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Barometrische Höhenformel
 
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Weizen75879



Anmeldungsdatum: 29.01.2022
Beiträge: 1

Beitrag Weizen75879 Verfasst am: 29. Jan 2022 14:33    Titel: Barometrische Höhenformel Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Zeigen Sie, dass für die Dichte p eines Gases, das in einer Zentrifuge mit konstanter Winkelgeschw. w rotiert, im Abstand r von der Drehachse gilt:



m ist die Masse eines Gasmöleküls, kB die Boltzmann-Konstante und T die konstante Temperatur

Benutzen Sie für die Rechnung die Analogie zur barometrischen Höhenformel.

Meine Ideen:
Mein Ansatz wäre jetzt mit der Zentripetalkraft zu arbeiten, jedoch weiß ich nicht genau wie. Möglicherweise vllt. mit dem Druckunterschied außen in der Zentrifuge und innen in der Zentrifuge? Ich bräuchte eine Ansatzformel. Danke im Voraus.
physikerboard_urgestein
Gast





Beitrag physikerboard_urgestein Verfasst am: 29. Jan 2022 16:18    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn es in der Trommel "dicht genug ist", kann man m.E. annehmen, dass sich das Gas an jedem Punkt (also bei jeder Entfernung vom Mittelpunkt) in der Trommel mit der Winkelgeschwindigkeit dreht. Man kann dann sowas wie ein "Zentrifugalpotential"



für einzelne Gasteilchen mit Masse Abstand einführen.

Die Teilchendichten sind ja proportional zu den Besetzungszahlen (mit Boltzmannfaktor ) und für konstante Temperaturen wiederum über die Beziehung für ideale Gase (sofern hier eins vorliegt) mit dem Druck verknüpft.


Viele Grüße
Urgestein
DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5154

Beitrag DrStupid Verfasst am: 29. Jan 2022 16:55    Titel: Re: Barometrische Höhenformel Antworten mit Zitat

Weizen75879 hat Folgendes geschrieben:
Möglicherweise vllt. mit dem Druckunterschied außen in der Zentrifuge und innen in der Zentrifuge?


Ich würde annehmen, dass die Zentrifuge komplett geschlossen ist. Dann spielt der Außendruck keine Rolle.

Weizen75879 hat Folgendes geschrieben:
Ich bräuchte eine Ansatzformel.


Versuch es mal mit der Hydrostatische Grundgleichung



wobei g in diesem Fall die Zentrifugalbeschleunigung im mitrotierendenden System ist. Außerden könnte sich die Zustandsgleichung des idealen Gases als nützlich erweisen.
DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5154

Beitrag DrStupid Verfasst am: 29. Jan 2022 16:56    Titel: Re: Barometrische Höhenformel Antworten mit Zitat

Weizen75879 hat Folgendes geschrieben:
Möglicherweise vllt. mit dem Druckunterschied außen in der Zentrifuge und innen in der Zentrifuge?


Ich annehmen, dass die Zentrifuge komplett geschlossen ist. Dann spielt der Außendruck keine Rolle.

Weizen75879 hat Folgendes geschrieben:
Ich bräuchte eine Ansatzformel.


Versuch es mal mit der Hydrostatische Grundgleichung



wobei g in diesem Fall die Zentrifugalbeschleunigung im mitrotierendenden System ist. Außerden könnte sich die Zustandsgleichung des idealen Gases als nützlich erweisen.


Zuletzt bearbeitet von DrStupid am 29. Jan 2022 23:15, insgesamt einmal bearbeitet
Weizen7892
Gast





Beitrag Weizen7892 Verfasst am: 29. Jan 2022 17:10    Titel: Antworten mit Zitat

Sry, hatte vergessen zu erwähnen, dass die Zentrifuge auf der einen Seite offen ist.
DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5154

Beitrag DrStupid Verfasst am: 29. Jan 2022 17:24    Titel: Antworten mit Zitat

Weizen7892 hat Folgendes geschrieben:
Sry, hatte vergessen zu erwähnen, dass die Zentrifuge auf der einen Seite offen ist.


Das kann dann nur die Innenseite sein. Ich würde das trotzdem erstmal ignorieren und so tun, als ob die Zentrifuge geschlossen ist. Um den Druck am inneren Rand kann man sich dann immer noch kümmern (eventuell mit Bernoulli).
Weizen598



Anmeldungsdatum: 29.01.2022
Beiträge: 23

Beitrag Weizen598 Verfasst am: 29. Jan 2022 22:45    Titel: Antworten mit Zitat

Und wie binde ich da dann die barometrischen Höhenformel mit ein?

Willkommen im Physikerboard!
Du bist jetzt zweimal angemeldet, Weizen75879 wird daher demnächst gelöscht.
Viele Grüße
Steffen
DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5154

Beitrag DrStupid Verfasst am: 29. Jan 2022 22:49    Titel: Antworten mit Zitat

Weizen598 hat Folgendes geschrieben:
Und wie binde ich da dann die barometrischen Höhenformel mit ein?


Die musst Du herleiten.
Weizen598



Anmeldungsdatum: 29.01.2022
Beiträge: 23

Beitrag Weizen598 Verfasst am: 30. Jan 2022 12:05    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn ich die herleite mit der Grundgleichung (und mithilfe der Zustandsgleichung des Idealen Gases) kommt bei mir folgendes raus:



und nicht die gesuchte Form.

