| Autor |
Nachricht |
Nuklid
Gast
|
 Nuklid Verfasst am: 31. Aug 2022 19:56 Titel: Gesamtzerfallsenergie v Zerfallskette am Anfang am größten? |
 |
|
Ich habe mal eine Frage bezüglich dem Verständnis zur Gesamtzerfallsenergie einer Zerfallskette von zwei verschiedenen radioaktiven Stoffen, deren Halbwertszeit und Zerfallsenergie unterschiedlich ist.
Nehmen wir dazu mal an, wir hätten dazu zwei Stoffe A und B, wobei
Stoff A in Stoff B zerfällt und der zerfällt in Stoff C und C ist stabil.
Und bei Stoff A fangen wir an, zur Zeit von t=0 ist die Menge M1 von Stoff A am größten.
Und von Stoff B ist die Menge M2 zur Zeit von t= 0 M2 = 0 Atomkerne, also noch nicht vorhanden.
Stoff A hat folgende Eigenschaften:
Halbwertszeit = 30 Jahre
Zerfallsenergie = 0,5 MeV
Stoff B:
Halbwertszeit = 15 Jahre
Zerfallsenergie = 2,5 MeV
Das Gesetz der Halbwertszeit besagt ja nun, dass die Aktivität exponentiell abnimmt.
Das bedeutet auch, dass man auf nur ein Nuklid bezogen, ganz am Anfang, am meisten Zerfälle auf einmal hat und die immer weiter abnimmt.
Das müsste dann aber auch bedeuten, dass auch gleich darauf der Zerfall von Stoff B
am größten ist.
Demnach gäbe es somit kein Zerfallsenergiemaximum, also keinen Zerfallsenergieberg nach der ersten Halbwertszeit von Stoff B.
Ist das so korrekt?
Das ist nämlich meine Frage, ob es dadurch, weil Stoff B ja mit viel höherer Energie zerfällt und wegen der Halbwertszeit von Stoff A ja erst später zerfallen wird, ein Energiemaximum gibt?
Wenn es das geben sollte, dann doch nur ganz am Anfang, wobei das nicht ganz am Anfang von t =0 und auch nicht von t = 30 ist, sondern erst nach dem 2. Atomzerfall von Stoff A, also t = 45 denn:
Wenn wir jetzt nur 16 Kerne von Stoff A hätten, dann würde es ja so aussehen:
Beispiel:
Wir betrachten die Zeit mal relativ zur Startzeit t=0:
30 Jahre = 8 Kerne von Stoff A sind zerfallen. 0 Kerne von Stoff B. Zerfallsenergie = 8* 0,5 MeV = 4 MeV
45 Jahre = 4 Kerne von Stoff B sind zerfallen. Zerfallsenergie = 4* 2,5 MeV = 10 MeV
60 Jahre = 4 Kerne von Stoff A sind zerfallen, 2 Kerne von Stoff B sind zerfallen. Zerfallsenergie = 4 * 0,5 MeV + 2 * 2.5 MeV. = 7 MeV
75 Jahre = 3 Kerne von Stoff B sind zerfallen, Zerfallsenergie = 3 * 2,5 MeV = 7,5 MeV
90 Jahre = 2 Kerne von Stoff A sind zerfallen, 1-2 Kerne von Stoff B sind zerfallen. Zerfallsenergie = 2 * 0.5 MeV + 1 * 2.5 MeV = 3.5 MeV
usw.
Das bedeutet also, dass das Zerfallsenergiemaxium, also der Zerfallsenergieberg nur bei der ersten Halbwertszeit von Stoff B am größten ist und dann immer weiter abnimmt.
Ist das so korrekt?
|
|
 |
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18000
|
| TomS Verfasst am: 31. Aug 2022 22:58 Titel: |
|
|
Ich denke, ich kann dir nicht ganz folgen.
Meiner Meinung nach muss man tatsächlich die gekoppelten Differentialgleichungen lösen.
Die Anzahl der Kerne je Nuklid ist zu jeder Zeit der Anzahl der Zerfälle je Nuklid proportional. Und für die Anzahl der Kerne gilt.
