Gekoppelte Massen auf Kreisbahnen

navix · Anmeldungsdatum: 21.10.2021 Beiträge: 63

Meine Frage:
Zwei Punktmassen

können sich reibungsfrei auuf zwei Kreisen mit den Radien

bewegen und sind durch eine ideale masselose Feder mit Federkonstante

gekoppelt. Im unbeanspruchten Fall sei die Länge

.

(a) Leiten Sie das System der gekoppelten Bewegungsgleichungen her. Die Bewegungsgleichungen führen auf zwei Erhaltungssätze. Leiten Sie die zugehörigen Bewegungskonstanten in Abhängigkeit von

aus den Bewegungsgleichungen ab!

(b) Zeigen Sie, dass man eine der beiden Konstanten durch Einführung eines mit der Winkelgeschwindigkeit

rotierenden Koordinatensystems

mit Winkeln

stets zum Verschwinden bringen knan. Welche Gestalt nimmt dann die andere Konstante in

an?

Meine Ideen:
Zu (a): Ich habe zunächst die Lagrangefunktion aufgestellt zu (bis auf eine Konstante)

Anwendung der Lagrange-Gleichung führt auf die zwei DGLn

In einer späteren Aufgabe sollen wir diese dann linearisieren und lösen, d.h. ich denke nicht, dass ich für die Erhaltungssätze das System explizit lösen muss.

Mir ist nicht klar, wie ich mithilfe dieser DGLn auf irgendwelche Erhaltungssätze kommen soll. Da es keine Reibung gibt, vermute ich mal, dass Energie und eine Art Drehimpuls hier erhalten sind.

Zyklische Koordinaten gibt es hier nicht, die Lagrange-Funktion ist aber nicht explizit abhängig von der Zeit

, also könnte ich vermutlich hiermit die Energieerhaltung herleiten (Potential ist nicht geschwindigkeitsabhängig). Dieser Ansatz hat aber dann wiederum mehr mit der Lagrange-Funktion zu tun und weniger mit den resultierenden Bewegungsgleichungen.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5873

Ich glaube, dass bei der 2. Bewegungsgleichung ein Minuszeichen vor dem Sinus stehen sollte (Ableitung von cos(phi-theta)). Wenn man dann die beiden Bewegungsgleichungen mit MR^2 bzw. mr^2 multipliziert und addiert, erhält man

also L=const.

PS: Wenn man die beiden Bewegungsgleichungen mit

bzw.

multipliziert, nach der Zeit integriert und addiert, müsste sich die Energieerhaltung ergeben.

navix · Anmeldungsdatum: 21.10.2021 Beiträge: 63

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5873

Das neue Koordinatensystem soll natürlich mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit rotieren, und das geht auch, da der Drehimpuls konstant ist (L=Drehimpuls im alten Koordinatensystem):