklidischen Raumes, in den man
2) eine Sphäre der Dimension d einbettet.
Das Coulomb-Potential verhält sich dabei immer gemäß
 \sim r)
 \sim \ln(r))
 \sim r^{-(D-2)})
Das folgt aus der Greenschen Funktion
 \sim k^{-2})
Nimmt man jedoch die d-Sphäre nicht als eingebettet an sondern identifiziert sie mit dem D-dim Raum, so muss man G(k) für d=D auf der Sphäre lösen und erhält andere Funktionen als die oben genannten.
I.A. sind die Lösungen für die Positionen der Ladungen bei unterschiedlichen Potentialen jedenfalls nicht identisch – siehe die Beispiele oben.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 21. Dez 2024 17:14 Titel: |
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Hier mal ein erstes Ergebnis meiner Versuche mit C++, ohne DGLs und normalerweiser formulierter Problem-Stellung. (12 Teilchen, beliebig in Menge und Ladungsstärke setzbar)
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 21. Dez 2024 17:58 Titel: |
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Wandern diese 12 Teilchen dann in die Ikosaeder-Konfiguration? Welchen Algorithmus nutzt du?
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 21. Dez 2024 18:31 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wandern diese 12 Teilchen dann in die Ikosaeder-Konfiguration? |
Das habe ich nicht geprüft. Im Anhang ist das Animations-Script. Am Ende des Scripts sind die ungefähren End-Positionen.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Welchen Algorithmus nutzt du? |
Ich nutze einen euklidischen Kraft-Vektor (Kraft-Weg 2), den ich dann tangential auf die Kugeloberfläche an der anzuwendenen Stelle projeziere*, d.h. am Ort des Teilchens, an dem die Kraft angewandt werden soll.
*Ich nutze 2mal das Kreuzprodukt mit dem Positions-Vektor des Teilchens, auf den die Kraft angewandt werden soll. Der Radius der Kugel ist 1 mit Mittelpunkt 0. Die doppelte Kreuzprodukt-Anwendung will ich nochmal präziser durchdenken.
P.S.
Ich habe noch einen Bug gefunden, der dafür sorgt, dass ein Widerstands-Faktor nicht angewandt wird; deswegen das Zittern.
Nette Grüsse
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
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| DrStupid Verfasst am: 21. Dez 2024 18:57 Titel: |
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Ich habe nochmal einen Anlauf gestartet, die Bewegungsgleichungen in Kugelkoordinaten numerisch zu lösen. Mit einem Runge-Kutta-Nytröm 4. Ordnung hat es geklappt.
Unten ist ein Beispiel mit vier gleichen Ladungen und einer Bremskraft, die linear von der Geschwindigkeit abhängt. Die vier Simulationen starten jeweils aus den gleichen Startpositionen, aber die Bremskraft wird von oben nach unten jeweils um den Faktor 10 verringert.
Davon abgesehen, dass das Ganze mit abnehmender Bremskraft zunehmend chaotisch wird, sieht man im letzten Beispiel auch sehr gut das oben erwähnte Problem, dass die Winkelgeschwindigkeit für phi in der Nähe der Pole gegen unendlich geht. Beides kann zu absurd kleine Schrittweiten führen.
| Beschreibung: |
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 21. Dez 2024 19:18 Titel: |
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Hier mal der C++ Code.
Die Krux ist die Vector3D::getOrthogonalPartOf(...) Funktion, die 2mal das Kreuzprodukt anwendet. Und bei Charge::onSphereAdjustment() bin ich mir auch noch nicht ganz sicher. Diese Version wendet höchstwahrscheinlich die Resistance korrekt an; wurde aber noch nicht ausprobiert.
Edit:
Mein geposteter Code hat übrigens einen entscheidenden Bug in der Vector3D::normalize(...) Methode: ein genutztes 'toLength' verkürzt anstatt verlängert bzw. umgekehrt.
