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GröpaZ
Anmeldungsdatum: 18.07.2011
Beiträge: 3
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 GröpaZ Verfasst am: 18. Jul 2011 13:21 Titel: Barometrische Höhenformel bei polytroper Schichtung |
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hi,
will man den Druck in der Troposphäre mithilfe der barometischen Höhenformel bei polytroper Schichtung errechnen ergibt sich folgende Formel:
p(h)=p_null*(1-(n-1)*g*(h-h_null)/(n*R*T_null))^(n/(n-1))
wobei X_null die Werte bei einem beliebigen vergleichszustand darstellen, zb bei NN?
ich versuche schon seit Stunden mir die Formel herzuleiten und bekomms einfach nicht hin.
Aus der idealen Gasgleichung, dem Gesetz für polytrope Zustandsänderungen und der hydrostatischen Grundgleichung sollte dies möglich sein. Man muss hier irgendwie eine DGL lösen.
Wäre nett wenn mir ein Crack einen Hinweis geben könnte, meine Fachliteratur lässt ein paar Zwischenschritte zu viel aus.
mfg
Gröpaz
P.S. Entschuldigt meine unübersichtliche Formel, kann (noch) kein matlab |
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BalistiX
Anmeldungsdatum: 17.05.2011
Beiträge: 151
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| BalistiX Verfasst am: 18. Jul 2011 17:15 Titel: |
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Ich hab mal versucht, die Formel besser darzustellen. Ich hoffe, das passt so...
 = p_{null} \cdot (1 - \frac{(n-1) \cdot g \cdot (h-h_{null})}{n \cdot R \cdot T_{null}})^{\frac{n}{n-1}} )
Zuletzt bearbeitet von BalistiX am 18. Jul 2011 19:51, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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GröpaZ
Anmeldungsdatum: 18.07.2011
Beiträge: 3
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| GröpaZ Verfasst am: 18. Jul 2011 17:42 Titel: |
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das stimmt fast: die 1- in der großen Klammer gehört vor den bruch, aber in der Klammer.
danke für die Mühe
Gräpaz |
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BalistiX
Anmeldungsdatum: 17.05.2011
Beiträge: 151
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| BalistiX Verfasst am: 18. Jul 2011 19:52 Titel: |
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So besser? |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 4927
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| DrStupid Verfasst am: 18. Jul 2011 21:44 Titel: |
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Ich versuch's mal:
Ich fang' mit der hydrostatischen Grundgleichung an
Für die Dichte gilt mit der Zustandsgleichung des idealen Gases
und für die Temperatur bei polytroper Zustandsänderung
^{1 - \frac{1}{n}})
Das ergibt die Differentialgleichung
Die kann man durch Trennung der Variablen lösen
Die Integration ergibt
 = - p_0^{1 - \frac{1}{n}} \cdot \frac{{{\rm M} \cdot g}}{{{\rm R} \cdot T_0 }} \cdot \left( {h - h_0 } \right))
Das muss man jetzt nur noch nach p umstellen
} \right]^{\frac{n}{{n - 1}}})
Bis auf die molare Masse Entspricht das Deiner Gleichung. |
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GröpaZ
Anmeldungsdatum: 18.07.2011
Beiträge: 3
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| GröpaZ Verfasst am: 18. Jul 2011 23:10 Titel: |
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Das liegt wohl daran, dass R in meiner Formel die individuelle Gaskonst. ist. Ansonsten sieht das ziemlich richtig aus. DANKE
mfg
Gröpaz |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 25. Jul 2011 01:02 Titel: |
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Wie darf man sich diese Zustandsänderung eigentlich vorstellen? Oder anders: Die EULER Gleichung beschreibt doch das mechanische / hydrostatische Gleichgewicht. Ist dieses Gleichgewicht, trotz nicht konstanter Temperatur, eigentlich gegeben? Kann eine Konvektion ausgeschlossen werden?  |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 4927
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| DrStupid Verfasst am: 25. Jul 2011 19:41 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | | Oder anders: Die EULER Gleichung beschreibt doch das mechanische / hydrostatische Gleichgewicht. Ist dieses Gleichgewicht, trotz nicht konstanter Temperatur, eigentlich gegeben? Kann eine Konvektion ausgeschlossen werden? |
Ja. In der Atmosphäre stellt sich sogar automatisch eine adiabatische Schichtung ein. Ist der Temperaturgradient flacher, heizen sich die unteren Schichten durch Einstrahlung von Wärme auf, während sich die oberen Schichten durch Wärmeabstrahlung ins All abkühlen. Der Temperaturgradient wird also steiler. Ist der Temperaturgradient zu steil, kommt es zur Konvektion. Dabei steigt warme Luft von unten auf und von oben sinkt kalte Luft ab. Dadurch wird der Temperaturgradient flacher. Weil die Luft beim Aufsteigen adiabatisch expandiert und beim Absinken adiabatisch komprimiert wird, führt das nicht zur Isothermie. Im stationären Fall ist das Ganze ist also ein Regelkreis, der jeder Abweichung von der adibatischen Schichtung entgegenwirkt. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 28. Jul 2011 19:49 Titel: |
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Interessant; danke!
Ich hatte dazu eine knappe Notiz bei LANDAU VI, §5 gelesen (nicht verstanden), die letztlich auf
als Stabilitätskriterium hinauslief. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 4927
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| DrStupid Verfasst am: 28. Jul 2011 21:33 Titel: |
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Wenn ich die Gleichung für den Druck in die für die Temperatur einsetze, dann ergibt das bei adiabatischer Schichtung
} \right])
und somit
Bei idealen Gasen gilt außerdem
und das führt zu der Gleichung im LANDAU.
Übrigens gilt diese Gleichung nur, wenn der Wärmetransport durch Konvektion dominiert. Das ist in der Troposphäre der Fall, in Stratosphäre und Mesosphäre dagegen nicht. Dort sind die Temperaturgradienten Strahlungsdominiert. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 30. Jul 2011 18:52 Titel: |
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Danke!  |
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