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Erklärung des Interaktionsterms im Spin-Boson Modell
 
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Corbi



Anmeldungsdatum: 17.07.2018
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Beitrag Corbi Verfasst am: 29. März 2024 11:49    Titel: Erklärung des Interaktionsterms im Spin-Boson Modell Antworten mit Zitat

Das Spin-Boson Modell wird auf dem Raum durch den folgenden Hamiltonian definiert:




hierbei ist F der bosonische Fock-Raum, der Hamiltonian des freien Bosonenfelds, die sigmas sind die Pauli-Matrizen, und a und a^* sind die Erzeuger und Vernichter, v ist ein vektor im Einteilchenhilbertraum.

Kann mir jemand eine intuitive/heuristische Erklärung geben wie genau der Interaktionsterm hier zustande kommt?

Beschreibt die Summe aus a* und a hier, dass bei einer Interaktion jeweils ein Teilchen mit dem Zustand v erzeugt oder vernichtet werden kann?

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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach


Zuletzt bearbeitet von Corbi am 29. März 2024 13:12, insgesamt einmal bearbeitet
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 29. März 2024 12:19    Titel: Antworten mit Zitat

Ich verstehe die Notation nicht. Einmal ist F ein Raum, dann ist es ein Operator zur Konstruktion von H. Einen Fock-Raum sehe ich bei nur einem bosonischen Freiheitsgrad auch nicht.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.


Zuletzt bearbeitet von TomS am 29. März 2024 12:25, insgesamt einmal bearbeitet
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 29. März 2024 12:24    Titel: Antworten mit Zitat

Ist das nicht einfach



Corbi hat Folgendes geschrieben:
Kann mir jemand eine intuitive/heuristische Erklärung geben wie genau der Interaktionsterm hier zustande kommt?

Beschreibt die Summe aus a* und a hier, dass bei einer Interaktion jeweils ein Teilchen mit dem Zustand v erzeugt oder vernichtet werden kann?

Es ist zunächst der einfachste Ansatz, die beiden Spin-Zustände zu koppeln. Die Summe der bosonischen Operatoren liefert den Ortsoperator.

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Corbi



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Beitrag Corbi Verfasst am: 29. März 2024 13:20    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Ich verstehe die Notation nicht. Einmal ist F ein Raum, dann ist es ein Operator zur Konstruktion von H. Einen Fock-Raum sehe ich bei nur einem bosonischen Freiheitsgrad auch nicht.


ja hier habe ich mich vertippt.

Okay, ich habe mich jetzt viel mit der mathematischen Operatortheorie des Modells befasst aber ich bin nicht mehr so ganz fit mit der physikalischen Interpretation in der QFT.

Also a+a^* ist die Impulsraumdarstellung, dessen was man auch als Feldoperator bezeichnet und wenn ich den Erwartungswert davon berechne erhalte ich den Erwartungswert der Feldstärke des Bosonenfelds?

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TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 29. März 2024 13:50    Titel: Antworten mit Zitat

Geht es wirklich um QFT?

Dann hättest du ja





Aber du hast doch nur einen bosonischen Freiheitsgrad, keine Summe über k, keinen Fockraum …

Den ungestörten Hamiltonian kannst du schreiben als



wobei die beiden letzteren einfach die Einträge



in der 11- bzw. 22-Komponente der 2*2-Matrix haben.

Wenn ich die 2er-Spinoren der Einfachheit halber als Zeilenvektoren schreibe, dann hast du für den ungestörten Hamiltonoperator die Eigenzustände



mit



d.h. einfach zweimal die Zustände eines harmonischen Oszillators, einmal in der oberen Spinorkomponente und unten Null, einmal in der unteren Spinorkomponente und oben Null.

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Zuletzt bearbeitet von TomS am 29. März 2024 14:05, insgesamt 2-mal bearbeitet
Corbi



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Beitrag Corbi Verfasst am: 29. März 2024 14:03    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Geht es wirklich um QFT?

Dann hättest du ja





ja es geht um QFT. Wie gesagt ist der Hamiltonian des freien Bosonenfelds.