Nette Grüsse
| Beschreibung: |
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„Ein Test für außerordentliche Intelligenz ist die Fähigkeit zwei gegensätzliche Ideen gleichzeitig zu verfolgen, ohne dabei verrückt zu werden.“ - F. Scott Fitzgerald
Was mit Energie-Aufwand gelernt, verteidigt man dementsprechend.
Zuletzt bearbeitet von MBastieK am 22. Dez 2024 11:54, insgesamt einmal bearbeitet |
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DrStupid
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| DrStupid Verfasst am: 21. Dez 2024 19:48 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wandern diese 12 Teilchen dann in die Ikosaeder-Konfiguration? |
Bei mir tun sie es. Hier sind die Abstände:
|r0 - r1| = 1.70130161670408
|r0 - r2| = 1.05146222423827
|r0 - r3| = 1.05146222423827
|r0 - r4| = 1.70130161670408
|r0 - r5| = 1.05146222423827
|r0 - r6| = 2
|r0 - r7| = 1.70130161670408
|r0 - r8| = 1.70130161670408
|r0 - r9| = 1.70130161670408
|r0 - r10| = 1.05146222423827
|r0 - r11| = 1.05146222423827
|r1 - r2| = 1.70130161670408
|r1 - r3| = 1.05146222423827
|r1 - r4| = 1.05146222423827
|r1 - r5| = 2
|r1 - r6| = 1.05146222423827
|r1 - r7| = 1.70130161670408
|r1 - r8| = 1.70130161670408
|r1 - r9| = 1.05146222423827
|r1 - r10| = 1.05146222423827
|r1 - r11| = 1.70130161670408
|r2 - r3| = 1.70130161670408
|r2 - r4| = 1.05146222423827
|r2 - r5| = 1.05146222423827
|r2 - r6| = 1.70130161670408
|r2 - r7| = 1.70130161670408
|r2 - r8| = 1.05146222423827
|r2 - r9| = 2
|r2 - r10| = 1.05146222423827
|r2 - r11| = 1.70130161670408
|r3 - r4| = 1.70130161670408
|r3 - r5| = 1.70130161670408
|r3 - r6| = 1.70130161670408
|r3 - r7| = 1.70130161670408
|r3 - r8| = 2
|r3 - r9| = 1.05146222423827
|r3 - r10| = 1.05146222423827
|r3 - r11| = 1.05146222423827
|r4 - r5| = 1.70130161670408
|r4 - r6| = 1.05146222423827
|r4 - r7| = 1.70130161670408
|r4 - r8| = 1.05146222423827
|r4 - r9| = 1.70130161670408
|r4 - r10| = 1.05146222423827
|r4 - r11| = 2
|r5 - r6| = 1.70130161670408
|r5 - r7| = 1.05146222423827
|r5 - r8| = 1.05146222423827
|r5 - r9| = 1.70130161670408
|r5 - r10| = 1.70130161670408
|r5 - r11| = 1.05146222423827
|r6 - r7| = 1.05146222423827
|r6 - r8| = 1.05146222423827
|r6 - r9| = 1.05146222423827
|r6 - r10| = 1.70130161670408
|r6 - r11| = 1.70130161670408
|r7 - r8| = 1.05146222423827
|r7 - r9| = 1.05146222423827
|r7 - r10| = 2
|r7 - r11| = 1.05146222423827
|r8 - r9| = 1.70130161670408
|r8 - r10| = 1.70130161670408
|r8 - r11| = 1.70130161670408
|r9 - r10| = 1.70130161670408
|r9 - r11| = 1.05146222423827
|r10 - r11| = 1.70130161670408
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 21. Dez 2024 20:14 Titel: |
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👍
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
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| DrStupid Verfasst am: 21. Dez 2024 20:25 Titel: |
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Ich kann die Ladungen mit meinem Algorithmus auch auf konzentrischen Kugeln mit unterschiedlichem Radius schwimmen lassen. Ich habe z.B. mal vier Ladungen auf r=1 und vier weitere auf r=2 gesetzt. Das ergibt auf beiden Kugeln verzerrte Tetraeder, bei denen jeweils zwei Seiten gleichschenklige Dreiecke sind.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 21. Dez 2024 20:33 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Ich kann die Ladungen mit meinem Algorithmus auch auf konzentrischen Kugeln mit unterschiedlichem Radius schwimmen lassen. Ich habe z.B. mal vier Ladungen auf r=1 und vier weitere auf r=2 gesetzt. Das ergibt auf beiden Kugeln verzerrte Tetraeder, bei denen jeweils zwei Seiten gleichschenklige Dreiecke sind. |
Mein Code ist dafür auch geeignet oder vorbereitet. Ein paar kleine Anpassungen oder Korrekturen müssten vielleicht rein.