Für die Energien gilt
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
|
| Qubit Verfasst am: 01. Sep 2022 06:43 Titel: |
|
|
Zu dem zeitlichen Verlauf der Nuklidkonzentrationen einer Zerfallsreihe gibt es eine schöne Schülerarbeit von Prof. Jens Christoffers aus 1986 (wohl angeregt durch den Tschernobyl-Supergau 26.04.1986)
Die Gesamt-Zerfallsenergien lassen sich dann damit betrachten.
| Beschreibung: |
|
Download |
| Dateiname: |
Scan-Kinetik radioaktiven Zerfalls (1986).pdf |
| Dateigröße: |
338.49 KB |
| Heruntergeladen: |
58 mal |
|
|
|
Nuklid
Gast
|
| Nuklid Verfasst am: 02. Sep 2022 04:55 Titel: |
|
|
Wow, super. Ich danke euch beiden.
Besonders die PDF ist sehr hilfreich.
Die rekursive Lösung dürfte sich einfacher als Programm implementieren lassen. Ich dachte nämlich zuerst, dass ich mir ein iteratives kleines Programm schreibe, aber mit der rekursiven Lösung dürfte ich schneller ans Ziel kommen. Die gefällt mir daher sehr gut.
|
|
|
Nuklid
Gast
|
| Nuklid Verfasst am: 02. Sep 2022 04:58 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Ich denke, ich kann dir nicht ganz folgen.
|
Inwiefern genau?
Ich werde das obige Beispiel gerne verdeutlichen, falls noch Fragen offen sind.
|
|
|
DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5038
|
| DrStupid Verfasst am: 02. Sep 2022 12:22 Titel: |
|
|
| Nuklid hat Folgendes geschrieben: | | Ich werde das obige Beispiel gerne verdeutlichen, falls noch Fragen offen sind. |
Du kannst die allgemeine Aussage, dass es "kein Zerfallsenergiemaximum, also keinen Zerfallsenergieberg nach der ersten Halbwertszeit von Stoff B" gibt nicht anhand eines konkreten Beispiels beweisen. Du müsstest zumindest alle bekannten Zerfallsreihen durchprobieren.
Alternativ kannst Du das Differentialgleichungssystem (siehe Antwort von TomS) auch analytisch lösen (was bei zwei Gleichungen noch relativ einfach ist) und dann prüfen unter welchen Bedingungen die Aussage gilt und ob die realistisch sind.
|
|
|
DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5038
|
| DrStupid Verfasst am: 02. Sep 2022 12:33 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Für die Energien gilt
|
Mir ist gerade aufgefallen, dass  nicht stimmt. Es gilt
)
|
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18000
|
| TomS Verfasst am: 02. Sep 2022 12:50 Titel: |
|
|
Vielleicht verstehen wir unter Gesamtzerfallsenergie etwas anderes.
Ich meinte damit nur die freiwerdende Energie. Aber dann ist meine Notation zumindest irreführend ;-)
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5038
|
| DrStupid Verfasst am: 02. Sep 2022 13:43 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich meinte damit nur die freiwerdende Energie. |
Davon bin ich ausgegangen.
|
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18000
|
| TomS Verfasst am: 02. Sep 2022 13:51 Titel: |
|
|
Aber wieso zählst du dann bei B auch den Beitrag von A dazu?
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5038
|
| DrStupid Verfasst am: 02. Sep 2022 14:02 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Aber wieso zählst du dann bei B auch den Beitrag von A dazu? |
Die Frage ist, warum Du ihn abziehst. Bei B sollte nur der Zerfall eine Rolle spielen und nicht auch die Bildung. Letzere wurde schon bei A abgehandelt.
|
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18000
|
| TomS Verfasst am: 02. Sep 2022 14:07 Titel: |
|
|
Natürlich, du hast recht.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
Nuklid
Gast
|
| Nuklid Verfasst am: 06. Sep 2022 23:16 Titel: |
|
|
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Nuklid hat Folgendes geschrieben: | | Ich werde das obige Beispiel gerne verdeutlichen, falls noch Fragen offen sind. |
Du kannst die allgemeine Aussage, dass es "kein Zerfallsenergiemaximum, also keinen Zerfallsenergieberg nach der ersten Halbwertszeit von Stoff B" gibt nicht anhand eines konkreten Beispiels beweisen. Du müsstest zumindest alle bekannten Zerfallsreihen durchprobieren.
