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hannah wahlweise mit h
Anmeldungsdatum: 19.03.2023
Beiträge: 9
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 hannah wahlweise mit h Verfasst am: 17. Jun 2023 18:08 Titel: Polarisationsladungsdichte im inhomogenen Feld |
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Liebe alle,
abgesehen von div. Verständnisproblemen, habe ich ein Rechenproblem bei folgender Aufgabe:
Ein Plattenkondensator der Dicke d und Fläche A sei mit einem Dielektrikum gefüllt, dessen Dielektrizitätskonstante ε(x) linear von einer Platte zur anderen zunimmt. Die Dielektrizitätskonstante an einer Platte ist gegeben mit ε1 und die an der anderen Platte mit ε2 (ε2 > ε1).
Berechnen Sie die Kapazität C des Kondensators und die Dichte der Polarisationsladungen ρ(x) im Dielektrikum in Abhängigkeit von der Dielektrizitätskonstante ε(x) und der Ladung Q des Kondensators, wenn das elektrische Feld E in Richtung der höheren Dielektrizitätskonstante zeigt!
Kapazität hab ich. Ist, glaube ich, irrelevant für die Polarisationsladungsdichte. Bei letzterer hab ich keine wirkliche Idee von dem, was das eigentlich sein soll. Berechnet hätte ich folgendes:
 = \frac{\epsilon_{2} - \epsilon_{1}}{d}x + \epsilon_{1})
Das elektrische Feld liefert die Flächenladungsdichte der Polarisationsladungen
=\frac{Q}{A} (1-\frac{1}{\epsilon(x)} )\vec{e_{x}})
und falls die Flächenladungsdichte gleich der Polarisation sein sollte, erhalte ich über die Divergenz für die Polarisationsladungsdichte
= -\frac{Q(\epsilon_{2}-\epsilon_{1})}{Ad(\frac{\epsilon_{2}-\epsilon_{1}}{d}x+\epsilon_{1})^{2}})
Das negative Vorzeichen ist hier doch Quatsch. Stimmt die Flächenladungsdichte überhaupt so? Oder muss ich das auf infinitesimaler Ebene betrachten, weil sich die Polarisationsladungen innerhalb des Dielektrikums wiederum gegenseitig beeinflussen? Verständnisproblem doch größer als Rechenproblem. Oder gleich groß - unentschlossen! Würd mich jedenfalls über so n bissl Unterstützung freuen :))
Viele Grüße
Hanna
p.s.: bin mir nicht mal sicher, ob der Titel richtig gewählt ist... |
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hannah wahlweise mit h
Anmeldungsdatum: 19.03.2023
Beiträge: 9
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| hannah wahlweise mit h Verfasst am: 18. Jun 2023 12:20 Titel: |
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hm, oder vielleicht ganz einfach über
 = \int \, \dd \vec{P} =\epsilon_{0} \vec{E}_{Vak} \int_0^x \! 1-\frac{1}{\epsilon(x')} \, \dd x')
und
zu
=\frac{Q}{A} ( \frac{1}{\epsilon(x)} - 1))
Monolog schon auch ok... |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 18. Jun 2023 12:51 Titel: |
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| hannah wahlweise mit h hat Folgendes geschrieben: | |
Ja, das ist richtig. Oder hier einfach
=-\frac{d}{dx}P(x))
| Zitat: | |
Das stimmt noch nicht ganz. Als P(x) erhalte ich wahrscheinlich das gleiche,
=\frac{Q}{A}(1-\frac{1}{\varepsilon(x)}))
Nebenbei: Was erhältst Du als Kapazität? Würde mich nur wundernehmen, ob ich da richtig gerechnet habe. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 18. Jun 2023 13:17 Titel: Re: Polarisationsladungsdichte im inhomogenen Feld |
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PS: Das, was Du im ersten Beitrag erhalten hast, sollte m.E. stimmen, abgesehen vom Minuszeichen:
| hannah wahlweise mit h hat Folgendes geschrieben: | |
Das Minuszeichen ist nicht richtig. Es gilt
was aus dem Gaussschen Gesetz, angewendet auf die Polarisationsladungen, folgt. Das Minuszeichen kommt daher, weil der Vektor P antiparallel zum durch die Dipole induzierten E-Feld gerichtet ist, vgl. die Definition eines elektrischen Dipols.