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 21. Dez 2024 20:51 Titel: |
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Ich schaue mir als nächstes Wanderungen der Ladungen ausgehend von identischen Positionen unter dem Einfluss verschiedener Potentiale an.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 22. Dez 2024 00:42 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Ich kann die Ladungen mit meinem Algorithmus auch auf konzentrischen Kugeln mit unterschiedlichem Radius schwimmen lassen. Ich habe z.B. mal vier Ladungen auf r=1 und vier weitere auf r=2 gesetzt. Das ergibt auf beiden Kugeln verzerrte Tetraeder, bei denen jeweils zwei Seiten gleichschenklige Dreiecke sind. |
Hier mal meine Version davon.
Nette Grüsse
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DrStupid
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| DrStupid Verfasst am: 22. Dez 2024 01:27 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Hier mal meine Version davon. |
Das ist interesant. Es scheint hier zwei Lösungen zu geben. Das sind die Abstände, die ich oben berechnet habe:
|r0 - r1| = 1.42552206227934
|r0 - r2| = 1.72872082410814
|r0 - r3| = 1.40609132690869
|r0 - r4| = 1.9320081084917
|r0 - r5| = 2.91253050085563
|r0 - r6| = 1.75295142726356
|r0 - r7| = 2.75074383313449
|r1 - r2| = 1.84561379251815
|r1 - r3| = 1.42552206227934
|r1 - r4| = 2.93605059069521
|r1 - r5| = 2.22872175413466
|r1 - r6| = 2.22872175413467
|r1 - r7| = 1.78726199144828
|r2 - r3| = 1.72872082410814
|r2 - r4| = 1.91407754246287
|r2 - r5| = 2.06050051072028
|r2 - r6| = 2.06050051072028
|r2 - r7| = 1.93177922388893
|r3 - r4| = 1.93200810849169
|r3 - r5| = 1.75295142726356
|r3 - r6| = 2.91253050085563
|r3 - r7| = 2.75074383313449
|r4 - r5| = 2.99818894043559
|r4 - r6| = 2.99818894043558
|r4 - r7| = 3.78205769694989
|r5 - r6| = 3.84754184065907
|r5 - r7| = 2.45341173798965
|r6 - r7| = 2.45341173798965
Und das ist Deine Version:
|r0 - r1| = 1.63299316185545
|r0 - r2| = 1.63299316185545
|r0 - r3| = 1.63299316185545
|r0 - r4| = 3
|r0 - r5| = 1.91485421551268
|r0 - r6| = 1.91485421551268
|r0 - r7| = 1.91485421551268
|r1 - r2| = 1.63299316185545
|r1 - r3| = 1.63299316185545
|r1 - r4| = 1.91485421551268
|r1 - r5| = 1.91485421551268
|r1 - r6| = 1.91485421551268
|r1 - r7| = 3
|r2 - r3| = 1.63299316185545
|r2 - r4| = 1.91485421551268
|r2 - r5| = 3
|r2 - r6| = 1.91485421551268
|r2 - r7| = 1.91485421551268
|r3 - r4| = 1.91485421551268
|r3 - r5| = 1.91485421551268
|r3 - r6| = 3
|r3 - r7| = 1.91485421551268
|r4 - r5| = 3.2659863237109
|r4 - r6| = 3.2659863237109
|r4 - r7| = 3.2659863237109
|r5 - r6| = 3.2659863237109
|r5 - r7| = 3.2659863237109
|r6 - r7| = 3.2659863237109
Ich habe die Energie zwar nicht berechnet, aber ich wette, meine erste Variante ist ein lokales Minimum.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1474
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| MBastieK Verfasst am: 22. Dez 2024 01:31 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Das ist interesant. Es scheint hier zwei Lösungen zu geben. |
Ich dachte mir ähnliches, da meine Version keine Verzerrung in sich hatte, sondern saubere Symmetrien.
