Dirichletrandbedingung im oberen Halbraum

TryingToUnderstandIt · Anmeldungsdatum: 23.05.2022 Beiträge: 58

Meine Frage:
Hallo mal wieder,

Ich habe im Moment echt Schwierigkeiten, eine Aufgabe zu lösen.

Sie geht wie folgt:

Betrachten Sie den oberen Halbraum z > 0 mit Dirichlet-Randbedingungen auf der Ebene z = 0 (und bei unendlich).

a) Geben Sie unter Verwendung der Spiegelladungsmethode die Greensfunktion

im oberen Halbraum an.

b) Wenn sich im oberen Halbraum keine Ladung befindet, ist die Dirichlet-Randbedingung für das Potential phi(x) bei unendlich gegeben durch phi (infinity) = 0, während bei z = 0 die Randbedingung phi(x, y, z = 0) = phiB(x, y) gilt. Zeigen Sie, dass das Potential für einen beliebigen Punkt x im oberen Halbraum beschrieben ist durch

,

wobei x' = (x', y', 0) und man über die Ebene z = 0 integriert.

c) Nun soll ? in einer Kreisfläche mit Radius a um den Ursprung in der (x,y)-Ebene konstant sein: phiB = V . Außerhalb des Kreises sei phiB = 0. Geben Sie für diese Randbedingungen einen Integralausdruck für phi(x) in Zylinderkoordinaten (r, phi, z) an. Sie müssen das Integral nicht berechnen.

d) Berechnen Sie das Integral aus c) nun explizit für einen beliebigen Punkt auf der z-Achse.

e) Taylor-Entwickeln Sie das Ergebnis aus d) im Limes z >> a

Meine Ideen:
a): Hier habe ich der Greensche Funktion

ausgerechnet

Der Rest fällt mir tatsächlich noch etwas schwer, vor Allem, weil sie aufeinander aufbauen. Ich würde mich also freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Grüße

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762