Fluss durch Kugeloberfläche

ushi · Anmeldungsdatum: 10.11.2007 Beiträge: 111

hallo

ich möchte den fluss durch eine kugeloberfläche für folgendes feld berechnen:

die kugeloberfläche ist beschrieben durch:

als vektorprodukt hab ich:

ich würde das gern in kugelkoordinaten umwandeln. muss ich da einfach ersetzen mit:

also ich mein überall wo ein x steht das da einsetzen.

??? grübelnd

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Hallo ushi.

Du kannst das natürlich so machen, wie von Dir vorgeschlagen. Die Rechnung ist aber in diesem speziellen Fall einfacher, wenn Du kartesische Koordinaten beibehältst. Wie muß der Normalenvektor in kartesischen Koordinaten aussehen und was folgt für das Skalarprodukt?

Du müßtest hier nicht einmal viel rechnen, sondern nur das Skalarprodukt ganz scharf anschauen.

ushi · Anmeldungsdatum: 10.11.2007 Beiträge: 111

also normiert müsste der normalenvektor lauten:

für das skalarprodukt folgt:

cool. weiter:

is das das richtige ergebnis?

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Der Normalenvektor ist bei Dir noch ohne Normierung; bei der Kugel schreibt man auch

Dein Ergebnis ist richtig. Es geht sogar sogar noch schneller: durch das Kreuzprodukt gilt

, also muß das Skalarprodukt beider Ausdrücke verschwinden.

Ich habe noch eine Nachfrage. Bist Du bei der Berechnung des Flusses auf die Methode über die Oberfläche festgelegt? Wenn nicht, hätte man bei der letzten Aufgabe (die mit der komplexen Integration) auch das Gauß'sche Gesetz anwenden können Augenzwinkern

.

ushi · Anmeldungsdatum: 10.11.2007 Beiträge: 111

du meinst also:

das ist eine sehr schöne variante danke.

(der vollständigkeit halber) der normalenvektor:

mein drittes feld ist gegeben durch:

das geht doch auch mit dem gauß!? das hätte ich ja auch beim ersten schon machen können. Hammer

deswegen war das ganz zufällig auch vorher dran.

ushi · Anmeldungsdatum: 10.11.2007 Beiträge: 111

also gut:

wie mach ich das mit den grenzen?

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Der Ansatz ist soweit gut gewählt. Wandle die Koordinaten x und y das Volumenelement in Kugelkoordinaten um. Du wirst feststellen, daß sich das Dreifachintegral separieren läßt. Schau Dir die Integration nach

genauer an. Siehst Du, warum sich die Rechnung einfach gestaltet?

ushi · Anmeldungsdatum: 10.11.2007 Beiträge: 111

ok

stimmt das soweit? wenn ja, dürfte ich den rest allein schaffen.

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Statt b muß der variable Radius r im Integranden stehen.

Ich schlage vor, daß Du zuerst die Integration nach

anschaust. Weißt Du aus dem Kopf was für die Integration einer Sinus- bzw. Kosinuskurve über eine volle Periode herauskommt?

ushi · Anmeldungsdatum: 10.11.2007 Beiträge: 111

na für sin wäre es -1 und für cos 0.

dann bleibt:

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Nein, es ist doch

Von den Winkelfunktionen ist ja genausoviel Fläche über der Achse, wie unterhalb. Bedenke also nochmals Deine Rechnung. Vergiß nicht, daß es auch einen Term im Integranden gibt, der nicht von

abhängt.

ushi · Anmeldungsdatum: 10.11.2007 Beiträge: 111

ach du schande. ja du hast recht. dann siehts ja wirklich besser aus.

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

So ist es besser Thumbs up!

.

ushi · Anmeldungsdatum: 10.11.2007 Beiträge: 111

gut danke. jetzt der alles entscheidende und letzte schritt:

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Hoppla, da ist ein Faktor zwei verlorengegangen. Erinnere Dich wo das verbliebene Integral herkommt:

Es muß also das Volumen einer Kugel mit Radius b herauskommen.

ushi · Anmeldungsdatum: 10.11.2007 Beiträge: 111

ich glaub du verwechselst da was. oder kann ich dir gerad nicht folgen?

wir gehen doch von:

aus.

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Richtig, aber wir haben doch festgestellt, daß

.

ushi · Anmeldungsdatum: 10.11.2007 Beiträge: 111

ok das seh ich alles ein. ich kann den fehler allerdings nirgends finden.

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Es ist

Alles klar Big Laugh

?

ushi · Anmeldungsdatum: 10.11.2007 Beiträge: 111

ja cool. ich habs auch gerade gefunden. danke. danke. danke.

ich hab für heut noch eine allerletzte frage (müsste schnell gehen):

mit

und S ist die halbkugel

da stokes meinte, dass das obige integral für alle flächen S, die den selben rand haben, identisch ist, dachte ich, mach ich aus der halbkugel den kreis:

und

so. alles zusammen in polarkoordinaten:

stimmt das so?

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Die x-Komponente der Rotation ist null (das ändert aber an der weiteren Rechnung nichts). Beim Flächenelement mußt Du den Radius r einsetzen und nicht a.

ushi · Anmeldungsdatum: 10.11.2007 Beiträge: 111

is das so korrekt?

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Richtig

.

ushi · Anmeldungsdatum: 10.11.2007 Beiträge: 111

ok das solls für heut gewesen sein. ich bedanke mich wieder einmal recht herzlich bei dir. es ist eine sehr angenehme zusammenarbeit.