Alternativ kannst Du das Differentialgleichungssystem (siehe Antwort von TomS) auch analytisch lösen (was bei zwei Gleichungen noch relativ einfach ist) und dann prüfen unter welchen Bedingungen die Aussage gilt und ob die realistisch sind. |
Okay, mathematisch gesehen hast du natürlich recht. Eine Rechnung mit vollständiger Induktion oder vergleichbarem habe ich nicht geliefert.
Allerdings zerfällt im ersten Halbwertszeitschritt natürlich absolut betrachtet die größte Anzahl an Atomen, eben weil da die zerfallende Masse die Hälfte der Anfangsmasse ist und beim nächsten Halbwertszeitschrift relativ zur Anfangsmasse diese nur noch 1/4 beträgt und die Masse bei jedem Zerfall kleiner wird, es also absolut immer weniger Atome werden die zerfallen, daher habe ich durch diese bloße Überlegung abgeschätzt, dass bei den späteren Halbwertszeitschritten kein Gesamtzerfallsenergiemaximum entstehen kann, das größer ist, als beim ersten Halbwertszeitschritt von Stoff B.
Zumindest dann nicht, wenn, wie im Beispiel gegeben, Stoff C stabil ist und man von einem gleichmäßigen Zerfall ausgeht.
Wenn man es ganz genau nimmt, dann kann es natürlich auch sein, dass alle Zerfälle in einem späteren Halbwertszeitschritt nicht gleichmäßig verlaufen und dann deswegen da dann doch ein Gesamtzerfallsenergiemaxium entsteht, das schließe ich nicht aus, die obige Überlegung gilt natürlich nur bei der Annahme, dass man pro Intervallschritt einen annährnd gleichmäßigen Zerfall hat.
Das war meine Überlegung dazu. Das dann mathematisch mit einer Rechnung bzw. einem mathematischen Beweis zu beweisen, ist dann natürlich noch einmal etwas anderes, aber ich bin bei mathematischen Beweisen nicht wirklich fit und auch kein Physiker oder Mathematiker, deswegen überlasse ich das gerne anderen.
|
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18000
|
| TomS Verfasst am: 07. Sep 2022 09:55 Titel: |
|
|
Ich habe das jetzt nicht im Detail durchgerechnet, aber anbei ein Ansatz, wie du weiter vorgehen kannst:
Bei deinen Angaben gilt zunächst für die Anzahl der Kerne
 = N_0 e^{-\lambda_A t})
 = N_0 \, \frac{\lambda_A}{\lambda_B - \lambda_A} \, \left( e^{-\lambda_A t} - e^{-\lambda_B t} \right))
Die Anzahl der Zerfälle ist
Die freiwerdende Energie pro Zeit folgt aus der Anzahl der Zerfälle
}_i = \lambda_i \, N_i)
gewichtet mit der Energie je Zerfall, d.h.
}_i = \epsilon_i \, \lambda_i \, N_i)
)
Ich sehe nicht, dass es für diese Funktion, d.h. die pro Zeit insgesamt freiwerdende Energie, irgendeine eine Einschränkung geben könnte, ob und wo ein Maximum vorliegt.
Wenn du die integrierte freiwerdende Energie
 = \int_0^t ds \, \dot{E}(s) \qquad (2))
betrachtest, dann müsste für ein Extremum gelten
aber das kann sicher nie erfüllt sein, da die insgesamt pro Zeit freiwerdende Energie als Summe positiver Terme strikt positiv ist
Also was genau meinst du mit Gesamtzerfallsenergie?
(1) Die Summe der aus den Zerfällen von A und B pro Zeit freiwerdende Energie? Dafür ist deine Überlegung falsch.
(2) Der von 0 bis t integrierte Term (1). Dafür ist die Überlegung trivial; es kann nie ein Maximum vorliegen.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
Nuklid
Gast
|
| Nuklid Verfasst am: 07. Sep 2022 10:08 Titel: |
|
|
| Zitat: |
Also was genau meinst du mit Gesamtzerfallsenergie?
(1) Die Summe der aus den Zerfällen von A und B pro Zeit freiwerdende Energie? Dafür ist deine Überlegung falsch.
(2) Der von 0 bis t integrierte Term (1). Dafür ist die Überlegung trivial; es kann nie ein Maximum vorliegen.
|
Danke für deine umfangreiche Antwort.
