Schwingungen an einem Gummifaden

flomath · Anmeldungsdatum: 08.02.2021 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hey, ich hab folgende Aufgabe und komme nicht weiter:

Eine massive zylindrische Metallstange (Durchmesser D=20mm) hängt an einem Faden aus gummiartigem Kunststoff (kreisrunder Querschnitt, Durchmesser d_F=2,50mm), und zwar mittig an einem Ende so, dass sie senkrecht nach unten hängt. Wenn man die Stange um die Symmetrieachse verdreht, führt sie Torsionsschwingungen aus mit der Periodendaer T_T=12,5s. Wenn man die Stange hingegen leicht nach unten zieht, sodass sich der Gummifaden ein wenig dehnt, führt sie Auf-und-ab-Schwingungen aus (so ähnlich wie an einer Spiralfeder). Welche Schwingungsdauer T_S haben diese Schwingungen?
Daten: Das Material des Fadens hat die Poissonzahl v_F=0,380

Meine Ideen:
Eigentlich war mein Ansatz über die Poissonzahl auf die Längenänderung des Fadens zu schliessen und irgendwie darüber die Schwingungsdauer zu berechnen. Dafür fehlen mir jedoch Werte, daher habe ich momentan keinen richtigen Ansatz und wäre über jede Hilfe dankbar.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5892

Willkommen hier im Forum.
Im ersten Fall liegt eine Torsionsschwingung vor, im zweiten eine Art Federschwindung. Im einen Fall ist das rücktreibende Drehmoment proportional zum Auslenkungswinkel

, im zweiten Fall ist die rücktreibende Kraft proportional zur Längenänderung

des Fadens, d.h.

Die Schwingungsperioden sind dann

bzw.

wobei I und m das Massenträgheitsmoment bzw. die Masse der Metallstange sind.

Nun kannst Du die Konstanten k1, k2 ausdrücken durch den Radius und die Länge des Fadens, den Radius der Metallstange sowie die Materialkonstanten

. Letztere sind nicht explizit gegeben, wohl aber ihr Verhältnis. Denn es gilt ja mit der Poissonzahl

Fügst Du das alles zusammen, kannst Du das Verhältnis T2/T1 der Schwingungsperioden berechnen.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5874 Wohnort: jwd

Ist ein wenig tricky

I = Massenträgheitsmoment Stab

Direktionsmoment

Schubmodul

Ansonsten s. Myon's post