Warum hast du eine Summe der Erzeuger/Vernichter? Ich kenne den Spin-Boson Hamiltonian so wie er hier (https://arxiv.org/pdf/2102.13373.pdf) z.B. in Gleichung 2.8 definiert wird.

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Beitrag Corbi Verfasst am: 29. März 2024 14:05    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Geht es wirklich um QFT?

Dann hättest du ja





Aber du hast dich nur einen bosonischen Freiheitsgrad, keine Summe über k, keinen Fockraum …



Ich habe doch oben geschrieben, dass ich den Fock-Raum und darauf den Bosonischen Hamiltonian betrachte.

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Beitrag TomS Verfasst am: 29. März 2024 14:06    Titel: Antworten mit Zitat

Aber das sehe ich der Notation für dein H nicht an.
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Beitrag Corbi Verfasst am: 29. März 2024 14:14    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Aber das sehe ich der Notation für dein H nicht an.


verstehe ich nicht. Das ist mathematische Standardnotation und ich schreibe explizit hin welchen Raum und welche operatoren ich betrachte. Siehe zum Beispiel https://doi.org/10.1515/9783110403541 wenn dir der Artikel nicht reicht.

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Beitrag TomS Verfasst am: 29. März 2024 15:34    Titel: Antworten mit Zitat

Sorry, ich sehe es deiner Notation wirklich nicht an.

Wenn ich Fock-Raum lese, dann denke ich eben im Sinne von "Summe über die Moden".

Also heißt das, du meinst



Falls ja, dann bleibt zumindest die Zerlegung von H_0 in die Terme und deren getrennte Lösung gültig. Der Wechselwirkungsterm koppelt diese natürlich.

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Beitrag Corbi Verfasst am: 30. März 2024 17:11    Titel: Antworten mit Zitat

Ich konnte es mir mittlerweile selbst erklären.

a(v)+a^*(v) ist der Feldoperator dargestellt im Impulsraum und die Fouriertransformation von v in L^2(R^d) beschreibt die Verteilung des delokalisierten Spin-Teilchens.

Das Teilchen, das den Spin trägt muss hier delokalisiert (also v in L^2(R^d)) sein, da man sonst keinen Selbst-adjungierten Hamiltonian erhält (nach Anwendung des Kato-Rellich-Theorems).

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Beitrag TomS Verfasst am: 30. März 2024 17:32    Titel: Antworten mit Zitat

Corbi hat Folgendes geschrieben:
Ich konnte es mir mittlerweile selbst erklären.

Und ich verstehe die Notation immer noch nicht.

Corbi hat Folgendes geschrieben:
a(v)+a^*(v) ist der Feldoperator dargestellt im Impulsraum und die Fouriertransformation von v in L^2(R^d) beschreibt die Verteilung des delokalisierten Spin-Teilchens.

Dass das irgendwie den Feldoperator liefern soll ist mir schon klar; aber was ist denn nun das v?

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Beitrag Corbi Verfasst am: 31. März 2024 00:27    Titel: Antworten mit Zitat

Was genau verstehst du an der Notation nicht?

Mathematisch betrachtet sind Erzeuger und Vernichter nur für L^2-Funktionen im Argument definiert.



wobei die n-te Komponente eines Fock-Raum Vektors ist. Der Erzeuger wird analog nur durch ein Element in L^2 definiert.

Formal schreibt man dafür denke ich auch gerne


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Beitrag TomS Verfasst am: 31. März 2024 08:34    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn ich dich richtig verstehe, dann ist das nichts anderes als meine Notation, ergänzt um die zusätzlichen Angabe der Eigenschaften des der Fockraum-Quantisierung zugrundeliegenden Funktionensystems. Ok, das ergibt Sinn.
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Beitrag Corbi Verfasst am: 31. März 2024 16:16    Titel: Antworten mit Zitat

Okay sehr gut.

Meine Ursprüngliche Frage hat nun mitunter darauf abgezielt was die physikalische Interpretation der Funktion v in diesem Zusammenhang ist.

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TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 31. März 2024 18:11    Titel: Antworten mit Zitat

Und das war für mich in den Funktionen in



enthalten, wobei zunächst ein VONS vorliegen muss, häufig an die jeweilige Symmetrie angepasst.

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