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Normierung der Wellenfunktion
 
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frage1



Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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Beitrag frage1 Verfasst am: 15. Mai 2022 09:27    Titel: Normierung der Wellenfunktion Antworten mit Zitat

Hallo!

Ich muss hier die folgende Wellenfunktion normieren, aber ich komme nicht auf die Lösung. Ich kann die lösung nicht nachvollziehen. Ich habe hier die Reduktionsformel angewendet, obwohl in der Lösung diese Vereinfachung nicht vorkommt. Könnt ihr mir erklären wie ich da genau vorgehen muss?



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Zuletzt bearbeitet von frage1 am 15. Mai 2022 11:56, insgesamt einmal bearbeitet
Myon



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Beitrag Myon Verfasst am: 15. Mai 2022 11:20    Titel: Antworten mit Zitat

Du kannst sicher eine der Reduktionsformeln anwenden, die z.B. hier angegeben sind. Aus diesen folgt



bzw.



Siehe sonst auch diesen Thread, wo es um genau dasselbe Integral ging:

https://www.physikerboard.de/ptopic,373601,.html

Die Lösung kann etwas schwierig nachzuvollziehen sein, da auf der zweiten Zeile der Cosinus weggelassen wurde, der hier gleich 1 ist.
frage1



Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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Beitrag frage1 Verfasst am: 15. Mai 2022 11:58    Titel: Antworten mit Zitat

Ich weiß nicht, ob ich da richtig gerechnet habe, aber nur so komme ich auf die Lösung √2/L, indem ich für n=2 einsetze. Stimmt das so? Darf ich überhaupt eine Zahl einsetzen?


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Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
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Beitrag Myon Verfasst am: 15. Mai 2022 12:41    Titel: Antworten mit Zitat

frage1 hat Folgendes geschrieben:
Ich weiß nicht, ob ich da richtig gerechnet habe, aber nur so komme ich auf die Lösung √2/L, indem ich für n=2 einsetze. Stimmt das so? Darf ich überhaupt eine Zahl einsetzen?

Nein, die Normierung gilt für beliebige n, da darf man keinen Wert einsetzen.
Wenn Du substituierst, musst Du auch die Integralgrenzen ersetzen. Hier läuft das Integral dann von 0 bis n*pi.

Noch 2 Bemerkungen: Wenn im Integranden Summanden stehen, also z.B.



so musst Du Klammern setzen.
Schliesslich sehe ich erst jetzt, dass in der angegebenen Lösung doch ein Fehler ist: Offenbar wurde die Beziehung



verwendet. Nach dem 1. Gleichheitszeichen dürfte beim Cosinus kein Quadratzeichen stehen.
frage1



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Beitrag frage1 Verfasst am: 15. Mai 2022 14:10    Titel: Antworten mit Zitat

Warum darf beim cos kein quadratzeichen mehr stehen? Das Gleichheitszeichen habe ich noch nicht verstanden. Und warum steht da auf einmal in der Klammer vom cos 2x, also 1- cos(2x)?

Edit: Myon, ich komme momentan mit der Integration nicht ganz zurecht. Ich habe für x= npi eingesetzt. Bei mir sieht das momentan folgendermaßen aus:



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Myon



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Beitrag Myon Verfasst am: 15. Mai 2022 14:40    Titel: Antworten mit Zitat

Die obengenannte Gleichung



ist einfach eine der zahlreichen trigonometrischen Formeln, siehe hier. Wie bei vielen anderen Formeln kann man ihre Gültigkeit zeigen, indem man den sin und den cos durch die komplexe Exponentialfunktion ausdrückt.

Es gibt verschiedene Wege, das Integral zu lösen. Einer geht über diese Formel, ein anderer so wie Du vorgegangen bist, mit der Stammfunktion

frage1



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Beitrag frage1 Verfasst am: 15. Mai 2022 14:42    Titel: Antworten mit Zitat

Aber wie erkenne ich nun, welche Stammfunktion ich nehmen muss? Ich hätte direkt mit 1/2 (x - sin(x)cos(x)) gerechnet.
Myon



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Beitrag Myon Verfasst am: 15. Mai 2022 15:10    Titel: Antworten mit Zitat

Diese Gleichung



hat nichts mit einem Integral zu tun. Sie wurde in der Musterlösung verwendet vor dem Integrieren.

Stammfunktionen können sich nur durch eine Konstante unterscheiden, aber man kann sie natürlich verschieden ausdrücken:



womit man wieder bei der Musterlösung wäre. Aber das verwirrt jetzt nur. Rechne einfach so, wie Du begonnen hast, und verwende die Stammfunktion 1/2(x-sin(x)cos(x)).
frage1



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Beitrag frage1 Verfasst am: 15. Mai 2022 16:02    Titel: Antworten mit Zitat

Okay, also so sieht´s bei mir aus. Muss ich jetzt für x= n*pi einsetzen?


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Myon



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Beitrag Myon Verfasst am: 15. Mai 2022 19:27    Titel: Antworten mit Zitat

Die neuen Grenzen musst Du für die substituierte Variable einsetzen.


frage1



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Beitrag frage1 Verfasst am: 15. Mai 2022 19:55    Titel: Antworten mit Zitat

Achso, stimmt, y ist ja noch da. Aber wie bist du auf das ergebnis gekommen, also auf (N^2*L)/(2)? Wo sind die Winkelfunktionen cos sin?