Es ist so etwas in der Art wie (2). Wobei mit Gesamtzerfallsenergie der akkumulierte Zerfallsenergiewert eines Zeitpunkts des Zerfalls von Stoff A und B zusammen gemeint ist.
Das Maximum müsste also bei der ersten Halbwertszeit von B liegen, weil dieser Stoff eine höhere Zerfallsenergie hat als Stoff A und in der ersten Halbwertszeit von A ja noch die B Nuklide fehlen, da von A ja erst einmal ein paar zerfallen müssen, damit es überhaupt Zerfälle von B geben kann.
|
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18000
|
| TomS Verfasst am: 07. Sep 2022 10:25 Titel: |
|
|
| Nuklid hat Folgendes geschrieben: | | Es ist so etwas in der Art wie (2). |
Was ist "so etwas in der Art wie ..."?
| Nuklid hat Folgendes geschrieben: | | Wobei mit Gesamtzerfallsenergie der akkumulierte Zerfallsenergiewert eines Zeitpunkts des Zerfalls von Stoff A und B zusammen gemeint ist. |
Was bedeutet "akkumuliert"? Zerfall von Stoff A und B zusammen? Klar.
Was bedeutet "eines Zeitpunktes"? Die je Zeit freiwerdende Energie? Das wäre (1), und nur dafür kann es ein Maximum geben - muss aber nicht.
| Nuklid hat Folgendes geschrieben: | | Das Maximum müsste also bei der ersten Halbwertszeit von B liegen, weil dieser Stoff eine höhere Zerfallsenergie hat als Stoff A und in der ersten Halbwertszeit von A ja noch die B Nuklide fehlen, da von A ja erst einmal ein paar zerfallen müssen, damit es überhaupt Zerfälle von B geben kann. |
Einfach mal die Funktion in Excel o.ä. plotten ;-)
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5038
|
| DrStupid Verfasst am: 07. Sep 2022 16:56 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Also was genau meinst du mit Gesamtzerfallsenergie?
(1) Die Summe der aus den Zerfällen von A und B pro Zeit freiwerdende Energie? Dafür ist deine Überlegung falsch.
(2) Der von 0 bis t integrierte Term (1). Dafür ist die Überlegung trivial; es kann nie ein Maximum vorliegen. |
Da oben von der Aktivität die Rede ist und (2) keinen Sinn ergibt, gehe ich von (1) aus. Die Aktivität erreicht ihr Maximum nach einer Halbwertzeit von B mit
und
)
Die Hypothese ist also falsch.
|
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18000
|
| TomS Verfasst am: 07. Sep 2022 19:31 Titel: |
|
|
Es ist aber auch von Energien die Rede.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18000
|
| TomS Verfasst am: 08. Sep 2022 11:30 Titel: |
|
|
Wir benutzen
Für ein Extremum benötigen wir
Die Berechnung ist etwas länger aber nicht schwer.
Einsetzen liefert letztlich
t} = (\epsilon_A + \epsilon_B) \, \lambda_A \, \lambda_B - \epsilon_A \, \lambda_A^2)
Ist der rechte Term kleiner oder gleich Null, so existiert kein Extremum. Für die o.g. Zahlenwerte liegt ein Maximum vor.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5038
|
| DrStupid Verfasst am: 08. Sep 2022 13:28 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Es ist aber auch von Energien die Rede. |
Deshalb habe ich - genauso wie Du - mit dem Produkt aus Aktivität und Zerfallsenergie gerechnet.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | |
Das entspricht auch meinem Ergebnis. Mit den oben definierten x und y sowie der Anzahl
der Halbwertzeiten von B kann man das noch etwas einfacher schreiben:
 \cdot z} = \left( {y + 1} \right) \cdot x - y \cdot x^2 )
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ist der rechte Term kleiner oder gleich Null, so existiert kein Extremum. Für die o.g. Zahlenwerte liegt ein Maximum vor. |
Ja, aber die Hypothese lautet, dass es „keinen Zerfallsenergieberg nach der ersten Halbwertszeit von Stoff B“ gibt. Das würde bedeuten, dass keine Lösungen für  existieren. Die gibt es aber (siehe oben).
|
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18000
|
| TomS Verfasst am: 08. Sep 2022 18:02 Titel: |
|
|
Passt.
Ich denke, man kann zeigen, dass für die von uns definierte Funktion t(x,y) gilt:
)
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
