Knotenfläche der Wellenfunktion

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 569 Wohnort: bayern

Guten Morgen!

Es handelt sich um die folgende Aufgabe (siehe Anhang). Ich soll hier zuerst die Knotenfläche bestimmen und dann die Aufentshaltwahrscheinlichkeit des Elektrons berechnen.
Für die Knotenfläche, muss ich ja zuerst die Wellenfunktion quadrieren und gleich 0 setzen. Aber in der lösung haben sie das steht folgendes (siehe Anhang). Man braucht da nicht viel rechnen, aber ich hab´ die Lösung nicht verstanden.
Und für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit muss ich das Betragsquadrat nehmen und integrieren. Aber wie soll ich den Term mit der e Funktion integrieren? Das wäre ja viel zu kompliziert und zeitaufwendig. Daher glaube ich, dass der gesamte Term mit der e-Funktion eine Konstante ist und nicht r-abhängig ist. Aus diesem Grund habe ich nur r^2 integriert. Ist diese Überlegung richtig?

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Hi,

Für die Kontenfläche genügt es, sich die Nullstellen der Wellenfunktion anzusehen (wenn die Funktion Null ist, dann ist ja auch das Betragsquadrat Null). Für die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten in dem Volumenelement würde ich die Wellenfunktion näherungsweise als konstant annehmen; für die Kugelschale entsprechend nur den radialen Anteil als konstant annehmen.

Viele Grüße,
Nils

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Offenbar geht es auch um zwei verschiedene Aufgaben. Bei den zu berechnenden Wahrscheinlichkeiten in a) und b) geht es um ein Elektron eines H-Atoms im 2s-Zustand, also nicht um die zuvor gegebene Wellenfunktion.

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5043

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 569 Wohnort: bayern

Erstmal danke an alle!
Aber woher weiß ich, dass die Wellenfunktion 0 ist? Also wie erkenne ich das? Ich hab immer noch nicht verstanden wie ich die Knotenfläche ohne Rechnung, bestimmen kann.
Zur Aufenthaltswahrscheinlichkeit: dann stimmt mein Ansatz, oder? Dann muss ich nur r^2, den cos und phi integrieren?
Und für die Kugelschale muss ich nur den cos integrieren und die grenzen bei phi einsetzen?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Die Wellenfunktion ist gleich null, wenn eine der Faktoren gleich null ist, also

Bei a) und b) musst Du wahrscheinlich gar nichts integrieren. Du kannst annehmen, dass die Wellenfunktion innerhalb der sehr kleinen Intervalle konstant ist und dann gilt

Für

setzt Du die Mittelpunkte der Intervalle ein, und

etc. sind die Intervalllängen.

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 569 Wohnort: bayern

Myon, aber eine der Faktoren ist ja nicht 0. Es steht ja in der Angabe nicht, dass r oder der winkel theta 0 ist? Wieso hast du diese Annahme getroffen? Dann existiert ja keine knotenfläche? Ich versteh´das noch nicht

Edit: wenn ich den mittelwert von theta ausrechne, kommt pi/2 heraus und cos(pi/2)=0. Ist das der grund?
Und heißt das dann, dass die knotenfläche r=0 ist? da cos=0 ist, wird ja die gesamte wellenfunktion 0. Dann existiert doch keine wellenfunktion oder? Somit auch keine knotenfläche?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Ich meinte nicht, dass r oder theta gleich null sein sollen, sondern einer der Faktoren in der Wellenfunktion

Der Faktor in der Klammer ist gleich null für r=0 oder r=6*a0. Bei r=0 ändert das Vorzeichen der Wellenfunktion nicht, weshalb dieser Punkt nicht nicht als Knoten bezeichnet wird. Die Orte mit r=6*a0 bilden eine Kugeloberfläche. Der Faktor cos(theta) wird gleich null für theta=pi/2, das entspricht der z-Ebene. Vgl. auch die Lösung, wo das alles steht.

Auf dem Bild hier sieht man ebenfalls, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte in der z-Ebene und bei einem bestimmten Radius (eben r=6*a0) verschwindet.

Leider war übrigens in einem Beitrag oben das Volumenelement falsch, ich habe das korrigiert.

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 569 Wohnort: bayern

Ehrlich gesagt versteh ich die Aufgabe immer noch nicht ganz.
Ich gehe mal schritt für schritt vor. Zuerst rechne ich das genauso aus wie du’s erklärt hast Myon. Stimmt das so?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Ja fast. Beim r^2 fehlt noch das Quadratzeichen, die Intervalllängen sind alle positiv und der letzte Faktor müsste auch 0.02 sein statt pi/2.

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 569 Wohnort: bayern

Myon, es handelt sich bei der Aufgabe a) und b) um eine andere Wellenfunktion. Dazu habe ich auch noch die Lösung, nur wusste ich nicht, dass diese Lösung zu dieser Aufgabe gehört, da mir nicht klar war, dass es sich in der Angabe um zwei verschiedene Wellenfunktionen handelt.
In der Lösung habe sie die Wellenfunktion aber integriert:

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5043

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 569 Wohnort: bayern

ich greife hier wieder zurück: Es ist schon etwas Zeit her ist, aber ich wollte die Aufgabe mal erneut durchgehen. Mein Ergebnis -4,39*10^-34 stimmt mit der Lösung nicht überein.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Eine Wahrscheinlichkeit kann nicht negativ sein, das sollte stutzig machen. Woher stammt das Minuszeichen beim Faktor (-4*10^(-12)m)?
Ansonsten kann ich nur vermuten, dass vielleicht die Konstante 1/sqrt(32*pi*a0^3) in der Wellenfunktion vergessen ging?

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 569 Wohnort: bayern

Das Minuszeichen war ein Schreibfehler, das sollte natürlich nicht negativ sein.
Auch mit der Konstante komme ich nicht auf die Lösung. Hast du die Lösung rausbekommen? Wenn ja, dann muss ich mich irgendwo vertippt haben.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Ja, bei a) komme ich auf P=5.22*10^(-8).

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 569 Wohnort: bayern

Aber in der Lösung steht, dass bei a) 9,23*10^-8 als Lösung rauskommt.
Kann es sein, dass die Lösung falsch ist?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Entschuldige, das war jetzt ein Schreibfehler von mir. Sollte heissen p=9.22*10^(-8), also praktisch die angegebene Lösung.

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 569 Wohnort: bayern

Achso, gar kein Problem.
Ich weiß echt nicht was ich hier falsch mache.
Hast du das auch so gerechnet mit der Normierungskonstante?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

In der letzten Zeile steht zwar die quadrierte Normierungskonstante, aber es sollte der Wert des ganzen Betragsquadrats |Psi(r)|^2 stehen, ausgewertet bei r=5.24*10^(-10)m.

frage1 · Anmeldungsdatum: 20.02.2021 Beiträge: 569 Wohnort: bayern

Ich greife hier wieder zurück.
Also so?