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Normierung WeFu zwei Teilchen nicht orthogonal
 
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Sara02



Anmeldungsdatum: 05.11.2023
Beiträge: 6

Beitrag Sara02 Verfasst am: 05. Nov 2023 11:42    Titel: Normierung WeFu zwei Teilchen nicht orthogonal Antworten mit Zitat

Hallo,
Nach stillem Mitlesen habe ich jetzt mal eine Frage, deren Lösung ich nicht über die SuFu finden konnte.

Es geht um die Normierung einer Wellenfunktion für zwei (beispielhaft unterscheidbare) Teilchen und mit Gesamtwellenfunktion



(analog für Fermionen und Bosonen), wenn
und nicht orthogonal zueinander stehen.

Nicht orthogonal bedeutet natürlich, dass das Integral
ergibt.
Aber was bedeutet das für das Integral

?

Das rote Integral taucht ja in der Norm von nie auf, da über unterschiedliche Teilchen integriert wird.

Vielen Dank schonmal!
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17763

Beitrag TomS Verfasst am: 05. Nov 2023 12:07    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo und herzlich Willkommen.

Ich verstehe deine Frage nicht. Formuliere sie bitte nochmal um.

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Sara02



Anmeldungsdatum: 05.11.2023
Beiträge: 6

Beitrag Sara02 Verfasst am: 05. Nov 2023 12:41    Titel: Antworten mit Zitat

Die Frage ist:
Wie lautet die Normierung der Gesamtwellenfunktion für zwei Teilchen und , wenn und nicht orthogonal aufeinander stehen.

Dabei wird als
(unterscheidbare Teilchen),
(Bosonen),
(Fermionen) angegeben.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17763

Beitrag TomS Verfasst am: 05. Nov 2023 15:06    Titel: Antworten mit Zitat

Für unterscheidbare Teilchen:





In den beiden anderen Fällen musst du auch die gemischten Terme betrachten.

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Sara02



Anmeldungsdatum: 05.11.2023
Beiträge: 6

Beitrag Sara02 Verfasst am: 05. Nov 2023 18:29    Titel: Antworten mit Zitat

Danke, soweit ist es mir klar.
Aber da ist ja jetzt nirgendwo die Eigenschaft genutzt, dass und nicht orthogonal sein sollen.
Also


Oder könnte mit " und seien nicht orthogonal" gemeint sein, dass deren Norm jeweils nicht 1 ist? und nicht, dass die beiden Wellenfunktionen nicht orthogonal zueinander sind?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17763

Beitrag TomS Verfasst am: 05. Nov 2023 18:36    Titel: Antworten mit Zitat

Sara02 hat Folgendes geschrieben:
Aber da ist ja jetzt nirgendwo die Eigenschaft genutzt, dass und nicht orthogonal sein sollen.

Bisher nicht, aber schau dir mal den Fall von Bosonen und Fermionen an.

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Sara02



Anmeldungsdatum: 05.11.2023
Beiträge: 6

Beitrag Sara02 Verfasst am: 05. Nov 2023 19:12    Titel: Antworten mit Zitat

Danke, für Bosonen war ich gerade dabei das aufzuschreiben.




i.A. dürften die zwei Integrale ja nicht bekannt sein, oder?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17763

Beitrag TomS Verfasst am: 05. Nov 2023 19:21    Titel: Antworten mit Zitat

Das stimmt nicht.

psi ist bilinear in den phis, enthält also Produkte von zwei phis; daher enthält |psi|^2 immer Produkte von vier phis, wovon immer zwei zur selben Koordinate gehören. D.h. du erhältst wiederum Produkte zweier Integrale, und jedes enthält einen Integranden mit dem Produkt zweier phis.

Schreib doch zunächst mal den Integranden auf und sortiere nach x1 und x2.

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Sara02



Anmeldungsdatum: 05.11.2023
Beiträge: 6

Beitrag Sara02 Verfasst am: 05. Nov 2023 19:30    Titel: Antworten mit Zitat

Dann hätte ich den letzten Schritt nicht machen dürfen:

TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17763

Beitrag TomS Verfasst am: 06. Nov 2023 08:48    Titel: Antworten mit Zitat

Also wenn ich das sortiere, komme ich für die beiden Vorzeichen auf



mit



Ich sortiere in den Produkten nach x1 und x2; damit erhalte ich immer das Produkt zweier Integrale. Zwei Integrale liefern gerade die Norm, zwei das Skalarprodukt der gemischten Terme.

Wenn die beiden Wellenfunktionen normiert sind



folgt


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Sara02



Anmeldungsdatum: 05.11.2023
Beiträge: 6

Beitrag Sara02 Verfasst am: 06. Nov 2023 10:53    Titel: Antworten mit Zitat

dankeschön, jetzt sehe ich die Umsortierung auch.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17763

Beitrag TomS Verfasst am: 06. Nov 2023 15:49    Titel: Antworten mit Zitat

Evtl. lohnt es sich auch, das etwas umzuformulieren:

Zerlegen wir den zweiten Zustand orthogonal bzgl. des ersten, d.h.





Dann ist



D.h. die beiden Vorzeichen führen auf





Für Bosonen folgt mit der Normierung







wobei die "2" daher stammt, dass der identische Zustand "a" doppelt gezählt wird.

