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Explosion eines Satellits
 
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navix



Anmeldungsdatum: 21.10.2021
Beiträge: 63

Beitrag navix Verfasst am: 11. Jan 2022 18:15    Titel: Explosion eines Satellits Antworten mit Zitat

Aufgabenstellung:

Ein Satellit fliegt auf einer Kreisbahn mit der Umlaufdauer um die Erde. Plötzlich wird er durch eine Explosion in zwei Teile zerrissen, mit den Massen und von der Gesamtmasse .

Sie fliegen unter den Winkeln (zur Erde hin) und (von der Erde weg) zur ursprünglichen Bahn weiter.

Beide bleiben in jener Ebene, in der der Satellit um die Erde gekreist ist. Wie groß sind die Umlaufdauern der beiden Teile? Wie nahe kommen sie der Erde?

Daten: Erdmasse: , Gravitationskonstante

Eigene Ansätze:

Zunächst dachte ich mir es wäre von Vorteil den Radius der Kreisbahn und die initiale Geschwindigkeit des Satellits zu berechnen.

Für die Kreisbahn ist eine Zentripetalkraft nötig, die von der Gravitationskraft geliefert wird:





Die Geschwindigkeit kann geschrieben werden als



Also erhält man nach Einsetzen und Umformungen



und für die Geschwindigkeit:



Jetzt dachte ich man könnte vielleicht den Impulserhaltungssatz anwenden.

Impuls vor Explosion:



Impuls nach Explosion:



Die Geschwindigkeitsvektoren würde ich jetzt in einen radialen und einen normalen Teil zerlegen. Vor der Explosion besteht nur aus einer Normalkomponente. Nach der Explosion haben sowie eine radiale und normale Komponente.

Die kann ich ja prinzipiell berechnen. Mir ist aber nicht klar, ob die Teile jetzt auf einer elliptischen Bahn um die Erde fliegen oder einfach nur eine Kreisbahn mit kleinerem bzw. größerem Radius annehmen. Wie kann ich mir das vorstellen?



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Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5112

Beitrag Myon Verfasst am: 11. Jan 2022 19:27    Titel: Antworten mit Zitat

Die Bahnen müssen Ellipsen sein, denn bei unverändertem Ort haben sich die Geschwindigkeiten geändert.
Das Vorgehen über den Impulssatz ist gut. Wenn Du die Geschwindigkeitsbeträge v1, v2 hast, ergeben sich daraus die Energien der Bahnen



(da die Massen nicht bekannt sind, kann man nur die Energien pro Masse berechnen). Aus der Gleichung



ergeben sich die grossen Halbachsen a1, a2 der Bahnen.
Weiter kannst Du aus Ort und Geschwindigkeitsvektoren die Drehimpulse berechnen (wiederum pro Masse) und daraus die Bahnparameter und die Exzentrizitäten, denn es gilt



Damit sind auch die Bahngleichungen bekannt:

navix



Anmeldungsdatum: 21.10.2021
Beiträge: 63

Beitrag navix Verfasst am: 12. Jan 2022 02:59    Titel: Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:
Die Bahnen müssen Ellipsen sein, denn bei unverändertem Ort haben sich die Geschwindigkeiten geändert.
Das Vorgehen über den Impulssatz ist gut. Wenn Du die Geschwindigkeitsbeträge v1, v2 hast, ergeben sich daraus die Energien der Bahnen


Hey. Danke für deine ausführliche Antwort. Ich kriege für die großen Halbachsen auch Werte in der Größenordnung 10^7 heraus, was ja in etwa so groß ist wie der Radius der Kreisbahn. Meinem Gefühl nach stimmt da was nicht.

Der Punkt, an dem das Teil i abbricht, liegt ja auf seiner Ellipsenbahn, also habe ich einerseits die Energie mit r = R berechnet (1. Energiegleichung) und dann mit der anderen Formel gleichgesetzt.

Wenn ich die Umlaufdauer mithilfe der Gleichung für die Kepler-Konstante, also T_i^2 / a_i^3 = (4 * pi^2) / (G * M_E), berechnen will, erhalte ich jedoch sehr kleine Werte (unter einer Sekunde).

Kann aber gut sein, dass ich mich irgendwo verrechnet habe.

Und zum zweiten Teil: Den Drehimpuls könnte ich doch nur berechnen, wenn ich entweder am Aphel oder Perihel bin, da man sonst den Winkel zwischen Orts- und Geschwindigkeitsvektor kennen müsste. Sind die Teile beim Zerbrechen zwingend am Perihel?
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5112

Beitrag Myon Verfasst am: 12. Jan 2022 08:24    Titel: Antworten mit Zitat

navix hat Folgendes geschrieben:
Sind die Teile beim Zerbrechen zwingend am Perihel?

Der Satellit flog vor dem Zerbrechen auf einer Kreisbahn, da ist jeder Punkt ein Perihel;).

Ein Problem ist vielleicht noch, dass da noch 7.5% Masse des ursprünglichen Satellits sind, die nach der Explosion wahrscheinlich gasförmig sind (abzüglich des kleinen Teils, der in Energie umgewandelt wurde). Hier muss man wohl annehmen, dass dieser Teil gesamthaft keinen Impuls oder sonst die gleiche mittlere Geschwindigkeit wie der Satellit hat.
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