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Das ergibt auf beiden Kugeln verzerrte Tetraeder, bei denen jeweils zwei Seiten gleichschenklige Dreiecke sind. |
Edit:
Ich könnte eine Ladung am Nordpol fixieren, für eine bessere oder geordnetere oder nicht so willkürlich gedrehte Optik. Oder die Kamera etwas angepasster drehen. Vielleicht beim nächsten mal.
P.S.
Mein geposteter Code hat übrigens einen entscheidenden Bug in der Vector3D::normalize(...) Methode: ein genutztes 'toLength' verkürzt anstatt verlängert bzw. umgekehrt.
Nette Grüsse
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Was mit Energie-Aufwand gelernt, verteidigt man dementsprechend.
Zuletzt bearbeitet von MBastieK am 22. Dez 2024 12:01, insgesamt einmal bearbeitet |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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Wohnort: Berlin-Wedding
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| MBastieK Verfasst am: 22. Dez 2024 11:59 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | Es scheint hier zwei Lösungen [zu vier Ladungen auf r=1 und vier weitere auf r=2] zu geben. Das sind die Abstände, die ich oben berechnet habe:
...
...
Und das ist Deine Version:
|
Sie könnten mir ja mal hier Ihre End-Positions-Daten in sphärisch oder kartesisch (egal) posten. Dann nutze ich die mal als meine Anfangs-Positions-Daten und schaue ob sie unverändert bleiben.
Nette Grüsse
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Zuletzt bearbeitet von MBastieK am 22. Dez 2024 12:22, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
|
| TomS Verfasst am: 22. Dez 2024 12:19 Titel: |
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Ich schaue mir z.Zt. optimale Polyeder bzgl. verschiedener Potentiale an. Die Polyeder P mit Ecken p bezeichne ich als
; \; n = 1 \ldots N )
Q analog.
Die Optimierung für zwei verschiedenen Potentiale ausgehend von derselben Ausgangskonfiguration bezeichne ich als M, N
Dabei ist
 = \left( \prod_{i=1}^I m_n^i \right) = \left( M_n \right) )
 \to P^i = (p_n^{i+1}) = (m_n^i p_n^i))
N analog.
Für die einzelnen Optimierungsschritte bzw. die gesamte Transformation eines Punktes n gilt
)
)
und somit
^N)
In vielen Fällen liefern die unterschiedlichen Potentiale sehr ähnliche optimale Polyeder P und Q, die bzgl. einer geeigneten Norm
mit kleinem epsilon genügen.
Das gilt jedoch nicht für eine Darstellung am Computer, bei der verschiedene Nummerierungen der Ecken unterschieden werden. Die Darstellung der Polyeder P und Q unterscheiden sich ggf. um eine beliebige Permutation
der Ecken sowie um eine globale Rotation der Polyeder als ganzem.
)
D.h. man müsste die Norm dadurch minimieren, dass man pi und Omega geeignet bestimmt d.h.
 \, P_0 \| \le \epsilon)
betrachtet.
Prinzipiell ist das möglich, praktisch scheitert es jedoch für große N und damit N! Man findet pi nicht.
Omega würde man anschließend mittels
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_Procrustes_problem
bestimmen.
Deswegen implementiere ich statt der o.g. Vorgehensweise für P, Q
 )
für Q zusätzlich je Schritt i eine Rotation
 )
wobei ich – nach der unabhängigen Optimierung für P, Q mittels m und n – mittels geeignetem kleinen omega die Norm
minimiere, um zu verhindern, dass P und Q auseinanderlaufen.