Also müsste ich jetzt irgendwie das Zentrifugalpotential, was oben genannt wurde, mit einbinden, weil ich ja auf das gesuchte Ergebnis komme wenn ich die potentielle Energie in der Höhenformel durch das Zentrifugalpotential ersetze.
Mein Problem ist nur wie ich in der Herleitung das Zentrifugalpotential einbinde.
DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5154

Beitrag DrStupid Verfasst am: 30. Jan 2022 12:20    Titel: Antworten mit Zitat

Weizen598 hat Folgendes geschrieben:
Wenn ich die herleite mit der Grundgleichung (und mithilfe der Zustandsgleichung des Idealen Gases) kommt bei mir folgendes raus:



und nicht die gesuchte Form.


Da hast Du offensichtlich nicht berücksichtigt, dass g in der Zentrifuge die Zentrifugalbeschleunigung ist:

Weizen598



Anmeldungsdatum: 29.01.2022
Beiträge: 23

Beitrag Weizen598 Verfasst am: 30. Jan 2022 13:16    Titel: Antworten mit Zitat

Stimmt das ist logisch, ich komme zwar jetzt auf die gesuchte Gleichung, jedoch ist das die Gleichung für den Druck p(r) und nicht die von der Dichte rho(r).



Kann ich daraus jetzt die Gleichung für die Dichte ableiten? Oder hätte ich die DGL schon nach der Dichte lösen müssen?
DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5154

Beitrag DrStupid Verfasst am: 30. Jan 2022 15:07    Titel: Antworten mit Zitat

Weizen598 hat Folgendes geschrieben:
Kann ich daraus jetzt die Gleichung für die Dichte ableiten?


Ja. Den Zusammenhang zwischen Druck und Dichte hast Du ja schon bei der Herleitung verwendet (und damit als gültig vorausgesetzt).
Weizen598



Anmeldungsdatum: 29.01.2022
Beiträge: 23

Beitrag Weizen598 Verfasst am: 30. Jan 2022 15:57    Titel: Antworten mit Zitat

Also setze ich jetzt einfach meinen Ausdruck für p(r) in die DGL ein und forme nach der Dichte um?

Also: p'(r)=rho(r)*g -> rho(r)= p'(r)/g und dann hab ich



und mein rho(0) ist dann:
DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5154

Beitrag DrStupid Verfasst am: 30. Jan 2022 17:54    Titel: Antworten mit Zitat

Weizen598 hat Folgendes geschrieben:
Also setze ich jetzt einfach meinen Ausdruck für p(r) in die DGL ein und forme nach der Dichte um?

Also: p'(r)=rho(r)*g -> rho(r)= p'(r)/g und dann hab ich



und mein rho(0) ist dann:


Das ist viel zu kompliziert. Die hydrostatische Grundgleichung brauchst Du an dieser Stelle nicht mehr. Die Zustandsgleichung des idealen Gases genügt.

Außerden musst Du beachten, dass Deine Lösung nur für ro=0 gilt (also wenn die Öffnung der Zentrifuge an der Rotationsachse liegt).
Weizen598



Anmeldungsdatum: 29.01.2022
Beiträge: 23

Beitrag Weizen598 Verfasst am: 30. Jan 2022 21:40    Titel: Antworten mit Zitat

Leider hilft mir das nicht wirklich weiter, also ich habe die Formel für den Druck jetzt hergeleitet und nun? Wie komme ich denn jetzt auf die gesuchte Formel? Oder war die Herleitung schon überflüssig?
DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5154

Beitrag DrStupid Verfasst am: 30. Jan 2022 21:58    Titel: Antworten mit Zitat

Weizen598 hat Folgendes geschrieben:
Formel für den Druck jetzt hergeleitet und nun?


Was hast Du denn für in die Hydrostatische Grundgleichung eingesetzt?
Weizen598



Anmeldungsdatum: 29.01.2022
Beiträge: 23

Beitrag Weizen598 Verfasst am: 30. Jan 2022 22:10    Titel: Antworten mit Zitat

DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5154

Beitrag DrStupid Verfasst am: 30. Jan 2022 22:55    Titel: Antworten mit Zitat

Weizen598 hat Folgendes geschrieben:


Dann stell das doch einfach mal nach p um und setze das Ergebnis für p(r) und po in Deine barometrische Höhenformel ein.
Weizen598



Anmeldungsdatum: 29.01.2022
Beiträge: 23

Beitrag Weizen598 Verfasst am: 31. Jan 2022 18:11    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen Dank! Nach etwas Rechnerei und mit den Tipps bin ich endlich auf die Formel gekommen.
Ich hab jetzt nur noch eine letzte Verständnisfrage.
Wieso ist der Exponent bei der barometrischen Höhenformel negativ:




während bei der hergeleiteten Formel der Exponent positiv ist:

DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5154

Beitrag DrStupid Verfasst am: 31. Jan 2022 19:08    Titel: Antworten mit Zitat

Weizen598 hat Folgendes geschrieben:
Wieso ist der Exponent bei der barometrischen Höhenformel negativ:




während bei der hergeleiteten Formel der Exponent positiv ist:



Weil die Höhe z die entgegengesetzte Richtung hat wie die Fallbeschleunigung, während der Radius r dieselbe Richtung hat wie die Zentrifugalbeschleunigung.
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