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Flieger_Matze
Anmeldungsdatum: 21.07.2023
Beiträge: 4
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 Flieger_Matze Verfasst am: 21. Jul 2023 10:58 Titel: Wärmestrahlung zwischen zwei Körpern |
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Meine Frage:
Man stelle sich eine sehr große, dünnwandige, schwarze Hohlkugel im (dunklen, leeren) Vakuum vor. Von innen wird die Kugel mit einer Leistung von 460 W/m2 bestrahlt. Als idealer Schwarzkörper absorbiert die Kugel die Energie und erwärmt sich auf 300 K (nach Stefan-Boltzmann). Sie ist dann im Gleichgewicht. Zugeführte Energie = abgegebener Energie in den leeren Raum drumherum.
Jetzt installiert man eine geringfügig größere Hohlkugel um die erste herum. Es ist ein gewisser Abstand zwischen beiden Hohlkugeln, der im Verhältnis zum Durchmesser aber sehr gering ist, so daß beide Kugeln nahezu gleiche Oberflächen haben.
Die Innenwand der äußeren Kugel wird jetzt von der inneren Kugel bestrahlt, erwärmt sich und gibt wiederum Energie in den leeren Raum drumherum ab.
Frage: Nachdem sich eine Gleichgewicht eingestellt hat, welche Temperaturen haben die innere und die äußere Kugel?
Meine Ideen:
Ich würde sagen beide bei 300K. Allerdings strahlt die äußere Kugel ja IR zurück zur inneren Kugel.... |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 21. Jul 2023 11:17 Titel: |
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Genau, die äussere Hohlkugel strahlt die Hälfte der Leistung, die auf sie von der inneren Hohlkugel her auftrifft, wieder nach innen ab. Dadurch erwärmt sich die innere Hohlkugel stärker. Man kann also eine Gleichung aufstellen für das thermische Gleichgewicht der inneren Kugel: auf sie fallen (netto) die 460W/m^2 von innen und zusätzlich die Hälfte der nach aussen abgestrahlten Leistung. Die abgestrahlte Leistung ergibt sich aus dem Gesetz von Stefan-Boltzmann. |
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Flieger_Matze
Anmeldungsdatum: 21.07.2023
Beiträge: 4
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| Flieger_Matze Verfasst am: 21. Jul 2023 12:17 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Genau, die äussere Hohlkugel strahlt die Hälfte der Leistung, die auf sie von der inneren Hohlkugel her auftrifft, wieder nach innen ab. Dadurch erwärmt sich die innere Hohlkugel stärker. Man kann also eine Gleichung aufstellen für das thermische Gleichgewicht der inneren Kugel: auf sie fallen (netto) die 460W/m^2 von innen und zusätzlich die Hälfte der nach aussen abgestrahlten Leistung. Die abgestrahlte Leistung ergibt sich aus dem Gesetz von Stefan-Boltzmann. |
Hallo Myon,
Danke für die Antwort.
Wenn ich es mir so überlege, dann muß(!) die äußere Hohlkugel ja eine Temperatur von 300 K haben. Ganz genau etwas weniger, da sie eine größere Oberfläche als die innere Hohlkugel hat. Es werden ja im Inneren (ob mit oder ohne innere Hohlkugel) 460 W/m2 zugeführt die bei 300 K in den äußeren Raum abgestrahlt werden. Dann müßte ja die innere Kugel wärmer sein als die äußere und das beständig? Ist das dann im Gleichgewicht? |
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Flieger_Matze
Anmeldungsdatum: 21.07.2023
Beiträge: 4
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| Flieger_Matze Verfasst am: 21. Jul 2023 12:50 Titel: |
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Das wären dann für die innere Kugel 920W/m2 was einer Temperatur von 357K entspricht.
Wenn man jetzt eine dritte Hohlkugel als äußere installiert, dann hätte diese 300K, die mittlere 357K un d die innere 395K (460W/m2 + 920W/m2).