Man muss sich das so vorstellen, dass je Schritt i in m, n jeweils eine beliebige kleine globale Rotation omega(P), omega(Q) enthalten sein kann, so dass die Darstellungen der Polyeder auseinanderlaufen, obwohl sie modulo dieser globalen Symmetrie tatsächlich eng beieinanderbleiben.
Für bestimmte Optimierungsverfahren könnte dies je Schritt auch für Permutationen gelten; ich betrachte jedoch speziell das Gradientenverfahren, da sollte dies nicht der Fall sein.
Mal sehen, was dabei herauskommt …
Zuletzt bearbeitet von TomS am 26. Dez 2024 17:26, insgesamt 4-mal bearbeitet |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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Wohnort: Berlin-Wedding
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| MBastieK Verfasst am: 22. Dez 2024 13:02 Titel: |
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Hier nochmal das Ikosaeder in schick und unbugged. Die einzigen und markanten drei Abstandswerte sind bei mir auch
1.05146
1.7013
2.0
Nette Grüsse
| Beschreibung: |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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|
| TomS Verfasst am: 22. Dez 2024 13:08 Titel: |
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👍
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
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|
| DrStupid Verfasst am: 22. Dez 2024 13:30 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Sie könnten mir ja mal hier Ihre End-Positions-Daten in sphärisch oder kartesisch (egal) posten. |
Gleichgewichtspositionen in kartesischen Koordinaten:
Particle 0: (0.661941572794902, -0.392351776225047, -0.638665356739241)
Particle 1: (0.73064352006529, 0.66178980830995, 0.167911572572237)
Particle 2: (-0.785972513937296, -0.181790889540631, -0.590930858743316)
Particle 3: (-0.514883394256225, 0.586148494091974, 0.625559775875095)
Particle 4: (1.2124247566711, -0.494900335594715, 1.5116546785689)
Particle 5: (-0.191151035607303, 1.48429786306048, -1.32677094304192)
Particle 6: (-1.37182531679979, -0.798801128663407, 1.21655746145969)
Particle 7: (0.0441792619569695, -1.97617321191853, -0.304610619165758)
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5740
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| DrStupid Verfasst am: 22. Dez 2024 13:42 Titel: |
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|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | In vielen Fällen liefern die unterschiedlichen Potentiale sehr ähnliche optimale Polyeder P und Q, die bzgl. einer geeigneten Norm
mit kleinem epsilon genügen. |
Das könnte daran liegen, dass die Potentiale ähnlich sind. Nimm doch mal ein Lennard-Jones-Potential mit rm<<r. Dabei kommt sicher etwas ganz anderes heraus.
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5740
|
| DrStupid Verfasst am: 22. Dez 2024 15:41 Titel: |
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In der Animation sieht man sehr gut, was bei der asymmetrischen Konfiguration auf zwei Kugeln passiert. Die Ladungen auf der äußeren Kugel hängen alle auf einer Seite fest. Um ins globale Minimum zu kommen, müsste eine davon auf die andere Seite. Aber dazwischen liegt ein Potentialwall, der von drei der inneren Ladungen gebildet wird.
| Beschreibung: |
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| Angeschaut: |
5603 mal |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1474
Wohnort: Berlin-Wedding
|
| MBastieK Verfasst am: 22. Dez 2024 16:35 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Gleichgewichtspositionen in kartesischen Koordinaten: |
Ihre geposteten Anfangs-Koordinaten führen bei mir keine Bewegung aus.
Das scheinen aber andere Koordinaten zu sein, als in Ihrem Gif. Die 4 Teilchen auf der unteren Ebene bei den geposteten Anfangs-Koordinaten scheinen fast auf dem Äquator.