Man kann sich die Gleichung rho_pol(x)=div(P) auch verständlich machen, wenn man zwei benachbarte "Schichten" von el. Dipolen betrachtet. |
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hannah wahlweise mit h
Anmeldungsdatum: 19.03.2023
Beiträge: 9
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| hannah wahlweise mit h Verfasst am: 18. Jun 2023 13:30 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: |
Nebenbei: Was erhältst Du als Kapazität? Würde mich nur wundernehmen, ob ich da richtig gerechnet habe. |
\epsilon_{0}A}{\ln(\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}} )d})
| Myon hat Folgendes geschrieben: |
Das stimmt noch nicht ganz. Als P(x) erhalte ich wahrscheinlich das gleiche,
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das heißt, dass die Polarisation unabhängig von den Polarisationsladungen an den Orten x1 < x < x2 ist. Das heißt, dass ich überhaupt nicht verstehe, was Polarisation ist. Bzw dass ich überhaupt nicht verstehe, was ein Vektorfeld ist. Gut! P(x) ableiten kann ich wenigstens. Ich dank dir!
edit: wenn ich P(x) nach x ableite und mit -1 multipliziere komm ich zu meiner ursprünglichen negativen Dichte.. [/b]
Zuletzt bearbeitet von hannah wahlweise mit h am 18. Jun 2023 14:03, insgesamt einmal bearbeitet |
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hannah wahlweise mit h
Anmeldungsdatum: 19.03.2023
Beiträge: 9
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| hannah wahlweise mit h Verfasst am: 18. Jun 2023 13:53 Titel: Re: Polarisationsladungsdichte im inhomogenen Feld |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: |
was aus dem Gaussschen Gesetz, angewendet auf die Polarisationsladungen, folgt. Das Minuszeichen kommt daher, weil der Vektor P antiparallel zum durch die Dipole induzierten E-Feld gerichtet ist, vgl. die Definition eines elektrischen Dipols.
Man kann sich die Gleichung rho_pol(x)=div(P) auch verständlich machen, wenn man zwei benachbarte "Schichten" von el. Dipolen betrachtet. |
ganz viel backspace, weil Wechsel zwischen "aha!" und "ne, hä?!". Glaube aber, dass mich das ind. E-Feld und die zwei "Dipolschichten" weiterbringen könnten.. nochmal danke! |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 18. Jun 2023 15:53 Titel: |
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Für die Kapazität erhalte ich dasselbe.
| hannah wahlweise mit h hat Folgendes geschrieben: | | das heißt, dass die Polarisation unabhängig von den Polarisationsladungen an den Orten x1 < x < x2 ist. |
Wie meinst Du das?
Durch ein äusseres E-Feld werden in einem Isolator Dipolmomente induziert oder vorhandene Dipole ausgerichtet. Diese induzieren ein E-Feld, welches entgegen dem äusseren E-Feld gerichtet ist.
Bei einem homogenen Dielektrikum ist die Polarisationsladungsdichte im Innern gleich 0. Anschaulich gesprochen heben sich positive und negative Ladungen benachbarter Dipole auf. Nur an den Rändern bleibt eine Flächenladungsdichte übrig.
Bei einem inhomogenen Dielektrikum wie hier, wo epsilon=epsilon(x), ist das nicht mehr der Fall. Betrachtet man zwei benachbarte "Dipolschichten", wobei d_p(x) die Länge eines Dipols an der Stelle x sei:
=\frac{(-\sigma_p(x+d_p(x))+\sigma_p(x))A}{Ad_\mathrm{p}(x)}\approx -\frac{d\sigma_p(x)}{dx}=-\frac{d}{dx}P(x) )
| Zitat: | | wenn ich P(x) nach x ableite und mit -1 multipliziere komm ich zu meiner ursprünglichen negativen Dichte.. |
Ja, da hast Du recht. Die Polarisationsladungsdichte wäre also
=\frac{Q(\varepsilon_1-\varepsilon_2)}{A(\varepsilon_1+\frac{\varepsilon_2-\varepsilon_1}{d}x)^2}<0)
Die negative Ladungsdichte ergibt m.E. Sinn, wenn das E-Feld wie hier in Richtung der ansteigenden Dielektrizitätskonstante zeigt. Nimmt man an, die Dipollängen seien überall gleich (dass also nur die Dipolladungen oder Dipoldichte mit x zunimmt), so muss die "Flächenladungsdichte" jeder Schicht mit x zunehmen, womit eine negative Polarisationsladungsdichte entsteht. Bei der negativ geladenen Kondensatorplatte bleibt eine relativ starke positive Flächenladungsdichte übrig, bei der positiv geladenen Platte eine schwächere negative Flächenladungsdichte des Dielektrikums. |
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hannah wahlweise mit h
Anmeldungsdatum: 19.03.2023
Beiträge: 9
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| hannah wahlweise mit h Verfasst am: 18. Jun 2023 19:32 Titel: |
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| hannah wahlweise mit h hat Folgendes geschrieben: | | das heißt, dass die Polarisation unabhängig von den Polarisationsladungen an den Orten x1 < x < x2 ist. |
| Myon hat Folgendes geschrieben: |
Wie meinst Du das?
