Gedämpfter Federschwinger

MMchen60 · Anmeldungsdatum: 31.01.2021 Beiträge: 221 Wohnort: Heilbronn

Hallo liebe Forumsgemeinde,
ich habe da eine Frage zur Aufgabe im Anhang. Speziell Frage b)
DA steht in der Anleitung im Buch:
Die Ort-Zeit-Funktion x(t) ist die Lösung der Differentialrechnung von a).

mit der Form:

.
Leitet man zweimal ab und setzt dies in die Differentialgleichung ein, so stellt sich heraus, dass

und

ist.

Nun gut. Nun habe ich versucht, x(t) zweimal abzuleiten, um das einzusetzen. Aber, das ist ja eine verrückte Rechnung. Befinde ich mich da nicht auf dem Holzweg?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

In der ersten und zweiten Ableitung kann man einige Terme durch x(t) ersetzen. Dann bleiben nur noch Terme mit x(t) (plus Vorfaktoren delta und omega) sowie Terme mit einem Sinus übrig.

Setzt man dies in die Bewegungsgleichung ein, ergeben sich zwei Gleichungen für omega und delta. Eine erste, da alle Terme mit x(t) verschwinden müssen, eine zweite, da alle Terme mit dem Sinus verschwinden müssen, damit die Bewegungsgleichung immer erfüllt ist.

MMchen60 · Anmeldungsdatum: 31.01.2021 Beiträge: 221 Wohnort: Heilbronn

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Wie ich sehe, hast Du für den sin-Term die Abkürzung k(t) verwendet. Das ist erstens etwas ungünstig, da in der Differentialgleichung k als Federkonstante auftritt. Zum anderen treten cos-Terme bei der Ableitung der sin-Terme auf, die wiederum bis auf konstante Faktoren x(t) entsprechen.
Mal zum vergleichen, für die zweite Ableitung erhalte ich

Den Ausdruck xA*e^(..)*sin(..) könnte man noch abkürzen mit z.B. y(t), dann würde es noch etwas übersichtlicher.

edit: es fehlte ein Faktor 2 in der obigen Ableitung, bitte entschuldige!