Nette Grüsse
| Beschreibung: |
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1.73 MB |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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|
| MBastieK Verfasst am: 22. Dez 2024 16:53 Titel: |
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Folge-Beitrag
Wenn ich bei Ihren geposteten Anfangs-Koordinaten die Teilchen von der unteren Ebene auf die obere projeziere und die oberen auf die untere Ebene und dann ausführe, findet eine minimale Bewegung statt, aber die End-Positionen sind fast gleich.
Nette Grüsse
| Beschreibung: |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
|
| TomS Verfasst am: 22. Dez 2024 17:11 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | In vielen Fällen liefern die unterschiedlichen Potentiale sehr ähnliche optimale Polyeder P und Q, die bzgl. einer geeigneten Norm
mit kleinem epsilon genügen. |
Das könnte daran liegen, dass die Potentiale ähnlich sind. Nimm doch mal ein Lennard-Jones-Potential mit rm<<r. Dabei kommt sicher etwas ganz anderes heraus. |
Das kann schon sein, aber so ähnlich sind die Potentiale ~ r und ~ 1/r nicht.
Ich bin noch dabei, das zu implementieren – werde aber aktuell auch beim Weihnachtsbaum etc. gebraucht.
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 23. Dez 2024 00:35 Titel: |
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Wenn ich 12 Teilchen auf einer Kugel-Ebene mit Kraft-Weg 1 berechne, d.h. wo die Distanz und der natürlich tangentiale Kraft-Vektor der Raumkrümmungs-Geodäte auf der Kugel genutzt wird, dann erhalte ich auch ein Ikoaeder mit den typischen Werten:
1.05
1.70
2.0
Aber nur auf 2 Stellen nach dem Komma. Kraft-Weg 2 ist auf 5 Stellen nach dem Komma genau.
Nette Grüsse
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„Ein Test für außerordentliche Intelligenz ist die Fähigkeit zwei gegensätzliche Ideen gleichzeitig zu verfolgen, ohne dabei verrückt zu werden.“ - F. Scott Fitzgerald
Was mit Energie-Aufwand gelernt, verteidigt man dementsprechend. |
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 23. Dez 2024 16:17 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Man hat zwei unabhängige Wahlmöglichkeiten:
1) die Dimension D des euklidischen Raumes, in den man
2) eine Sphäre der Dimension d einbettet.
Das Coulomb-Potential verhält sich dabei immer gemäß
...
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Ist die untere Formel korrekt?
Sie erzeugt ja auch die obere für D=1; diese Redundanz erzeugt etwas Skepsis.
Nette Grüsse
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 23. Dez 2024 22:32 Titel: |
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Wenn ich 5 oder 7 Teilchen auf einer Kugel nehme, dann bekomme ich für Kraft-Weg 1 oder Kraft-Weg 2 die selben Abstands-Ergebnisse. Bei 9 Teilchen gibt es gewisse Gleichheiten, aber auch Unterschiedlichkeiten.
Nette Grüsse
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TomS
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| TomS Verfasst am: 23. Dez 2024 23:14 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | Das Coulomb-Potential verhält sich dabei immer gemäß
...
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Ist die untere Formel korrekt?
Sie erzeugt ja auch die obere für D=1; diese Redundanz erzeugt etwas Skepsis. |
Ich wollte nur die Spezialfälle D = 1,2 hervorheben.
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 24. Dez 2024 07:34 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | In vielen Fällen liefern die unterschiedlichen Potentiale sehr ähnliche optimale Polyeder P und Q, die bzgl. einer geeigneten Norm
mit kleinem epsilon genügen. |
Das könnte daran liegen, dass die Potentiale ähnlich sind. Nimm doch mal ein Lennard-Jones-Potential mit rm<<r. Dabei kommt sicher etwas ganz anderes heraus. |
Du hast für die meisten Fälle natürlich recht.
Die interessante Frage ist dann: Unter welchen Bedingungen können für unterschiedliche Potentiale die selben Polyeder folgen?
Ich formuliere das Extremalproblem auf der Sphäre S² zunächst als
Ersteres verwendet direkt den sphärischen Gradienten, letzteres besagt, dass für den Gradienten im 3-dim. euklidischen Raum noch eine Projektion E auf die S² erforderlich ist.