Wenn man das immer weiter kaskadiert wird es im Inneren immer heißer? |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 21. Jul 2023 13:02 Titel: |
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| Flieger_Matze hat Folgendes geschrieben: | | Wenn man jetzt eine dritte Hohlkugel als äußere installiert, dann hätte diese 300K, die mittlere 357K un d die innere 395K (460W/m2 + 920W/m2). |
Die innere Kugel müsste, wenn ich mich nicht täusche, sogar 424K haben (4*460W/m2), und ja, bei mehr Schichten würde die Temperatur der innersten Schale immer höher.
edit: Nein, Du hast recht, die innere Kugel hätte eine Temperatur von 395K, entsprechend 920W/m2+460W/m2.
Zuletzt bearbeitet von Myon am 21. Jul 2023 13:05, insgesamt einmal bearbeitet |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 21. Jul 2023 13:02 Titel: |
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| Flieger_Matze hat Folgendes geschrieben: | | Dann müßte ja die innere Kugel wärmer sein als die äußere und das beständig? Ist das dann im Gleichgewicht? |
Genau genommen ist es ein stationärer Zustand, weil Energie von innen nach außen fließt und dann in der Umgebung verschwindet. Man kann das Ganze übrigens sehr einfach für beliebig viele Schalen verallgemeinern. Wenn man sie von außen nach innen durchnummeriert und T1 die Temperatur der äußeren Schale ist, dann gilt für die Temperatur der n-ten Schale
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 21. Jul 2023 13:16 Titel: |
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Ist die Temperatur der n-ten Schale, abgesehen von der innersten, nicht gleich
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 21. Jul 2023 13:31 Titel: |
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Im stationären Zustand fließt durch alle Schalen die gleiche Leistung nach außen, die innen produziert und von der äußeren Schale in die Umgebung abgestrahlt wird. Dazu muss die Differenz der Strahlungsleistungen zwischen benachbarten Schalen der Strahlungsleistung der äußeren Schale (bzw. der Heizleistung im Inneren) entsprechen. Die Strahlungsleistung nimmt also von außen nach innen linear zu. Das führt zur Proportionalität mit der vierten Wurzel der Anzahl. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 21. Jul 2023 13:45 Titel: |
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M. E. muss sich die abgestrahlte Leistung jeweils verdoppeln, denn die nächstinnere Schale strahlt ihre Strahlung jeweils nach innen und nach aussen ab.
Wenn es also insgesamt t Schalen gibt, müsste gelten
und für die innerste Schale
T_1) |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 21. Jul 2023 16:43 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Dazu muss die Differenz der Strahlungsleistungen zwischen benachbarten Schalen der Strahlungsleistung der äußeren Schale (bzw. der Heizleistung im Inneren) entsprechen. |
So, hab das nochmals überdacht, und Du hast recht. Ich habe einen Blödsinn überlegt. Rein gefühlsmässig kam es mir schon vorher etwas seltsam vor, dass die Temperatur gegen innen so stark ansteigen würde. |
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Flieger_Matze
Anmeldungsdatum: 21.07.2023
Beiträge: 4
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| Flieger_Matze Verfasst am: 21. Jul 2023 17:02 Titel: Vielen Dank an alle… |
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…hat mir sehr geholfen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 21. Jul 2023 18:16 Titel: |
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Nochmal für mich zum Mitdenken.
Die n-te Kugelschale absorbiert die von der (n-1)-ten radial auslaufende (+) sowie die von der (n+1)-ten radial einlaufende (-) Leistung.
Im Gleichgewicht entspricht die von der n-ten Kugelschale insgesamt absorbierten Leistung der von dieser Kugelschale insgesamt emittierten Leistung - d.h. der Summe der von der n-te Kugelschale nach innen (-) sowie die nach außen (+) emittierten Leistung.
Die von der n-te Kugelschale nach innen (-) sowie die nach außen (+) emittierten Leistungen sind gleich
(+- entfällt; die gesamte abgestrahlte Leistung folgt mittels Faktor 2, betrachte ich zunächst nicht)
Damit folgt
Für die erste Kugelschale gilt
wobei P₀ fest ist.
Für die letzte d.h. N-te Kugelschale gilt
OK?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 21. Jul 2023 18:55 Titel: |
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Für die N-te, innerste Kugelschale habe ich für mich gesetzt
mit der Bestrahlungsstärke E=460W/m2 von innen und A der Kugeloberfläche. Die innerste Schale strahlt auch nach innen, aber, davon bin ich ausgegangen, diese Strahlung wird auch wieder von der innersten Schale absorbiert.