Für Fermionen ist dagegen explizit ausgeschlossen, dass sich beide Teilchen im identischen Zustand befinden.

D.h. es gilt




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Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5802

Beitrag Myon Verfasst am: 06. Nov 2023 20:11    Titel: Antworten mit Zitat

Die Normierung der Wellenfunktionen konnte ich nachvollziehen. Aber beim letzten Beitrag ist mir nicht klar, wie man für Bosonen die letzte Gleichung folgert:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Und weshalb gilt für Fermionen

Zitat:



Dass xi nicht gleich null sein kann, verstehe ich, sonst würde ja der Zustand auch "verschwinden". Aber weshalb muss alpha=0 sein, phi_a und phi_b also orthogonal?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17763

Beitrag TomS Verfasst am: 06. Nov 2023 22:14    Titel: Antworten mit Zitat

Für Fermionen muss man das Pferd von hinten aufzäumen. Im Zwei-Fermionen-Zustand kommt keine aa-Komponente vor, also ist alpha zunächst beliebig. Aber der Gesamtzustand soll letztlich auch normiert sein, daraus folgt ein Betrag von xi gleich Eins, und alpha damit Null. Natürlich könnte man den a-Teil in b immer mitnehmen, aber das ist doch sinnlos.

Für Bosonen berechnet man die Norm des zuvor konstruierten Zweiteilchen-Zustandes und eliminiert dann alpha mit der Normierungsbedingung des Einteilchen-Zustandes.

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Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5802

Beitrag Myon Verfasst am: 07. Nov 2023 09:57    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Für Bosonen berechnet man die Norm des zuvor konstruierten Zweiteilchen-Zustandes und eliminiert dann alpha mit der Normierungsbedingung des Einteilchen-Zustandes.

Aber wie bilde ich ein Skalarprodukt aus den kets des Zweiteilchenzustands, ich muss das ja irgendwie durch die Einteilchenzustände ausdrücken? Ich weiss, eine blöde frage, ich würde wohl besser einfach wieder bei den Grundlagen nachlesen als hier reinzuquatschen... ich habe so fast alles vergessen, was ich mal wusste, dass es immer wieder frustrierend ist.

Was mich bei den Fermionen halt etwas verwirrt ist: für die Eingangsfrage nach der Normierung von



kam man auf



Im Aufgabentext wurde offenbar noch gesagt, dass phi_a und phi_b nicht orthogonal zueinander sein sollen.
Wenn phi_a und phi_b jeweils normiert sind, kann psi anderseits nur normiert sein, wenn



Doch das würde ja dann auch für Bosonen gelten?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17763

Beitrag TomS Verfasst am: 07. Nov 2023 10:47    Titel: Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:
Aber wie bilde ich ein Skalarprodukt aus den kets des Zweiteilchenzustands, ich muss das ja irgendwie durch die Einteilchenzustände ausdrücken?

Dazu betrachtet man zunächst



Letzteres entspricht der Definition mittels Tensorprodukt.

Dann definiert man



(und zeigt, dass diese Definition tatsächlich die Eigenschaften eines Skalarproduktes aufweist)

Das kann man dann gerne durch Integrale über Koordinaten ausdrücken. Die Reihenfolge der Kets entspricht der Nummerierung der Teilchen und damit der Koordinaten 1,2... Die Verallgemeinerung auf Linearkombinationen sollte klar sein.


Zur

Myon hat Folgendes geschrieben:
... Eingangsfrage nach der Normierung ...

Der Zustand



mit normierten Einteilchenzuständen führt auf



mit



(für reelle Vektorräume ist das Skalarprodukt reell und reduziert sich auf den Cosinus des Zwischenwinkels)

Siehe auch die Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Damit ist der Zweiteilchenzustand nicht automatisch normiert.

Das ist auch klar, denn speziell für



gilt unmittelbar




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TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17763

Beitrag TomS Verfasst am: 07. Nov 2023 17:03    Titel: Antworten mit Zitat

Noch eine Anmerkung:

Übersichtlicher wird's, wenn man zu bosonischen (-) bzw. fermionischen (+) Erzeugern und Vernichtern übergeht.





mit



Sei außerdem



Dann definiert man





Die entsprechenden Zustände werden erzeugt mittels







Für Bosonen bzw. Fermionen liefert dies





wobei die Zahlen in den Kets die Besetzungszahlen des m-ten bzw. des n-ten Zustandes beschreiben; diese Kets sind normiert, daher tritt "Wurzel 2" explizit auf.


Für Fermionen muss der Sinus gleich Eins sein. Man erzeugt nie Zustände mit identischen Teilchen, dies folgt automatisch aus den Kommutatorrelationen bzw. aus




Für Bosonen weiß man, dass orthonormierte Zustände N identischer Teilchen der Sorte n mittels geeigneter Erzeuger



dargestellt werden. Also folgt der normierte Zustand mittels



Das ist einfach eine Superposition aus "(zwei Teilchen der Sorte m) und (ein Teilchen der Sorte m sowie eines der Sorte n)". Verwendet man von vorneherein diese n-Teilchen-Erzeuger und -Zustände, so taucht die Problematik der Normierung überhaupt nicht auf. Außerdem muss man nicht ständig die lästige Symmetrisierung bzw. Antisymmetrisierung ausschrieben - was für mehr als drei Teilchen die Hölle wäre - die Operatoren erledigen das kompakt und automatisch.

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