Und vielen vielen Dank für deine Erklärungen!
Myon



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Beitrag Myon Verfasst am: 15. Mai 2022 21:17    Titel: Antworten mit Zitat

frage1 hat Folgendes geschrieben:
Wo sind die Winkelfunktionen cos sin?

frage1



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Beitrag frage1 Verfasst am: 16. Mai 2022 07:24    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, aber wieso nehmen wir an, dass sin(n*pi) = 0 ?
Myon



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Beitrag Myon Verfasst am: 16. Mai 2022 08:26    Titel: Antworten mit Zitat

Für alle ist . Dass n nur diskrete, natürliche Zahlen annehmen kann, folgt aus dem zugrundeliegenden Problem. Wahrscheinlich geht es um ein Teilchen in einem unendlich hohen, eindimensionalen Potentialkasten. Da fordert man, dass die Wellenfunktion ausserhalb des Kastens gleich null ist und dass die Wellenfunktion stetig ist, d.h. .
frage1



Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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Beitrag frage1 Verfasst am: 16. Mai 2022 17:37    Titel: Antworten mit Zitat

ich versteh´das immer noch nicht ehrlich gesagt. Wenn n diskrete natürliche Zahlen annehmen kann, dann kann n ja die werte 0,1,2,3,4,... usw. annehmen. Damit sin(npi)=0, muss für n=0, aber wie hätte ich nun erkennen sollen, dass n=0 ist und nicht n=1 oder n=2 bzw. wie hast du erkannt, dass es sich um ein Teilchen in einem unendlich hohen, eindimensionalen Potentialkasten handelt?

Und nochmals danke Myon für deine Erklärungen!!
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
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Beitrag Myon Verfasst am: 16. Mai 2022 19:49    Titel: Antworten mit Zitat

frage1 hat Folgendes geschrieben:
Damit sin(npi)=0, muss für n=0, aber wie hätte ich nun erkennen sollen, dass n=0 ist und nicht n=1 oder n=2

Für alle ganzzahligen Zahlen z gilt sin(z*pi)=0 (sin(0)=0, sin(180°)=0, sin(360°)=0...).

Hier kann n die Zahlen n=1, 2, 3,.. annehmen. Für n=0 wäre phi(x)=0 für alle x, das wäre nicht sinnvoll und die Funktion wäre auch nicht normierbar. Für negative n ergäben sich wegen sin(-x)=-sin(x) nur Funktionen, die sich durch das Vorzeichen unterscheiden. Das Betragsquadrat der Funktion, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens, bliebe dieselbe.

frage1 hat Folgendes geschrieben:
bzw. wie hast du erkannt, dass es sich um ein Teilchen in einem unendlich hohen, eindimensionalen Potentialkasten handelt?

Aufgrund der zu normierenden Funktion nahm ich das an. Und vor kurzem war dies ja schon einmal Thema einer Aufgabe;-)
frage1



Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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Beitrag frage1 Verfasst am: 16. Mai 2022 20:18    Titel: Antworten mit Zitat

Also n=0 geht nicht, da sonst die gesamte wellenfunktion sin(n pi x /L) 0 wäre, da sin(0*pi*x/L)=0, oder? habe ich das richtig verstanden?
Des weiteren haben wir für die grenzen y= npi eingesetzt, wieso kann ich überhaupt diese annahme treffen? Warum setzen wir für y=n*pi ein? Ich hab' zwar verstanden, dass sin(npi)=0 ist, aber warum wir das in die grenzen einsetzen versteh´ich noch nicht. Also warum wollen wir überhaupt, dass sin(n*pi)=0 ist? Da haperts leider noch...
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 16. Mai 2022 21:09    Titel: Antworten mit Zitat

frage1 hat Folgendes geschrieben:
Also n=0 geht nicht, da sonst die gesamte wellenfunktion sin(n pi x /L) 0 wäre, da sin(0*pi*x/L)=0, oder? habe ich das richtig verstanden?

Ja.
Zitat:
Des weiteren haben wir für die grenzen y= npi eingesetzt, wieso kann ich überhaupt diese annahme treffen? Warum setzen wir für y=n*pi ein?

Es sollen die Funktionen



normiert werden. Da ausserhalb des Kastens die Funktionen gleich 0 sein sollen, integriert man über die Kastenlänge:



Substituiert man , muss man auch die Grenzen anpassen:



(ich sehe gerade, dass das schon weiter oben steht). Die neuen Grenzen ergeben sich, wenn man die alten Grenzen für in der Gleichung einsetzt.
frage1



Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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Beitrag frage1 Verfasst am: 16. Mai 2022 21:35    Titel: Antworten mit Zitat

Achsooo, genau!! jetzt hab´ ich´s verstanden, vielen lieben dank!!
Wenn man L in in x einsetzt bei y= n*pi*x/L, dann kommt für y= n*pi heraus.
Ich glaube, ich habs verstanden, danke Myon!
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