PS: Ah, ich glaube, bei Dir (TomS) wird die innerste Schale mit n=1 bezeichnet. So gesehen wäre
Ich bin davon ausgegangen, dass die 460W/m2 die von aussen, z.B. mittels elektrischem Strom, gelieferte Leistung ist. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 21. Jul 2023 19:31 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Für die letzte d.h. N-te Kugelschale gilt
OK? |
Ja, das ist der Fall für eine hinreichend kalte Umgebung, von dem ich oben auch ausgegangen bin. Wenn Du das Gleichungssystem rückwärts aufdröselst, dann ergibt das
wobei das i meiner Nummerierung oben entspricht. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 21. Jul 2023 22:57 Titel: |
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Ich formuliere mein Unbehagen mal wie folgt.
Zunächst nummeriere ich jetzt ebenfalls von außen nach innen. Die Strahlungsleistung der äußersten Kugelschale i=1 ist gesucht, die der innersten i=J gegeben.
Es gilt - siehe eure Rechnung oben:
und speziell
Nun betrachten wir die Netto-Strahlungsleistung in den Raum zwischen der innersten i=J und der zweitinnersten Kugelschale i=J-1
wobei die drei Terme für die fest eingestrahlte Leistung der Quelle, die von der nächsten Kugelschale eingestrahlte Leistung sowie die von dieser Kugelschale absorbierten Leistung stehen. Die Netto-Strahlungsleistung beträgt also nach unserer Herleitung
 \cdot P_1 = \frac{J-1}{J} P_J > 0 )
Dieser Raum wird also entweder unendlich heiß, oder diese Netto-Strahlungsleistung muss (im Zentrum) entnommen werden.
Jedenfalls liefert der Absatz vermeintlich ein Strahlungsgleichgewicht zwischen den Kugelschalen, jedoch nicht für die Räume zwischen den Kugelschalen.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 21. Jul 2023 23:16 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die Strahlungsleistung der äußersten Kugelschale i=1 ist gesucht, die der innersten i=J gegeben. |
Nur ganz kurz, bin an einem Minihandy. Die von der äussersten Schale nach aussen abgestrahlte Leistung ist gegeben durch die in die innerste Kugelschale eingestrahlte Leistung. Damit ist auch ihre Temperatur gegeben, bei gleichen Kugeloberflächen ist T1=300K unabhängig von der Anzahl Schalen. Davon geht auch die Gleichung von DrStupid aus, wenn ich nicht etwas falsch verstehe. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 22. Jul 2023 00:09 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Nun betrachten wir die Netto-Strahlungsleistung in den Raum zwischen der innersten i=J und der zweitinnersten Kugelschale i=J-1
wobei die drei Terme für die fest eingestrahlte Leistung der Quelle, die von der nächsten Kugelschale eingestrahlte Leistung sowie die von dieser Kugelschale absorbierten Leistung stehen. |
Das verstehe ich nicht:
1. Die Quelle sitzt in der innersten Schale und kann deshalb nicht in den Raum zwischen der innersten und der zweitinnersten Schale einschrahlen.
2. Wo ist die Emission der innersten Schale?
3. Wo ist die Absorption der innersten Schale?
Tatsachlich gilt doch
Mit den Termen (von links nach rechts) Emission der Schale J, Emission der Schale J-1, Absorption der Schale J und Absorption der Schale J-1. Das gilt analog für alle anderen Zwischenräume.
In der innersten Schale sieht es so aus:
 = 0)
Mit den Termen (von links nach rechts) Emission der Quelle, Emission der Schale J und Absorption der Schale J.
Nur in der Umgebung ist die Bilanz nicht ausgeglichen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 22. Jul 2023 08:56 Titel: |
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Sorry für die Verwirrung. Ich habe die innerste Schale i=J mit der Quelle gleichgesetzt. Diese strahlt nur nach außen, d.h. ich breche vor J+1 ab.
Aber ja
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | Tatsachlich gilt doch
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du hast recht, ich habe die innerste Schale falsch behandelt.
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