Dies entspricht für jedes n einem Kräftegleichgewicht
wobei F die Beträge der Kräfte und e die normierten Richtungsvektoren zwischen m und n bezeichnet.
Für Polyeder mit endlich vielen Ecken – damit endlich vielen verschiedenen paarweisen Abständen d und Beträgen von Kräften F – zerfällt dies je Punkt n in eine Summe über die Kanten (mn) von Graphen G(d) mit jeweils identischen Kantenlängen d:
 \sum_{(mn) \in G_n(d)} e_{mn})
Die Normierung der Richtungsvektoren definiert mittels der Polyederpunkte
)
packe ich in eine Funktion f(d).
Damit folgt
 \sum_{(mn) \in G_n(d)} e_{mn} = \sum_d F(d) \, f^{-1}(d) \sum_{(mn) \in G_n(d)} (e_m - e_n) )
Mittels Projektion auf die Tangentialflächen je n erhält man
 \, f^{-1}(d) \, E_n \, s_n(d) = 0 )
mit
 = \sum_{(mn) \in G_n(d)} e_m)
Identische Polyeder liefern zu verschiedenen Kräften bzw. Potentialen im Allgemeinen nur dann Kräftegleichgewicht, wenn dies je Graph zu Abstand d und Punkt n gilt.
Daraus folgt die rein geometrische und sehr allgemeine Bedingung
 = 0)
Wenn diese Bedingung für erfüllt ist, dann liefert das Extremalproblem für eine große Klasse verschiedener Potentiale immer den selben Polyeder als Lösung.
Das umfasst auch den Fall des sphärischen Gradienten auf der S² mit c = 0, sowie verschiedene Abstandsbegriffe wie z.B. den 3-dim. euklidischen Abstand oder den Abstand entlang von Großkreisen auf der S².
Ich schaue mir als nächstes derartige Graphen in verschiedenen Polyedern an.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 26. Dez 2024 17:21, insgesamt 8-mal bearbeitet |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5740
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| DrStupid Verfasst am: 25. Dez 2024 13:41 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Vier gleiche Ladungen liefern eine Lösung, einen Tetraeder. |
Das lässt sich offenbar nicht auf beliebig viele Ladungen verallgemeinern. Mit 15 gleichen Ladungen habe ich eine chirale Lösung erhalten:
<0.0395642604326893,0.933521178947358,-0.356332538162246>
<0.277773411757278,0.658962125902073,0.699007044562029>
<0.861373259735718,-0.20265734219585,-0.465796209802503>
<-0.448515899838698,-0.852955031449255,0.267022849054689>
<0.142132953025497,-0.727081816579792,-0.671677196027438>
<-0.647205967643376,-0.471103370918254,-0.599321323962579>
<-0.983522315290978,-0.0871169771546263,0.158412397292995>
<0.483218984659048,-0.864323636805311,0.139441972607676>
<0.868148121329735,-0.0439679997787819,0.494353774565446>
<-0.670916164461642,0.419049440668,-0.611775339924646>
<0.169913583608763,-0.436576692555847,0.883476182826807>
<-0.558301885971882,0.779016515266569,0.285363405261032>
<-0.480373186754638,0.0838410545430434,0.873047695730482>
<0.17074248808142,0.193992905547182,-0.966029893616718>
<0.775968357331064,0.617399646563492,-0.129192820405025>
In der folgenden Abbildung ist gut zu erkennen, wie zwei gegenüberliegende Seitenflächen nach rechts gegeneinander verdreht sind (Kanten gleicher Farbe haben die gleiche Länge). Es gibt eine spiegelbildliche Konfiguration, in der sie um den gleichen Winkel nach links verdreht sind. Beide Gleichgewichte haben die gleiche Energie, aber sie sind trotzdem eindeutg unterscheidbar und lassen sich nicht durch Rotation ineinander überführen.
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