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Ich hatte mich ursprünglich gefragt, ob die Polarisationsladungen an den Rändern der vielen Dipolschichten eine Auswirkung auf die Dipolmomente und dadurch auf die Polarisation der angrenzenden Schichten haben. Deshalb mal der Gedanke, dass ich die Polarisation nicht einfach als Abhängigkeit von 1/epsilon(x) formulieren kann, sondern evtl. als Summe formulieren muss. Bzw. als Integral darüber. Oder ganz anders. Aber das ist ja genau das Integral über -rho*dx in meinem eindimensionalen Fall. Glaube ich jetzt zumindest verstanden zu haben. Drüber schlafen.
| Myon hat Folgendes geschrieben: |
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Plattenabstand d im Nenner beim Tippen vergessen, aber ja nicht schlimm an der Stelle.
| Myon hat Folgendes geschrieben: | Für die Kapazität erhalte ich dasselbe.
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schön!
| Myon hat Folgendes geschrieben: |
Die negative Ladungsdichte ergibt m.E. Sinn, wenn das E-Feld wie hier in Richtung der ansteigenden Dielektrizitätskonstante zeigt. [...] |
Mit der negativen Dichte bin ich noch nicht so glücklich. Aber ich werd auch hier erst mal drüber schlafen. Und deine Erklärung dazu morgen nochmal lesen. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 19. Jun 2023 09:16 Titel: |
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| hannah wahlweise mit h hat Folgendes geschrieben: | | Plattenabstand d im Nenner beim Tippen vergessen, aber ja nicht schlimm an der Stelle. |
Ja stimmt, der ging verloren, sorry.
| Zitat: | | Mit der negativen Dichte bin ich noch nicht so glücklich. Aber ich werd auch hier erst mal drüber schlafen. |
Ich habe mir das in der Nacht auch nochmals überlegt. Und mir kam (nach viel Unsinn im Halbschlaf) noch dieser Gedanke: Man könnte sich als starke Vereinfachung auch vorstellen, dass das Dielektrikum nur aus 2 Dipolen/Dipolschichten bestehe. Der Dipol bei der negativ geladenen Kondensatorplatte muss stärker sein (oder mehr Dipole pro Volumen), da die Dielektrizitätskonstante höher ist. Also ergibt sich im Innern, als Summe der beiden einzelnen Dipolladungen, eine negative Ladungsdichte. Bei einer grossen Anzahl an Dipol(-schichten) ändert sich daran grundsätzlich nichts. Die Summe zweier benachbarter Ladungen banachbarter Dipole ist immer negativ.
PS: Der gegenseitige Einfluss der Dipolladungen im Dielektrikum muss nicht berücktsichtigt werden. Ich verstehe es so, dass dies quasi in der Dielektrizitätskonstante schon berücksichtigt ist, die beschreibt, wie sich das Material als Ganzes in einem äusseren elektrischen Feld verhält. |
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hannah wahlweise mit h
Anmeldungsdatum: 19.03.2023
Beiträge: 9
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| hannah wahlweise mit h Verfasst am: 19. Jun 2023 11:45 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: |
PS: Der gegenseitige Einfluss der Dipolladungen im Dielektrikum muss nicht berücktsichtigt werden. Ich verstehe es so, dass dies quasi in der Dielektrizitätskonstante schon berücksichtigt ist, die beschreibt, wie sich das Material als Ganzes in einem äusseren elektrischen Feld verhält. |
Das ist toll, damit kann ich sehr gut leben!
Das Bild mit den beiden Schichten ist super, bin mit der negativen Dichte jetzt auch glücklich.
Ich glaube, das irreführende ist, dass es eine ortsabhängige Flächendichte der Polarisationsladungen gibt. Also irgendwie eine, die theoretisch auch im Innern beschreibbar wäre.
ABER: Ich glaube, das relevante ist am Ende, welches E-Feld durch die induzierten Dipole entsteht und somit welches E-Feld ich mit Dielektrikum im Kondensator hab. Was genau im Dielektrikum passiert, naja, da passiert bestimmt sowieso noch so viel mehr, von dem ich aktuell noch nicht mal erahnen kann, dass es das überhaupt gibt. Bin an der Stelle jetzt mal zufrieden, ich dank dir sehr! |
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