Lagrange Funktion zyklische Koordinaten

Leon9 · Gast

Meine Frage:
Hallo an alle!
Sitze gerade an dieser Aufgabe:
In der Lagrangefunktion eines freien Teilchens spiegelt sich die Homogenität des Raumes und der Zeit wieder, ebenso wie die Isotropie des Raumes.
Argumentieren Sie damit, welche der folgenden Terme in der Lagrangefunktion eines freien Teilchens erlaubt sind, und welche Sie über die Homogenität des Raumes und der Zeit sowie der Isotropie des Raumes
ausschließen können: L ? . . .?
x, x^2, v, v^2, v^3, x · v (Skalarprodukt), v^2t.

Meine Ideen:
Also instinktiv würde ich schon mal x, x^2 und x · v aufgrund der Homogenität des Raumes ausschließen und v^2t aufgrund der Homogenität der Zeit. Bei den Geschwindigkeiten bin ich aber leider sehr unsicher...
(Also generell müsste ja bei der Homogenität des Raumes die Ortskoordinate translationsinvariant und die Lagrangefunktion somit nur abhängig von der Ortsdifferenz sein, die Homogenität der Zeit impliziert ja das die Lagrangefunktion zeitunabhängig sein sollte und man daraus den Energieerhaltungssatz herleiten kann)...

Weiter bin ich leider noch nicht gekommen, könnte mir jemand evtl. vor allem in Bezug auf die Geschwindigkeiten weiterhelfen? Ich vermute, dass man von der Isometrie des Raumes (also Invarianz unter Rotationen und somit Drehimpuls L= r x p Erhaltungsgröße) auf die nächsten Punkte schließen können müsste...

Wäre über jede Hilfestellung sehr dankbar!